经济中立立场：如何最佳复制不完全可复制

此外，这些假设意味着S（φ）的平均值为零，因此readsS（φ）=hX- 1，φi- hX，Li。（5） 利用ρ的正同质性和现金不变性，可以通过居中和归一化S（φ）来调整这些简化假设，即减去其平均值并除以e【Xi】。如果X具有非零超额收益，即[X]6=X，则会出现额外的线性项“φ乘以超额回报”，它以一种简单的方式将盈余风险最小化。类似地，如果L具有非零均值（索赔规模分布通常为正），则输入变量L-相反，E[L]被视为。简化假设的详细论证已转移到附录中。下面的引理表明，盈余S（φ）的α-分位数定义得很好，并说明了进一步的初步结果。我们用11a表示某个集合A的指示函数；进一步FY，(R)FY=1-FY和F-1yde分别记录了一些标量随机变量Y的累积分布函数、尾部函数和分位数函数。引理1。假设（2）和（3）。然后对于每个φ∈ Rn+和α∈ （0，1）a）P（S（φ）≤ z） =α具有唯一的解z=zφ，α，即S（φ）的α-分位数定义良好。b） VaRα[S（φ）]=-zφ，α和ESα[S（φ）]=-α-1·E[S（φ）·11S（φ）≤zφ，α]。c） φ7→ ρ[S（φ）]对于两种风险度量ρ都是不同的∈ {VaRα，ESα}。d） φ7→ ESα[S（φ）]是凸的。当风险容忍度没有混淆时，我们通过zφ省略下标α来表示S（φ）的分位数。（a）和（c）部分基本上是应用于（z，φ）7的隐函数定理的结果→ FS（φ）（z）；（b） 是S（φ）连续分布的结果，而（d）则是预期短缺的凸性。证据的详细信息转移到附录中。备注2。a） 如果L有原子，即。

不允许密度，则函数φ7→ VaRα[S（φ）]可能不是连续的，但在L.b）的奇异值处可能有扭结。可以放宽假设（3）；假设L在{`∈ Rn:h1，`i=F-1h1，Li（1- α） }。我们引入了一些进一步的表示法：对于两个标量函数a（t）和b（t），我们表示a（t）=Ob（t）,a（t）~ b（t）或a（t）=ob（t）作为t→ t、 如果lim支持→t | a（t）/b（t）|<∞, 或限制→ta（t）/b（t）=1或=0。我们称可交易资产的向量X为可容许向量，如果XI与单位均值严格正，且满足条件（2），对于每i=1，n、 回顾预期缺口和风险价值之间众所周知的联系ESα[·]=α-1RαVaRβ[·]dβ，我们给出了一个关于置信水平积分的结果。引理3。考虑一个具有严格正密度f的实值随机变量，它可以实现连续的分位数函数f-1、进一步考虑可微分函数G:R→ R带G（x）→ 0as x→ ∞. 然后对于每个α∈ （0，1）ZαGo F-1（1- β） f级o F-1（1- β） dβ=-Go F-1（1- α） 。这个结果直接来自变量β的变化→ y：=F-1（1- β） ，这意味着dβ=-f（y）dy.3φ的特定值（一维情况）本节的结果仅适用于一维情况，即如果n=1。在这个等式中，我们放弃了等于1的下标i，并避免使用矩阵表示法。我们在可交易资产X中确定了一个特定的初始投资金额φ，使得ρ[S（φ）]变得与X的分布相当独立。为了将可交易资产X的分布与债权规模L分开，我们分析了事件{S（φ）≤ -φ} 对于任意φ≥ 0并派生以下等效事件：{S（φ）≤ -φ} ={φ·（X- （1）- X·L≤ -φ} ={X·（φ- L）≤ 0}={φ- L≤ 0}={L≥ φ} ，（6）其中，倒数第二个等式来自X的严格正性。

因此，我们导出thatP（S（φ））≤ -φ） =1- FL（φ）。由于我们对S（φ）的α分位数感兴趣，我们需要选择φ=q：=F-1L（1- α） ，这是根据假设（3）确定的。这意味着zq=-q或者，等价地，VaRα[S（q）]=q。同样对于预期短缺，φ=q是一种特例：因为{S（q）≤ zq}={L≥ q} ，直接从（6）中得出结论-α·ESα[S（q）]=E[S（q）·11S（q）≤zq]=Eq·（X）- （1）- X·L· 11升≥q（7） =q·E[X- 1] ·P（L≥ q）- E[X]·E[L·11L≥q] =E[-L·11-L≤-q=F-1.-L（α）]=-α·ESα[-五十] ，其中第三个等式来自于X和L的独立性，第四个等式来自于X的单位平均值。也是函数φ7的一阶导数→ ρ[S（φ）]在φ=q时表现出特殊性质。我们总结了以下定理中的发现以及与φ的特殊值有关的所有其他结果。定理4。假设（2）和（3）。如果q：=F-1L（1-α） =VaRα[-五十] 单位最初投资于X，即如果φ=q，则a）ρ[S（q）]=ρ[-五十] 对于ρ∈ {VaRα，ESα}。b） 在φ=q时评估的盈余风险与φ的差异读数φρ[S（φ）]|φ=q=((-（1）·E[X-1]-1.- 1.≥ 如果ρ=VaRα，则为0；如果ρ=ESα，则为0。如果X不是常数，则上述不等式变得严格。c） 函数φ7→ ESα[S（φ）]达到其全局最小值ESα[-五十] 在φ处*= q、 （φ*不一定是唯一的。）（a）部分已在上文中给出，使用φ7的可微性和凸性，将（b）的证明转移到附录中，（c）从（b）中得出→ ESα[S（φ）]，见引理1。备注5。

a） 特定资产配置q在以下意义上与模型无关：风险ρ[S（q）]独立于风险度量值和预期短缺的资产分布，只要资产严格为正。b） 特定资产价值下的模型独立风险值等于ρ[-五十] 如果X的波动率降至零，X变为常数（值为1），则与盈余风险一致。因为在风险价值表达式中(-1） 在该公式中出现四次，我们建议命名为“4 x-1”公式c）初始量φ*投资于风险最小化的Xρ[S（φ）]小于ρ[-五十] 对于两种风险度量ρ∈ {VaRα，ESα}。对于VaRα，这源自定理的（b）部分，对于ESα，最小值在φ处*= VaRα[-五十] <ESα[-五十] 。这一现象是由于X和L之间的差异。X和L同步实现的概率取决于它们各自的（1-α） -分位数等于α α。因此，基于低于ρ的索赔额概念，对X中的冲击进行免疫是有意义的[-五十] 。d） 在一般多维情况下，我们不能期望找到特定的资产配置φ*使得剩余风险ρ[S（φ*)] 独立于资产向量的分布。原因是，债权规模与可交易资产的分离不再像单变量情况那样有效。与（6）相似，我们导出{S（φ）≤ -h1，φi}={hX，φ- 李≤ 0}。由于标量积结构，X的正性不足以推断φ- 与单变量情况一样，L在所有维度上都是正的。4展开结果4.1克Charlier-like展开经典的Cornish-Fisher方法[5]得到了基于剩余的onits矩分位数的展开。

这些可以很容易地从（5）中根据L和X的矩使用它们的独立性来计算。图1将四阶Cornish Fisher展开式与盈余的真实风险价值（作为单变量情况下资产配置φ的函数）进行了比较。这种康沃尔-菲什展开无法再现定理4中的VaRα[S（q）]=q的关系。（a） 其独立于X和L的分布。原因是由于责任的乘积结构，S（φ）的三阶矩和高阶矩与正态分布的矩有很大的不同。我们提出了一个保持定理4关系的展开式。（a） 。为此，我们证明了两个不一定独立的随机变量之和的类似于Gram-Charlier级数[4]的展开式。这种展开式不使用高斯分布作为基函数，而是使用其中一个变量本身的分布。提案6。考虑两个标量随机变量，Y+Y是一个密度，它对于任何阶都是可微分的，并且微分是可积的。然后fy+Y（z）=P（Y+Y≤ z）=∞Xr=0r！·(-Dz）rE2011年≤z.利用傅里叶变换证明了这个定理；详情将转移到附录中。备注7。如果Yand是独立的，则展开式读数为FY+Y=P∞r=0r·mr（Y）·(-Dz）rFY，其中mr（Y）表示Y的第r阶矩。该结果与经典的Gram-Charlier级数一致，该级数基于直接展开特征函数而非累积量生成函数，参见第。将命题6应用于盈余S（φ）=hX- 1，φi- hX，Li我们将其改写为（φ）=Y+Y的形式，用一个纯不可对冲的基函数Y：=-h1，Li受噪声项干扰：=hX- 1，φ- 线性依赖于可对冲资产的Li。

命题6leadsP（S（φ）的一个应用≤ z） =P- h1，Li≤ z+xi≥2(-1） ii！·DizEhhX公司- 1，φ- Lii·11-h1，Li≤zi。qq0,9 1,0 1,0 1,0 1,1,1,20,0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1资产单位Д1α=99%容差时的盈余风险值真（数字）Cornish Fisher代理（四阶）图1：盈余风险值的真值和四阶Cornish Fisher近似值，作为金融资产X的单位φ的函数。风险容差设置为1- α=99%，不可对冲成分L为正态分布，σL=0.43，因此q=VaRα（-L）=1，X为对数正态分布，对数正态波动率σ=0.25。一阶项消失，因为涉及X和L的项是独立的，X具有单位均值。注意hX- 1，φ- Lii=Pnj，···，ji=1Qik=1（Xjk- 1） ·（φjk- Ljk），我们可以再次使用这种独立性来积分关于资产维度的i阶项，以推导p（S（φ）≤ z） =(R)Fh1，Li[φ- L](-z） +Xi≥2i·nXj，··，ji=1'mj，··，ji·DiKj，··，ji[φ- L](-z） ，（8）式中Kj，···，ji[φ- 五十] （y）：=EL【Qik=1（φjk- Ljk）·11h1，Li>y]仅取决于索赔金额和'mj，···，ji：=EX[Qik=1（Xjk- 1） ]表示可交易资产的第i个多维中心时刻；此外，Fh1，Li是随机变量h1，Li的尾部函数。请注意(-1） 自条款11起，itermshave就消失了-h1，Li≤zare现在在函数Kj、····、jiby中引用了表达式（11h1，Li≥y） | y=-zand i倍差异再现了这些(-1） iterms。4.2二阶展开式我们根据可交易资产X的（多维）矩推导了盈余S（φ）累积分布的展开式。但我们需要的是当金融资产向量X变得越来越确定时，S（φ）的α-分位数z=z（φ）的展开式，即。

接近常量向量1。我们用∑可交易资产X的协方差矩阵表示，即∑ij=e[（Xi-1） ·（Xj-1） 】。我们考虑了二次范数中X到1的收敛性，即kX- 1k：=（E[hX- 1，X- 1i]）1/2→ 0、注意kX- 1k=tr（∑）=k∑k*, 其中tr（·）表示跟踪运算符，k·k*核型。由于矩阵范数的等价性，存在一些常数C>0，因此对于任意向量u，v∈ Rn |胡∑vi |≤ k∑kk·uk·kvk≤ C·k∑k*· kuk·kvk=C·kX- 1k·kuk·kvk。这意味着对于每个u，v∈ Rnhu，∑vi=O（kX- 1k）作为kX- 1公里→ 0。（9） 备注8。a） 关系式（9）成立，与X的特定收敛无关→ 1： 对于任何族（Xσ）σ>0且kXσ- 1公里~ σ为σ→ 0和Xσ对于每个σ>0，我们有hu，∑σ·vi=O（σ）作为σ→ 其中∑σ表示Xσ的协方差矩阵。b） 如果X的某些维数比其他维数更快地收敛到常数，则术语hu，∑σ·vi可以包含比σ更高阶的项，例如Xσ=1+σ·（X- 1） ，1+σ·（X- （1）有一些独立的容许的Xi。我们选择盈余的α-分位数z的展开式为σ：=kX- 1公里→ 式中的0 z=z（φ，σ）=P∞i=0zi（φ，σ），带zi（φ，·）~ σiasσ→ 每i 0∈ N、 当我们将α-分位数z（φ）插入方程（8）中时，左侧通过分位数的定义等于α。然后，我们按照σi的顺序展开（8）右侧的所有σ相关项。注意，展开式（8）中只有X的力矩直接依赖于σ；所有其他项仅取决于σ上的分位数z。这使我们能够按σi的递增顺序依次计算项zi。让我们开始按σiasσ的顺序展开方程（8）中的项→ 方程式（8）右侧的第一项为σ→ 0英寸Fh1，Li(-z） =(R)Fh1，Li(-z）- fh1，Li(-z） ·(-z- z- . . . ) -fh1，Li(-z） ·(-z- . . . )+ . . . .

（10） 我们开始评估分位数展开的零阶和一阶项zand zof。记住（10），关系式（8）读取的是一阶近似下的α-分位数α=(R)Fh1，Li(-z- z） +o（σ）=Fh1，Li(-z）- fh1，Li(-z） ·(-z） +o（σ）。收集零阶项，我们得到1-α=Fh1，Li(-z） 。再次表示q：=F-1h1，Li（1- α） 我们得出结论-z=q。收集一阶项，我们得到0=fh1，Li（q）·z。从密度fh1的正值，Li我们得出结论，z≡ 在开始计算二阶项z之前，我们定义了一些有用的泛函：K（y）：=ELhL·11h1，Li>yi，K∑[z]（y）：=ELhhZ，∑Zi·11h1，Li>yi，（11），用于任何Rn值随机变量z。这允许我们将展开式（8）中的二阶项重写为·K∑[φ- L](-z） 。通过等式（9），我们知道K∑[φ- 五十] （y）=O（σ），因此alsoK∑[φ- 五十] （y）=O（σ）为σ→ 每y为0∈ R、 为了计算二阶项z，我们收集关系式（8）和展开式（10）中的所有项~ σ为σ→ 0和获得0=-fh1，Li(-z） ·(-z） +·K∑[φ- L](-z） +o（σ）。（12） 以下定理重新表述了S（φ）风险值的二阶展开结果，并导出了风险最小化资产配置。定理9。a） 定义q：=VaRα[-h1，Li]=F-1h1，Li（1- α） 用∑表示x的协方差矩阵。VaRα[S（φ）]在σ中的二阶展开：=kX- 1k=ptr（∑）→ 0由varα[S（φ）]=q+·fh1，Li（q）给出-1·K∑[φ- 五十] （q）+o（σ）=q-2fh1，Li（q）·nhφ，∑·φi·fh1，Li（q）+2h∑·φ，K（q）i- K∑[L]（q）o+o（σ）。b） 如果fh1，Li（q）6=0且∑是可逆的，则VaRα[S（φ）]的二阶展开式的最小值在φ处达到*= -fh1，Li（q）-1·K（q）和等式varα[S（φ*)] = q+2fh1，Li（q）·nfh1，Li（q）-1·hK（q），∑K（q）i+K∑[L]（q）o。证明：a）部分来自于求解（12）的zand表达式K∑[φ-五十] 通过K术语定义（11）。

将a）部分的第二个方程与φ进行微分，将其设置为零，然后从左侧乘以fh1，Li（q）·∑-1批准第b部分的第一个主张）。将其插入a）部分的第二个等式中，得到第二个断言。备注10。投资金额φ*在可交易资产中，当资产波动率趋于零时，使VaRα[S（φ）]的二阶展开最小化的可交易资产完全独立于资产分布。只有最优资产配置φ下盈余的风险价值*通过∑依赖于资产。现在我们来看看盈余的预期短缺，它可以用风险价值来表征，即ESα[S（φ）]=α-1RαVaRβ[S（φ）]dβ。当设置G：=K∑[φ]时，其展开是曲线3的直接结果-五十] 。推论11。a） ESα[S（φ）]的二阶展开式，σ=kX-1公里→ 0由ESα[S（φ）]=ESα给出[-h1，Li]-2α·K∑[φ- 五十] （q）+o（σ）=ESα[-h1，Li]+2αnhφ，∑·φi·fh1，Li（q）+2h∑·φ，K（q）i- K∑[L]（q）o+o（σ）。b） 如果∑是可逆的，则ESα[S（φ）]的二阶展开式的最小值在φ处达到*= -fh1，Li（q）-1·K（q）与α[S（φ*)] = ESα[-h1，Li]-2αnfh1，Li（q）-1·hK（q），∑K（q）i+K∑[L]（q）o。我们分析了总最优投资额Φ*:=Piφ*i=h1，φ*i在所有可交易资产中，定义为最佳投资金额φ之和*在可交易资产xit中，使ρ[S（φ）]的二阶展开最小。我们建立了与相关单一资产案例的链接，其特征如下：只有一个可交易资产X，即每i=1，…，Xi=xf，n、 剩余读数S（φ）=φ·（X- （1）- X·h1，Li，其中φ>0是该单项资产的投资金额。我们用φ表示*在相关的单一资产情况下，使ρ[S（φ）]的二阶展开最小的最佳投资金额。定理12。

根据定理9，在ρ[S（φ）]的二阶近似中，总最优投资额Φ*满意度：a）Φ*= q+fh1，Li（q）/fh1，Li（q），如果ρ=VaRα，和Φ*= q如果ρ=ESα。b） Φ*= φ*对于ρ∈ {VaRα，ESα}，即在相关单一资产情况下，总最优投资金额与最优投资金额一致。证明：我们用Kh1表示，Li（z）：=E[h1，Li·11h1，Li>z]=R∞qt·fh1，Li（t）dt。观察Φ*= h1，φ*我=-Kh1，Li（q）/fh1，Li（q），如果ρ=VaRα，根据定理9和=-Kh1，Li（q）/fh1，Li（q），如果ρ=ESα，则由推论11得出。进一步注意，Kh1，Li（q）=-q·fh1，Li（q）和Kh1，Li（q）=-q·fh1，Li（q）-fh1，Li（q），证明第a部分）。正如a）在一维情况下也适用，b）部分随后检查了一维关联单一资产情况下的公式ina）。因此φ*可以解释为φ的分配*在这个意义上，piφ*i=φ*. 我们研究了多元索赔规模分布对这种分配的影响：如果一个特定的索赔规模更具波动性，并且仅与其他索赔规模Lj弱相关，j 6=i，那么资产中的一个重要金额应显示在风险最小的资产分配φ中*. 如果索赔额是多变量分布的，我们会得到以下结果，其证明将转移到附录中。定理13。假设索赔金额为L~ N（0，∑L）服从协方差矩阵∑L.1的多元正态分布。那么对于ρ∈ {VaRα，ESα}投资φ*在可交易资产中，最小ρ[S（φ）]扩展到资产波动率σ=kX的二阶- 1公里→ 0遵循关于L的协方差分配原则，即φ*i=∑Lii+Pj6=i∑Lijh1，∑L·1i·φ*（i=1，…，n），其中φ*根据定理12和h1，是相关单一资产情况下的风险最小投资，∑L·1i是ILI的总方差。2.