关于GJR-GARCH模型中Nelson-Cao不等式约束的注记：

1时间长度为1000。图1显示负条件方差的蒙特卡罗模拟路径h-1 0 200 400 600 800 10000.00000.00050.0010h-1 h-10 0 200 400 600 800 10000.000000.000250.00050h-10 h-14 0 200 400 600 800 10000.000000.000250.00050h-14 h-16 0 200 400 600 800 10000.00000.00050.0010h-16 h-19 0 200 400 800 10000.00050.0100.015h-19 h-35 0 200 400 600 800 800 10000.00000.00050.0010h-35检查MC尝试成功后，我们考虑生存数SR，它是在不遇到负方差的情况下到达终点的路径数。时间长度对MR的依赖性（图2）显示出快速衰减，因为给定足够的步长，剩下的路径很少（线是指向眼睛的）。

因此，尽管杠杆约束似乎与样本模型规格拟合一致，但方法不正确，约束 应始终予以考虑。图2基于ARMA（1,1）-GJR（1,1）规范的初始模型，SR与仿真长度的关系，    （12a）       （12b）                    （12c）                     （12d）ARMA（1,1）-GJR（2,1）规范，    （13a）                       （13b）                    （13c）                     （13d）和ARMA（1,1）-GJR（1,2）规范    （14a）                 （14b）                    （14c）                     （14d）关于杠杆假设的结论未被反驳；负ARCH效应在统计学上仍然显著，所有规范都无法在不考虑负方差的情况下生成可靠的模拟。我们工作的第一部分证实，GJR（1,1）案例不可能存在杠杆效应。3.2。不对称假设：黄金现货价格Baur&Lucey（2010）和Baur and McDermott（2010）确定了三种资产类别，并提供了对冲、多元化和避险的正式区分和定义。避险资产是一种平均与投资组合不相关的资产，但在危机期间表现出负相关。

黄金是一种在危机期间对投资者的行为表现出有趣特征的商品，因为它具有避风港的性质。表2给出了AR（1）-GJR（1,1）规范的结果。自从 ,  所有软件都允许  参数使用运行本机代码 ,  ,  ,  参数实际上为零() t-statistics为0.011。表2黄金现货回报率的AR（1）-GJR（1,1）模型结果JR（1,1）MatlabgretReviewSoxmetricsμ0.0004*0.00040.0004*0.0004*0.0004*0.0004*0.0004*φ-0.04*-0.04*-0.04*0.04*ω1.46e-06*1.4e-06*1.4e-06*0.080.08*0.08*0.9333*0.9333*0.9334*0.9334*0.9332*γ-0.0047*-0.047*-0.047*-0.047*-0.047*ξ#NA0.00571.00*\\NA-0.005v5.22*5.22*5.23*5.23*5.219*注：（*）表示5%临界水平的统计显著性和（#NA）表明使用了不对称的t-Student分布。由于技术和“物联网”，几十年来，国际指数一直在增长，但在发生危机时，损失巨大。这种效应产生了通常的正γ不对称项。在发生危机的情况下，避险资产会逆转这种影响，因为资产或投资组合会向避险资产移动，从而产生负γ参数。为了支持这一推理，我们研究了2000年1月4日至2016年12月27日期间SP500黄金对的动态特性，其中包括几次危机。

使用两个系列收益的向量自回归（VAR）模型，可以确定SP500与黄金之间的短期格兰杰因果关系，反之亦然，如表3所示。表3 VAR Granger因果关系/区块外生性Wald测试相关变量：DLGOLDExcludedChi sqdfProb。DLSP21.7620.0000*所有21.7620.000因变量：DLSPExcludedChi sqdfProb。DLGOLD4.2270.1208所有4.2270.1208注释：（*）表示5%临界水平的统计显著性。这表明负不对称参数具有坚实的财务基础。假设 和 通过选择合适的正网格，不等式的容许区域   和    考虑到图3所示的正态分布（方程式5a），允许不对称参数取负值。图3不等式的容许区域,  , 和  对于受式（5b）约束的t-Student分布，区域变化不大，不对称参数取负值的可能性仍然存在。使用不同路径长度的蒙特卡罗模拟，条件方差保持为正；因此，就约束而言，GJR（1,1）的不对称假设和  是有效的，不能反驳。结论本文检验了GJR（1,1）模型优化软件中使用的约束强度。放松GJR（1,1）案例中的某些约束可以描述  不对称或杠杆的参数。结果表明，杠杆不可能存在，因为它会违反Nelson-Cao不等式约束和方差的正属性。

另一方面，在某些约束条件下，对称性假设不会导致任何不一致的结果。参考Baillie，R.T.、Bollerslev，T.和Mikkelsen，H.O.（1996）“分数积分广义回归条件异方差”，《计量经济学杂志》，74，第3-30页。Baur，D.G.，Lucey，B.M.（2010），黄金是对冲还是避风港？《股票、债券和黄金分析》，《金融评论》，45，第217-229页。Baur，D.G.，McDermott，T.K.（2010），“黄金是避风港吗？《国际证据》，《银行和金融杂志》，34，1886-1898页。Bollerslev，T.（1986）“广义自回归条件异方差”，《计量经济学杂志》，第31卷，第3期，第307-327页。Bollerslev，T.（1987），“投机价格和回报率的条件异方差时间序列模型”，《经济学与统计学评论》，第69卷，第3期，第542-547页。Bollerslev，T.和Mikkelsen，H.O.（1996年）。股票市场波动中的长记忆建模与定价。《计量经济学杂志》，73151-184。Caporin，M.和McAleer，M.（2012）《波动率模型及其应用手册》中的“条件和随机波动率模型的模型选择和测试”，LucBauwens，Christian Hafner和Sebastien Laurent John Wiley&Sons，Inc.著，第199-222页。Chen，M.，An，H.Z.（1998），“关于GARCH模型平稳性和矩存在性的注记”，中国统计局，8，第505-510页。Chung，C.F.（1999年）。估计分数积分GARCH模型。国立台湾大学，工作文件。Davidson，J.（2004）。线性条件异方差模型的矩和记忆性质，以及一个新模型。《商业与经济统计杂志》，22（1），16–29。丁，Z.，格兰杰，C.W.J.，和恩格尔，R.F.（1993）。

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