经济中立立场：如何最佳复制不完全可复制

因此，引入了所谓的复制投资组合，将负债方的资本市场敏感性转化为金融工具组合（如零息票债券）。关键问题是，复制投资组合应如何选择负债的名义价值？市场标准是采用最佳估计值，这意味着支持盈余的资本属于无风险投资，例如欧元现金。我们将表明，与综合风险模型相比，这可能会导致衡量的市场风险SCR发生重大扭曲。为了避免这种情况，我们在慕尼黑再保险公司引入了经济中性头寸（ENP）的概念，该概念被定义为（虚拟）资产组合，从而最小化了综合模型的总SCR。ENP是慕尼黑再保险认证内部模型中Solvency II市场风险衡量的风险中性参考点。这意味着资产和ENP之间的任何不匹配都会通过定义产生市场风险。对于第2节所述的产品结构为PILI·Xide的负债，ENP与本文所述优化问题的解决方案相对应。ENP由资产Xi（由不同到期日和货币的零息债券表示）组成，以风险最小的方式支持负债方的索赔现金流。项目中资产的投资金额等于Li·xi的最佳估计值加上与风险最小投资金额φ相对应的安全裕度*i、 如果说谎者是正态分布的，则总安全裕度等于总保险风险部分的85%，该部分被定义为所有非对冲风险中完全分散的非对冲索赔的风险贡献。该组件分配给单一资产XI（例如。

根据协方差原理（定理13），零债券的不同到期日）。现在，让我们分析模块化风险模型的总SCR，该模型使用ENP作为风险中性参考组合进行市场风险度量，并将其与集成风险模型的结果进行比较。我们假设，对于一维情况，盈余S的形式为（5）。让我们考虑风险容忍度为1的Solvency II风险度量VaRα-α=99.5%。保险负债的不可对冲SCRL在保险风险模块（如损益模块）中计算。对于我们的简单示例，SCREquals是我们对q的定义，可以设置为1而不丧失一般性（SCRL=q=VaRα[L]=1）。市场风险SCRM由资产组合不匹配的风险价值减去ENP来衡量，即SM（φ）=（φ- φ*) · 十、- φ、 并且是金融资产X的单位φ的函数。为了简单起见，盈余的总SCRTO是通过基于平方根公式的CRLAND SCRMB聚合来计算的，该公式也用于Solvency II标准公式（请记住，假设L和X是独立的）：SCRT=qSCRL+SCRM。此聚合方法仅对正态分布随机变量之和有效。因此，我们假设风险驱动因素L和X都遵循正态分布，即出于技术原因，我们违反了X的正态假设。

否则，需要相应地调整聚合方法。图6将模块化风险模型的总SCRTO与集成模型的总SCRTO进行了比较，集成模型的总SCRTO只是风险容限为1的S（φ）的风险值-α=99.5%，具有所有风险驱动因素的联合随机性。但专业人寿保险业务除外，该业务在保险公司资产负债表的资产和负债方面表现出显著的相互作用-1-0.5 0.5 1 1.5 2资产单位φ11.11.21.31.4VaRα总综合模型模块化模型（与ENP）模块化模型（与RP）图6：总SCRTA是综合风险模型（红实线）与模块化风险模型（与ENP（蓝色虚线）或RP（黑色虚线）相比较的金融资产X单位φ的函数。假设X为正态分布，波动率为15%。根据需要，集成和基于ENP的模块化方法可以很好地接近相同的totalSCR。只有当资产价值φ与风险最小值φ相差很大时*, 可以观察到两个模型结果之间的偏差。这是因为，用于聚合的平方根公式仅适用于正态分布随机变量之和。由于产品结构L·X，盈余的总分布通常不是正态分布（即使L和X都是正态分布）。通过重新定义模块化模型的聚合方法，可以在一定程度上消除这种影响。为了进行比较，我们在图6中还显示了行业标准，该标准衡量了市场风险与复制投资组合（RP）之间的关系。这对应于将负债L的名义值设置为其最佳估计值，在我们的示例中为零。这可能会导致与综合模型测量的“真实”SCR存在重大偏差。

尤其是如果资产金额低于预期的索赔规模（由于业务的长期性，对于资产期限通常低于负债期限的寿险公司来说，这是一个典型的情况），基于模块化RP的方法明显低估了“真实”风险。参考文献[1]Ait Sahalia，Y.、L.Zhang和P.A.Mykland（2005）。已实现波动率和相关估计量的Edgeworth展开。计量经济学杂志。160.190–203。[2] Becherer，D.（2003年）。持续绝对风险厌恶下综合风险的合理对冲和估值。保险：数学与经济学33，1-28。[3] M.Cambou和D.Filipovi\'c（2017年）。将投资组合方法复制到资本计算中。财务与随机。22.[4]Charlier，C.V.（1905年）。¨Uber die Darstellung Willk¨urlicher Funktionen。Arkiv fur Matematik，Astronomy och Fysik，9（20）[5]Cornish，E.A.和R.A.Fisher，（1960年）。具有已知累积量的分布的百分位点。技术指标。美国统计协会和美国质量协会。2（2）：209–225。[6] Cvitanic，J.（2000），《在不完全和受限市场中最小化套期保值的预期损失》。暹罗J.控制优化。，1050-1066年。[7] Cvitanic，J.和I.Karatzas（2001年）。通过凸对偶Bernoulli 7，79–97推广了Neyman-Pearson引理。[8] Cvitanic，J.和G.Spivak（1999年）。最大化完美对冲的概率。《应用可能性年鉴》91303–1328。[9] Dahl，M.和T.Moller（2006年）。具有系统死亡风险的人寿保险负债的估值和套期保值。保险：数学和经济学。193-217。[10] Edgeworth，F.Y.（1907年）。用级数表示统计频率。《皇家统计学会杂志》，A辑，80。[11] 欧洲议会（2009年）。

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改为旋转变量λ=（λ，’λ），由`=Dλ定义，如定理14所示，这意味着hx，Dλi=λ√nhX，1i+hX，1⊥\'λi，我们得到G（φ，z）=EXRRn公司-1d'λR∞√nhX，1ivdλg（λ，’λ）, 式中，v=v（X，(R)λ，z，φ）：=hX- 1，φi- z- hX，1⊥(R)λi和g（λ）：=fL（Dλ）是旋转密度。Dyg与y的微分∈ {z，φ，…，φn}读取DyG（φ，z）=-挖掘-1克(√nhX，1iv，(R)λ）·√nhX，1iDyv d'λi，其中Dyv=-如果y=z且=Xi，则为1-1如果y=φi，微分和积分可通过支配收敛互换，因为L的（旋转）密度g有界，1/hX，1i可通过假设进行积分。请注意，G的偏导数是连续的，这意味着G存在全微分。特别是z 7→ G（φ，z）是连续的，是G（φ，R）=[0，1]的增函数。因此，对于每个φ∈ Rn+和α∈ [0，1]存在唯一的zφ，α∈ R使得p（S（φ）≤ zφ，α）=G（φ，zφ，α）=α，这证明了（a）。后者还意味着S（φ）没有原子，因此S（φ）的上分位数和下分位数重合；预期空头的表示遵循[14]的推论4.49，因此证明了（b）。Ad（c）：由于G是连续可微分的，并且DzG>0是由L密度的严格正性决定的，因此隐函数定理暗示φ7→ zφ，α是可微的。对于预期短缺，关于φi的可微性如下所示：ESα[S（φ）]=α-1·RαVaRβ[S（φ）]dβ，因为φi和积分rα可以互换。

这证明了（c）Ad（d）：对于φ，φ∈ Rn+和λ∈ [0，1]，Sλ·φ+（1- λ） ·φ= hX公司- 1，λ·φ+（1- λ） ·φi- hX，Li=λ·[hX- 1，φi- hX，Li]+（1- λ） ·[hX- 1，φi- hX，Li]=λ·S（φ）+（1- λ） ·S（φ）。因此，该断言源自预期短缺的凸性。定理4第（b）部分的证明：在一维情况下，曲面的累积分布可以写成Fs（φ）（z）=P（φ·（X- （1）- X·L≤ z） =EXPL≥ φ- （z+φ）/X十、= EXh'FL公司w（φ，z，X）i、 w（φ，z，X）：=φ- （z+φ）/X，（17）其中最后两个方程遵循X的严格正性及其与L的独立性。因为分位数zφ隐含定义为z解α=FS（φ）（z）=EXh'FLw（φ，z，X）i、 我们的烛光φzφatφ=q来自隐函数定理（其条件满足引理1的证明）。我们用Dφ=φ+(φzφ）·Z相对于φ的总差值。在zφyields0=DφEX的定义方程上应用Dφ\'FL（w（φ，zφ，X））]=-EX公司fL（w（φ，zφ，X））·[φ+φzφ·z] w（φ，zφ，X）（18） 自φw=1- 1/X和zw=-我们推断的1/Xφzφ=EXfL（w）·（1）- 1/X）EX公司fL（宽）·（1/X）=EX公司fL（w）EX公司fL（宽）·（1/X）- 1，前提是分母不为零。自zq=-q、 术语w（q，zq，X）=q- （q+zq）/X=q变为常数。因此，f（w）也变为常数φzφ以上塌陷至(φzφ）|φ=q=E[X-1]-1.- 1.≤ 如果X是非常数，则0，（19）带<。后一个不等式源自逆函数的严格凸性和Jensen不等式，这意味着E[X-1] >E[X]-对于非常数X，1=1。乘以（19）-1给出了风险值定理的断言。对于预期差额，我们可以证明，在φ=q时，关于φ的导数消失：从（17）中的第二个方程中，我们发现{S（φ）≤ zφ}={L≥ w（φ，zφ，X）}。

类似于（7）wecalculateE[S（φ）·11S（φ）≤zφ]=排气φ·（X- （1）- X·L· 11升≥w（φ，zφ，X）i=φ·EXh（X- 1） ·佛罗里达州w（φ，zφ，X）我- EXhX·Z∞w（φ，zφ，X）l·fL（l）dli。关于φ产量的差异φE[S（φ）·11S（φ）≤zφ]=EX[（X- 1） ·FL（w）]- φ·EX[（X- 1） ·fL（w）·Dφw]+EX[X·w·fL（w）·Dφw]。回想一下，在φ=q时，术语w（q，zq，X）=q变为常数。因此，上述表达式很简单φE[S（φ）·11S（φ）≤zφ]|φ=q=\'FL（q）·EX[X- 1] +q·fL（q）·EXh- （十）- 1） +X个· Dφwi=q·fL（q）·EX[（Dφw）（q，zq，X）]=0，其中最后一个等式来自X的单位平均性质和φ=q时计算的（18），同时fL（w）变为正常数。这证明了预期短缺理论的主张。命题6的证明：Y+Y的特征函数可以写成φY+Y（t）：=E[eit（Y+Y）]=EYeitY·φY | Y（t）, 其中φY | Y（t）：=E[eitY | Y]表示Y上条件Y的条件特征函数。我们证明φY+和φY |是可积的：通过假设密度fY+的任何阶的微分存在并且是可积的。由于fY+Yi是连续的，因此是局部有界的，因此它也是L-可积的。我们根据Parceval定理和傅里叶变换的微分规则推导出RR | DkfY+Y | dx=√每k 2πRR | tk·φY+Y（t）| dt∈ N、 当任何特征函数有界时，φY+Yis是可积的，因为尾部可由CauchySchwartz：R积分∞T |φY+Y | dt≤ （R）∞Tt-2dt）·（R）∞Tt |φY+Y | dt<∞, 和negativetail类似。自FY+Y（z）=EY[FY | Y（z- Y） ，FY+Yalso的差异性和可积性假设适用于条件累积分布FY | Y。

重复上述论点，我们推断φY | Yis也是可积的。根据反演公式，当z<zFY+Y（z）时，可以恢复Y+Y的累积分布- FY+Y（z）=（2π）-1ZRe-itz公司- e-itzit·φY+Y（t）dt=（2π）-1ZRe-itz公司- e-伊齐特·艾eitY·φY | Y（t）dt=（2π）-1EY“ZR∞Xr=0（itY）rr·e-itz公司- e-itzit·φY | Y（t）dt#=（2π）-1.∞Xr=0(-1） rr！·EY公司YrZR公司(-it）r·e-itz公司- e-伊齐特·φY | Y（t）dt=∞Xr=0(-1） rr！·EY公司年·DrzFY | Y（z）- DrzFY | Y（z）,其中，第三个方程来自Fubini定理（自（t，y）7→ φY | Y（t）在乘积测度上是可积的，并且来自扩展eitY；第四个方程来自于指数级数在{w上的一致收敛性这一事实∈ C：<w≤ 1} 最后一个方程遵循傅里叶变换的微分规则。让ztend到-∞ 我们获得+Y（z）=∞Xr=0(-1） rr！·DrzEY公司年·财年|年（z）=∞Xr=0r！·(-Dz）rEYhYr·E【11年】≤这证明了这个断言。定理13的证明：我们从一些准备开始。自L起~ N（0，∑L），也（L，h1，Li）根据协方差矩阵Γ的中心（N+1）维正态分布分布分布=ΓΓΓΓ, Γ=∑L，Γ=∑L·1，Γ=h1，∑L·1i。