经济中立立场：如何最佳复制不完全可复制

盈余风险的最小值ρ[S（φ*)] ρ的二阶近似∈ {VaRα，ESα}等式VaRα[S（φ*)] = q+（ln fh1，Li）（q）·（1+（ln fh1，Li）（q）-2h1，∑L·1i·h1，∑L∑·∑L·1ih1，∑L·1i- tr（∑·L）），ESα[S（φ*)] = ESα[-h1，Li]-fh1，Li（q）2α·h1，∑L∑·∑L·1ih1，∑L·1i- tr（∑·L）.定理9和推论11描述了（11）中定义的K项导数的展开结果。为了显式地计算这些项，在L证明的状态空间中进行一次旋转∈ 所以（n）是n维特殊正交群中的旋转矩阵，使得D的第一列与1向量平行。旋转矩阵可以写成D=n-1/2·1⊥,其中1⊥是一个n×（n-1） 跨越与向量1正交的超平面的正交坐标矩阵。在二维和三维中，旋转矩阵D readsD（n=2）=√·1.-11 1, D（n=3）=√·√2.1-√√2.1√√2.-2 0.重写K（y）=R{`∈Rn:h1，`i>y}`·fL（`）d`我们应用变量λ的变化：=d`（意味着`=dλ），其yieldsK（y）=Z{λ∈Rn:h1，Dλi>y}Dλ·fL（Dλ）Dλ=ZRn-1Z∞y型/√nλ√n·1+1⊥λ· g（λ，’λ）dλd’λ，（13），其中g（λ）：=fL（dλ）表示旋转密度。最后一个方程来自h1，Dλi=h1，n-1/2·λ·1+1⊥·？λi=√n·λ。可以为K[L]（y）导出类似的表达式。下面的结果相应地重新构造了K项的导数。一、 e.D有单位确定和成对正交列，单位l-范数定理14。

定义表达式h（y）：=√新西兰注册护士-1？λ·gy√n、 \'\'λd？λ，h（y）：=√新西兰注册护士-1h？λ，1⊥· ∑·1⊥·？λi·gy√n、 \'\'λd|λ，在（11）readsa）K（y）=-yn·fh1，Li（y）·1- 1.⊥· h（y），b）K∑[L]（y）=-yn·h1，∑1i·fh1，Li（y）-2yn·h1⊥· ∑·1，h（y）i- h（y），c）K（y）=-n个·fh1，Li（y）+y·fh1，Li（y）· 1.- 1.⊥· h（y），d）K∑[L]（y）=-yn·h1，∑1i·2fh1，Li（y）+y·fh1，Li（y）-n个·⊥·∑1，h（y）+y·h（y）- h（y）。定理9和推论11（b）部分的最小值reade）VaRα[S（φ*)] = q+2fh1，Li（q）·nfh1，Li（q）nfh1，Li（q）·h1，∑1i+fh1，Li（q）·Dh（q），1⊥·∑1⊥·h（q）E+n·Dln（fh1，Li）（q）·h（q）- h（q），1⊥·∑1E- h（y）o.f）ESα[S（φ*)] = ESα[-h1，Li]-2αnfh1，Li（q）-1·Dh（q），1⊥·∑1⊥·h（q）E- h（y）o.证明：关系√nRRn公司-1克y√n、 \'\'λd？λ=DyR{`∈Rn:h1，`i>y}d`=fh1，Li（y）类似于（13）导出。第a）部分来自区分（13）并应用此关系。b）部分遵循模拟toa）；c） d）通过再次区分a）和b）获得。部分e）和f）分别通过将部分a）到d）插入定理9和推论11的相应表达式中获得。4.3高阶展开驱动第三和高阶展开项原则上是直接的，但很繁琐，因为高阶展开结果不再独立于资产向量X到常数1的具体收敛，请参阅备注8（a）。让我们选择一组（Xσ）σ>0的容许资产向量，其中kXσ-1公里~ σ为σ→ 0如备注8（a）所示。为了将Gram-Charlierlike公式（8）扩展到σ为σ的三阶或更高阶→ 0我们需要展开第i个中心力矩'mj，···，ji（σ）：=EX[Qik=1（Xσ，jk- 1） ]就σ而言，如下所示：mj、···、ji（σ）=m（0）j、···、ji·σi+？m（1）j、··、ji·σi+1+··+？m（k）j、··、ji·σi+k+o（σi+k）为σ→ 0。

（14） 回想一下，对于第二时刻，也可以出现三阶和更高阶项，请参阅备注8（b）。扩展方程（12），我们从中导出二阶项，直到三阶，我们使用（10）0=-fh1，Li(-z） ·(-z- z） +·nXi，j=1\'m（0）i，j·σ+\'m（1）i，j·σ· Ki，j[φ- L](-z） +·nXi，j，k=1？m（0）i，j，k·σ·Ki，j，k[φ- L](-z） 。通过求解三阶项z，我们得到以下结果。定理15。让我们选择一个（Xσ）σ>0且具有kXσ的容许资产向量族- 1公里~ σ为σ→ 0，并考虑高阶矩的展开，如（14）所示。然后，盈余风险值的三阶展开式为σreadsVaRα[S（φ）]=q+σ2·fh1，Li（q）·K∑（0）[φ- 五十] （q）+σ6·fh1，Li（q）·n3·K∑（1）[φ- 五十] （q）+nXi，j，k=1'm（0）i，j，k·Ki，j，k[φ- 五十] （q）o+o（σ），其中∑（k）：=（\'m（k）i，j）ij表示根据（14）和（8）中定义的术语Ki，j，kis展开的二阶矩矩阵。在续集中，我们展示了在实践中非常重要的资产分配的特定集合族的影响，并推导出了四阶项。由于复杂性增加，我们仅限于一维情况，即n=1。然后，盈余累积分布的展开式（8）读取一维ASEP（S（φ）≤ z） =(R)FL(-z） +Xi≥2“mii！”迪基(-z） ，其中Ki（y）：=z∞y（φ- `)i·fL（`）d`、（15）和'midenotes可交易资产X的第i个中心矩。构建一系列可接受资产的简单方法是通过其正常波动率来缩放固定资产变量X，这些资产收敛到常数1。在金融应用中，对数正态波动率也非常重要。

因此，对于固定可交易资产X，我们引入了以下两类可接受资产（Xσ）σ≥0按正态和对数正态波动率指数：我们在正态情况下设置XσN：=1+σNY，在对数正态情况下设置XσlN：=eσlNY/M（σlN），其中，yde分别表示X或lnx的居中和归一化版本，M（σ）：=e[eσY]是Y的矩母函数。注意，XσNor ln Xσln的标准偏差分别等于σNorσln。进一步Xσ*如果σ，则与原始可交易资产X一致*=正常情况下为pVar【X】，对数正常情况下为pVar【ln X】。此外，由于归一化，Xσ和ln Xσln保持单位均值属性。因此，在正态和对数正态情况下，对于每个σ>0的Xσ都是允许的。中心力矩‘mi=’mi（σ）：=E[（Xσ- 1） σ的Xσ的i]∈ {σN，σlN}显示了以下关于正常和对数正常资产波动率的扩展：用ui表示：=E[Yi]Y的第i个矩，分别与X或lnx的第i个中心矩和归一化矩一致。在正常情况下，“mi”的展开式通常由“mi=σIn·ui”给出，而在对数正常情况下，“mi”在σlN中的四阶展开式为“m=σlN+u·σlN”+u-· σlN+o（σlN），\'m=u·σlN+（u- 1） ·σlN+o（σlN），（16）m=u·σlN+o（σlN）。我们在下面的定理中总结了VaRα[S（φ）]的四阶展开的结果。该证明与（16）的证明一起转移到附录中。我们用id-theidentity函数表示。定理16。考虑一维情况，即。

n=1。正常情况：Y=（X- 1） /pVar[X]，对数正常情况：Y=（ln（Y）- E【ln Y】/pVar【ln X】。a） 金融资产X对数正态波动率σlN中VaRα[S（φ）]的扩展至四阶σlN→ 0由varα[S（φ）]=q给出-fL（q）·（σlN·（φ- id）·fL（q） +σlN·u·（φ- id）·fL（q） +σlN·u·（φ- id）·fL- 3·（φ- id）·fLfL+（2u- 6） ·（φ- id）·fL+（u+3）·φ- id）·fL（q） ）+o（σlN），其中u和u分别表示lN X的第三和第四中心归一化矩。b） 如果u·fL（q）6=0，则（a）中的VaRα[S（φ）]扩展至三阶，达到其局部最小值φ*= q+fL（q）-1个·（1）- δ） ·fL（q）-q（1- δ） ·fL（q）+2·δ·fL（q）·fL（q）, δ：=σ·u。如果u·fL（q）=0，但fL（q）6=0，则在φ处达到最小值*= q+fL（q）/fL（q）。备注17。a） VaRα[S（φ）]的展开只涉及L在其（1）周围的局部性质-α） 分位数，即平坦q的（高阶）导数。b）如果ln（X）的偏斜消失，且L随波动率σL正态分布，则q=σL·u1-α，其中u1-α表示（1-α） -标准正态分布的分位数。因此，fL（q）/fL（q）=-q/σL=-u1级-α/σL。定理的（b）部分暗示φ*/q=1- u-21-α、 风险容忍度1的值为0.815或0.849-α=0.99（巴塞尔协议II）或=0.995（偿付能力II）。这意味着，如果除了预期的索赔规模之外，还有84.9%的不可对冲风险成分，即中心索赔规模L的99.5%分位数，则保险业务的总偿付能力II资本要求（通过完全随机模型进行评估）最小化，最初投资于X.c）负对数正态资产倾斜的存在（实际应用中的常见情况）改变了最优资产配置φ*更接近1-L的α分位数q，参见图3和图4。

其原因是分散效应降低了风险最小的资产配置φ*若ln X为负偏斜，则低于q的avalue（参见备注5（c））不太明显。反之，对于正对数正态偏差X，使用正态而非对数正态资产波动率重复上述定理中的展开证明，得到以下结果。推论18。在一维情况下，正常资产波动率σNup中的VaRα[S（φ）]扩展为四阶σN→ 0由varα[S（φ）]=q给出-fL（q）·（σN·（φ- id）·fL（q） +σN·u·（φ- id）·fL（q） +σN·u·（φ- id）·fL- 3·（φ- id）·fL佛罗里达州（q） ）+o（σN）。预期短缺的相应结果也是引理3的直接结果。推论19。在一维情形下，资产波动率σ中ESα[S（φ）]的展开式∈{σN，σlN}直到四阶为σ→ 0由ESα[S（φ）]=ESα给出[-五十] +σ2α·（φ- q） ·fL（q）+σ·u6α·（φ- q） ·fL（q）+σ24α·u·（φ- id）·fL- 3·（φ-id）·fLfL+（2u- 6） ·（φ- id）·fL+（u+3）·φ- id）·fL（q） +o（σ）（σ=σlN），σ·u6α·（φ- id）·fL（q） +σ24α·u·（φ- id）·fL-3·（φ-id）·fL佛罗里达州（q） +o（σ）（σ=σN）。备注20。与风险值情况相比，φ展开式的所有修正项→ESα[S（φ）]到四阶haveφ*= q为（局部）最小值，另见图3。这与定理4一致，定理4指出风险最小化资产配置等于q，与X和L的分布无关。5数值分析5.1单变量情况我们现在将单变量情况下的扰动结果与数值分析进行比较。为此，我们使用数值积分，并对盈余S（φ）的α分位数周围盈余的累积分布函数进行采样，以获得逆。

图2显示了函数φ7→ ρ【S（φ）】用于风险度量ρ∈ {VaRα，ESα}具有偿付能力II风险承受能力1-α=99.5%。索赔额L是正态分布的，因此q=1。将资产的对数正态波动率和偏差校准为30年贴现因子的典型值。可以看出，对数正态资产波动率的分析扩展结果（定理16和推论19）非常接近数值行为。根据预测，X中的风险最小投资金额约为φ*≈ ρ=VaRα和φ时为0.85*= ρ=ESα分别为1。0 0.25 0.5 0.75 1 1.25 1.5资产单位φ0.9811.021.041.061.081.1VaRα[S]值1-α=99.5%数字三阶扩张第二阶扩张第0（=VaRα[-L]）0 0.25 0.75 1 1.25 1.5资产单位φ1.11.151.21.251.3ESα[S]预计不足1-α=99.5%数字三阶扩张第二阶扩张第0（=ESα[-L]）图2：风险值VaRα[S]（左）和预期差额ESα[S]（右）作为财务资产单位φ的函数。风险容忍度设置为1-α=99.5%，不可对冲成分L为正态分布，σL=0.388，因此q=VaRα（-L）=1，而log（X）为对数正态分布，因此X的对数正态波动率σ=0.2，对数正态偏差u=-0.3。图3显示了与图2相同的情况，但资产波动性更大（与新兴市场单一股票类似）。对于这两种风险度量，基于正常资产波动率的三阶和四阶扩展比基于对数正常资产波动率的扩展精度低。

在风险价值情况下，二阶近似值仍然符合Quiewell的整体形状，而三阶和四阶展开式对于投资金额φ而言更为精确，距离q不太远；最优投资φ*≈ 由于大量负资产倾斜，0.9高于二阶近似值；在此设置中φ*非常接近三阶近似下的最优投资，而如果φ远离q，则最优投资的四阶修正不会增加精度。在预期短缺情况下，三阶（基于对数正态波动率的）近似会产生风险收益的最佳收益，然而，四阶近似仅为离q不太远的φ增加了很少的额外精度。这些观察结果与已知的Gram-Charlier级数收敛缓慢的事实一致，参见例[22]。0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1资产单位φ0.9911.011.021.031.041.05 1-α=99.5%真实（数字）最小真实0阶扩展2阶3阶（对数正态）3阶（正态）4阶（ln）4阶（正态）最小2阶最小3阶（ln）最小4阶（ln）0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1资产单位φ1.121.131.151.16预计短缺ESαα=99.5%图2但波动性更大的资产：对数（X）的对数正态波动率等于σ=0.5，这意味着对数正态偏差u=-1.75。接下来，我们分析风险价值，即风险最小投资额φ的位置*更详细地说，这取决于可对冲风险因子X的特征。

图4显示了φ的依赖性*关于各种对数正态偏差值u的对数正态波动率σ。0 0.2 0.4 0.6 0.8σ0.850.860.870.880.89φ*偏斜=0%数字第三方订单第二方订单0 0.2 0.4 0.6 0.8σ0.850.870.880.89偏斜=-30%数字第三方订单第二方订单0.2 0.4 0.6 0.8σ0.850.870.880.89偏斜=-100%数字第三方订单第二方订单图4：最佳投资金额φ*将风险值VaRα[S（φ）]最小化为金融资产X的对数正态波动率σ在各种对数正态偏差u下的函数。有关更多校准详细信息，请参阅图2的说明。在零偏斜的情况下，三阶展开项消失。高阶项对我们的φ理论预测只有很小的修正*≈ 0.85。对于大约u=-0.3三阶展开式是σ=0.5的良好近似值。如果倾斜度非常高，u=-1.0近似值仅在σ=0.3时有效。综上所述，对于可对冲风险因子X的实际参数化，我们的扰动结果高达三阶，反映了风险最小投资额φ的行为*非常好。5.2双变量情况下一步，让我们考虑两个金融资产X和X的情况，它们用于对冲两个不同目标规模的土地L。基于蒙特卡罗模拟，我们比较风险最小投资额φ的数值结果*和φ*利用我们微扰方法的发现。图5显示了风险值V aRα[S（φ）]的数值结果，作为金融资产X的单位φ=（φ，φ）的函数。在单变量情况下，风险承受能力设置为1-α=99.5%，索赔规模L为正态分布，因此q=1。金融资产XA和Xarechosen独立且对数正态分布，对数正态波动率σ=0.3。

对于对称情况（a），二阶解析展开结果（定理13）预测风险最小投资额φ*= φ*= φ*/2.≈ 0.425。在不对称情况下（b），我们得到φ*≈ 0.79和φ*≈ 0.06。在这两种情况下，数值结果与理论预测吻合得很好。图5:Monte Carlo模拟得出的风险价值VaRα，作为风险承受能力1的二维金融资产X的单位φ和φ的函数- α=99.5%。两项金融资产X和X独立且对数正态分布，对数正态波动率σ=0.3。不可对冲成分也独立但正态分布。在对称情况下（a），协方差矩阵设置为∑L=∑L=0.0756，在不对称情况下（b），我们将∑L=0.141和∑L=0.01.6应用于Solvency II市场风险度量，有两种方法可以建立内部模型来计算Solvency II下的偿付能力资本要求（SCR）：综合风险模型通过同时模拟所有风险驱动因素（可对冲和不可对冲）的风险来计算经济资产负债表的盈余（即负债超额）分布。虽然这是一种更为合适的方法，但由于操作和转向原因，在实践中很少使用。市场标准是一种模块化方法，类似于Solvency II标准公式中使用的方法。在模块风险模型中，每个风险类别的利润和损失分布在单独的模块中计算，不同的风险模块随后汇总到公司的总SCR中。对于只影响经济资产负债表一方的风险类别，这种方法非常有效。市场风险模块的问题更大，因为汇率或利率等风险驱动因素会影响资产负债表的双方。