关于GJR-GARCH模型中Nelson-Cao不等式约束的注记：

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英文标题：
《A note on the Nelson Cao inequality constraints in the GJR-GARCH model:
  Is there a leverage effect?》
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作者：
Stavros Stavroyiannis
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The majority of stylized facts of financial time series and several Value-at-Risk measures are modeled via univariate or multivariate GARCH processes. It is not rare that advanced GARCH models fail to converge for computational reasons, and a usual parsimonious approach is the GJR-GARCH model. There is a disagreement in the literature and the specialized econometric software, on which constraints should be used for the parameters, introducing indirectly the distinction between asymmetry and leverage. We show that the approach used by various software packages is not consistent with the Nelson-Cao inequality constraints. Implementing Monte Carlo simulations, despite of the results being empirically correct, the estimated parameters are not theoretically coherent with the Nelson-Cao constraints for ensuring positivity of conditional variances. On the other hand ruling out the leverage hypothesis, the asymmetry term in the GJR model can take negative values when typical constraints like the condition for the existence of the second and fourth moments, are imposed.
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中文摘要：
金融时间序列的大多数程式化事实和一些风险价值度量是通过单变量或多变量GARCH过程建模的。由于计算原因，高级GARCH模型无法收敛的情况并不罕见，通常的节约方法是GJR-GARCH模型。文献和专门的计量经济学软件中存在分歧，应将约束条件用于参数，间接引入不对称和杠杆之间的区别。我们表明，各种软件包使用的方法与Nelson-Cao不等式约束不一致。实施蒙特卡罗模拟，尽管结果在经验上是正确的，但估计参数在理论上与Nelson Cao约束不一致，无法确保条件方差的正性。另一方面，排除杠杆假设，当施加二阶矩和四阶矩等典型约束条件时，GJR模型中的不对称项可以取负值。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> A_note_on_the_Nelson_Cao_inequality_constraints_in_the_GJR-GARCH_model:_Is_there.pdf (483.38 KB)

2022-5-31 10:55:37 上传

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关键词：GJR-GARCH GARCH模型 ARCH模型 Nelson GARCH

关于GJR-GARCH模型中Nelson-Cao不等式约束的一点注记：是否存在杠杆效应？Stavros Stavroyiannis（a，*）（a）希腊伯罗奔尼撒技术教育学院管理与经济学院会计与金融系（*）通讯作者。电话：（+30）2721045303。电子邮件：computmath@gmail.com，则，stavroyian@teikal.grAbstractThe金融时间序列的大多数程式化事实和一些风险价值度量是通过单变量或多变量GARCH过程建模的。由于计算原因，高级GARCH模型无法收敛的情况并不罕见，通常的节俭方法是GJR-GARCH模型。文献和专用计量经济学软件中存在分歧，在这些问题上，参数应使用约束条件，从而间接引入了不对称和杠杆之间的区别。我们表明，各种软件包使用的方法与Nelson Cao不等式约束不一致。实施蒙特卡罗模拟，尽管结果在经验上是正确的，但估计参数在理论上与Nelson Cao约束不一致，无法确保条件方差的正性。另一方面，在排除杠杆假设的情况下，GJR模型中的不对称项可以在施加典型约束（如存在二阶矩和四阶矩的条件）时取负值。关键词：GJR-GARCH、不对称、杠杆、Nelson-Cao约束。1、简介金融时间序列回报具有多种经常遇到的属性，它们被称为程式化事实。这些包括瘦肉症、异禀性、波动性分散、杠杆效应和长记忆。

在Bollerslev（1986）的GARCH框架内，一贯对程式化事实以及风险价值和预期短缺指标进行建模。更先进的模型包括EGARCH（Nelson，1991）、GJR（Glosten、Jagannathan和Runkle，1993）、APARCH（Ding、Granger和Engle，1993）、FIGARCH（Baillie、Bolleslev和Mikkelsen，1996a和Chung，1999）、FIEGARCH（Bolleslev和Mikkelsen，1996）、FIAPARCH（Tse，1998）和HYGARCH（Davidson，2001）。似然估计量的分布方案包括标准正态分布（Engle，1982），Student-t分布（Bollerslev，1987），Subbotin（1923）引入并由Nelson（1991）应用的广义误差分布（GED），skewed GED（Hill et al.，2008；Theodossiou，2002；Theodossiou and Trigeorgis，2003），斜态t-Studentdistribution（Fernandez and Steel，1998；Lambert and Laurent，2000）以下简称asSKST，以及Pearson IV型分布（Stavroyiannis et al.，2012；Stavroyiannis and Zarangas，2013）。这些过程中的以下步骤是确定参数的适当约束以及任何可能的松弛。在最初的GARCH模型中，  （1） Bollerslev强加了这些条件,  ,  ,  对于所有人（有关约束的详细分析，请参见Chen和An，1998；Ling，1999；Ling和McAleer，2002）。对于GARCH（1,2）模型等较简单的情况   （2） 条件是， ,  同样，对于GARCH（2,1）模型，   （3） 通过以下方式放宽条件：   （Nelson和Cao，1992年）。

这两种情况都提供了一个容许区域，其中条件波动率方程中的参数可以假定为负值。由于与似然曲面形状的复杂性相关的各种原因，高级GARCH模型可能无法收敛，尤其是在模型和分布函数有许多参数的情况下，或者在多变量模型的情况下。如果曲面在一个或多个维度上是平坦的，则在对数似然最大化过程中使用的算法可能会陷入相同参数上的无限循环中。由于分布二阶矩和四阶矩存在的约束集，objectivefunction在参数空间边界附近表现不佳（详细描述见Silvenoinnen，2008；Silvennoinen和Ter"asvitra，2009）。在这种情况下，文献中常用的一种节俭方法是GJR-GARCH模型。对于GJR（1,1）情况   （4） McAleer（*）指出，如果残差服从正态分布，则二阶矩和四阶矩分别存在的条件如下所示：                       （5a）     .

（5b）如果是t-Student分布 自由度，存在四阶矩的条件是                （6） 在哪里  , 和.关于GJR建模，文献中对参数它可以被识别为不对称或杠杆。根据Caporin和McAleer（2012）的论文，模型规范中包含了不对称性，以解释相同量级的正负冲击对波动性有不同影响的程式化事实。另一方面，杠杆旨在捕捉负面冲击增加波动性，而正面冲击减少波动性的可能性，或者如Black（1976）和Christie（1982）所述，当前回报和未来波动性之间的负相关性。他们得出结论，GJR-GARCH模型可能是不对称的，但它不太可能具有杠杆特性，因为ARCH效应必须是负的，这与金融计量经济学文献中几乎所有的实证发现都相反。下一步是确定GJR过程的约束条件。McAleer（2014）认为这是一个随机参数自回归过程，             （7） 并注意到尽管 必须为正，因为它们是三个不同随机过程的方差，所有三个参数都应为正。

最后，给出了GJR不对称性存在的形式定义，如果, 而杠杆的条件是 , 和.这项工作的目的是观察约束放松的情况，并指出可能违反Nelson-Cao不等式导致负条件方差。SP500收益率的第一个案例调查杠杆问题，而黄金收益率案例（避风港）则调查不对称效应。我们发现杠杆假设违反了方差的正性假设，应该通过适当修改所使用的约束条件将其从计量经济学软件中排除。不对称假设不显示任何违反，是有效的。第2节描述了所使用的数据和模型，第3节提供了应用程序并提供了结论。2、计量经济学方法2.1。数据作为案例研究，我们考虑了1950年1月3日至2016年12月27日期间标准普尔SP500指数的历史每日收盘值，主要关注2008年1月3日至2013年12月31日的数据范围，以及2000年1月4日至2016年12月27日的黄金现货价格系列。收益率定义为收盘价的对数差，如果由于节假日或任何其他原因而损失价值，则使用前一天的收盘价。回报的分类事实表明存在偏斜、瘦肉症，而分类统计测试显示回报和平方回报偏离正态性、自相关和异方差。2.2。模型我们考虑AR（1）-GJR（1,1）模型，其中残差遵循Lambert和Laurent（2000）实施的SKST分布。

均值和方差方程为            （8a）    （8b）其中 是一个指示器函数，在0时取值为1t型否则为零。SKST分布定义为               （9a）               （9b）其中 是分布的不对称参数，由模式上下概率质量的比率定义,  ,    标准化t-Student  自由度，  和分别是非标准化SKST分布的均值和方差。根据定义 如果恢复t-Student分布。结果与讨论考虑的第一个问题是制约因素。为了对参数为不对称，约束 必须保持。这排除了参数取负值的可能性，尽管条件 , , 和 可能被允许留下来。为了分类 作为杠杆，需要满足的条件是 ,和. 第二个问题是，GJR模型的结果高度依赖于使用的软件，受优化程序编程方法中包含或排除某些约束不等式的影响。Eviews v.8.1和OxMetrics v.7.1允许负面参数尽可能 , 而包括Matlab v.2014a、使用rugarch软件包的R语言v.3.3.2（Galanos，2015）和Gretl v.2016d在内的这两个版本都允许使用负 参数远至 , 和.3.1。杠杆假设：SP500指数杠杆假设适用于 , 和.

尽管Caporiand McAleer（2012）指出，这与金融经济计量学文献中几乎所有的实证发现都相反，考虑到最近的金融危机，如全球金融危机的互联网，很容易在时间序列中找到某些间隔，如果程序员允许，a统计上为负数 观察参数。对于SP500指数，此类区间包括2000年1月4日至2016年12月27日的区间，或2008年1月3日至2013年12月31日的区间，以下简称为SP500。撇开简单的GARCH规范是否适用于结构中断的争论不谈，分析将完全基于软件输出。表1显示了各种计量软件的计量经济模型的结果。残差遵循SKST分布，如果软件不支持，则使用t-Student对称分布。对于不支持SKSTdistribution的Matlab和Eviews软件，平均值在统计上具有显著性，但考虑到偏斜，在统计上并不显著。

自回归项、GARCH、偏度和尾部参数在所有情况下都具有统计显著性。表1 SP500 returnsMatlabGretlREviewsOxMetricsμ0.0007*0.00040.00040.0006*0.0003φ-0.0567*-0.0697*-0.0698*-0.0544*-0.0651*ω1.89e-06*2.09e-06*2.00E-061.72e-06*1.97e-06*α1.21e-084.93e-081.00E-07-0.0435*-0.0450*的AR（1）-GJR（1,1）模型结果β0.895*0.894*0.8940*0.9239*0.9236*γ0.179*0.184*0.1839*0.2059*0.2133*ξ#NA-0.1573*0.8547*NA-0.1656*v6.8164*7.493*7.4587*6.8608*7.438*注：（*）表示5%临界水平的统计显著性，（#NA）表示使用非对称t-Student分布。R计算语言的偏斜度结果的差异是由于它计算 根据定义，这是一个正数，而Gretl和OxMetrics使用 出于实际原因，指示倾斜的迹象。杠杆参数 在所有软件中均为阳性且具有统计学意义。ARCH参数很有意思，因为软件允许 导致出现具有统计意义的负值，如果禁止使用NegativeValue，则参数假定为不具有统计意义的零值。请注意，Eviews和OxMetrics都支持负的ARCH参数，这表明这不是使用对称分布的模型错误指定的属性。

结果的有效性已使用本地Matlab代码进行交叉检查，其中通过实现Pearson type IV作为替代分布，可以随意定制约束。优化程序中使用的标准化SKST的对数可能性为，      （10a）               （10b）在优化过程中，方差不能假定为负值。术语将接近 当方差接近零时，将永远不会达到负值。在实际应用中，解决这一问题的一种方法是通过蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation），所有主要银行都使用该方法（Mehta et al.，2012）计算风险价值（VaR）和相关度量。我们进行了100次蒙特卡罗AR（1）-GJR（1,1）模拟，时间长度从 到 通过规范，     （11a）    （11b）其中遵循标准化（零均值和方差1）SKST 自由度和  偏度参数。结果表明，在大多数蒙特卡罗情况下，由于负方差，模拟已停止，如图所示。