基于高斯分布的金融波动预测新方法

我们还可以回归图1（d）所示的正收益的最大包络线和负收益的最小包络线，然后使用公式（22）组合结果。金融时间序列的包络线显示对数正态分布，如图2所示，包络线上的GP回归保持了式（3）中的假设。当在信封上进行回归时，我们处理的数据点数量较少（实际上只有原始数据系列的三分之一左右），回归受数据点的中间波动影响较小，我们得到的基本波动率函数估计相对较平滑。7方法我们的目标是评估基于高斯过程的波动率预测方法的性能，以对抗现有方法，如GARCH及其常用变体。在本节中，我们概述了我们用于表示绝对回报的衡量标准，可以假设这同样适用于方形回报。8 S.A.A Rizvi等人评估预测性能。我们解释了为我们的数据选择最佳GP内核的方法，概述了我们用于hype rparameterinference的技术，以及我们在每个预测步骤中使用Cholesky updating和downdating来更新协方差矩阵。我们还建立了一种方法，通过比较GARCH获得的个体与aGP获得的个体，确保GP对波动性的预测是基本方差的无偏测量。性能指标：通过比较基础波动率σ（在这种情况下，波动率的概率，即绝对或平方收益）与提前一步预测h来评估预测技术的预测性能。为了评估不同内核的性能，我们使用四个损失函数和两个精度度量。

lo-ss函数与文献[10]中使用的函数相同，并且在金融波动率预测文献中广泛用于比较不同模型的预测能力：MSE=n-1nXt=1（σt- ht）（25）MSE=n-1nXt=1（σt- ht）（26）MAE=n-1nXt=1 |σt- ht |（27）MAE=n-1nXt=1 |σt- ht |（28）（29）准确度度量是m竞争中使用的五种度量中的两种，即中值RAE（相对绝对误差）和对称平均绝对百分比误差（sMAPE）：MdRAE=中值σt- htσt- σt-1.（30）sMAPE=n-1nXt=1|σ- h |σ+h* 200（31）MdRAE根据无变化模型测量拟议模型的误差，其中我们的一步超前预测与最后观测到的数据点相同。值小于than 1意味着所提出的模型比单纯的无变化模型性能更好。有关此度量的更多信息，请参阅[4]。sMAPE为超过和低于预测值的部分提供对称权重，如果它们与原始值的绝对距离相同，请参见[12]了解详细信息。核选择：将GPs应用于金融预测时，首要考虑的是选择最适合我们数据的合适核。用高斯过程包络预测金融波动率这建立了我们对函数空间的先验知识。在本文中，我们比较了三种不同的核：平方d指数核、Mat'ern-3/2kernel和[18]中列出的准周期核。

在我们的内核比较中，SE内核作为比较其他两个内核性能的基线。设d=| xi- xj |，则：kSE=σhexp“-d√2升#（32）kMat'ern，ν=3/2=1+√3dl！exp“-√3dl#（33）式中，σhis是输出s c ale，l是输入长度标度，σnis是噪声方差：kQP=σhexp-sin[πd/T]2w-dl+ Iσn（34），其中T是每iod，w是一个超参数，用于捕捉相对于周期的粗糙度，有关此内核的进一步讨论，请参见[18]。回归：在本文中，我们使用绝对收益、绝对收益的包络、单独的负收益和正收益以及它们的发展。我们对日志空间中的数据执行GP回归，使用滚动窗口方法，随着新数据的到来，数据从尾部移动。我们使用第3节和第4节中概述的预测方程。超参数推断：我们通过使用最大后验概率（MAP）估计来推断超参数，在超参数空间上放置高斯先验分布。我们使用Nelder-Mead单纯形（直接搜索）方法（1），通过最小化负对数后验值来实现超参数速度上的搜索。为了消除初始猜测对发现的最终超参数的影响，使用了由1000个初始化点组成的均匀随机网格。网格点作为我们探索超参数空间的起始猜测点。对负对数后验值产生最小值的超参数保持为最佳估计。Cholesky因子上溯和下溯：由于我们处理的是长期财务时间序列，因此我们使用Cholesky更新和Cholesky下溯来更新协方差矩阵，而不是在每个预测时间步重新计算协方差矩阵。

这确保了在执行初始学习阶段后，所有未来的更新都会以快速的速度进行，从而使该技术非常适合在线使用，具有实时提要数据。10 S.A.A Rizvi等人。超参数更新：我们可以选择在每个预测步骤中重新评估超参数，使用我们的新点窗口进行干预。为了在滚动窗口方法中更新超参数，我们使用上一时间步中的超参数作为推断下一组hy perparameters的最佳猜测。这使得对参数空间的探索变得迅速，并且不太容易出现参数值的跳跃，不受基础数据性质变化的影响。8实验发现在第一组实验中，我们将第四组记忆的内核相互比较，以找到性能最好的内核。然后，在第二组实验中使用性能最好的核，以比较GPs对GARCH的预测性能。GPs vsGARCH的比较包括绝对收益、平方收益、绝对收益包络以及分别处理的正负收益。数据集：实验中检验了四种货币。他们是theU。S、 美元/日元对（美元/日元）、英镑/美元对（英镑/美元）、欧元/瑞士法郎对（欧元/瑞士法郎）和欧元/美元对（欧元/美元）。整套数据包括2003年9月15日至2005年9月15日期间的数据点，每隔30分钟一次。在每次实验中使用所有可用数据的子集，以限制计算开销，并找出不同时期的平均性能。实验方案：每个货币对数据集（25120个数据点）被分成3140个点的组，对应于13周，即一年中的一个月。

然后将每组前两天的数据点（100点）用于训练和确定超参数，而其余的数据点用于提前一步进行样本预测。回归是在对数空间中进行的，在每一点上，将GPregres的平均值作为一步超前预测，即ht+1。然后观察数据点的实际值，并将其作为已知数据集的一部分，然后在时间t+1时进行下一次预测，即ht+2。预测是从日志空间转换回来的，并与原始数据点进行比较，预测准确度是使用前面描述的指标测量的。为了确保推断算法能够一致地揭示底层超参数，我们使用已知的超参数在一系列随机生成的数据集上测试我们的算法。我们生成一组随机的超参数（输出长度、输入比例和噪声方差），并从中生成100个数据集，每个数据集有1000个点，这被视为基础（实际）函数。从生成的数据中选择一个子集作为我们对实际过程的观察值。该子集是通过从完整数据集中选取随机数个统一预测金融波动性的高斯过程包络11个分布点来选择的，使用数据集的5%到95%不等。上一步中发现的超参数用于对观测数据点进行回归。然后将生成的函数与基础函数进行比较。研究发现，仅使用20%的实际数据点作为观测数据，就可以一致地发现超参数。

我们使用高斯过程（GaussianProcess）进行了一组实验，以确定使用较大的训练集是否会影响性能，但随着训练数据集的增大，没有发现一致的性能改善。内核性能：内核用于对所有四个数据集进行重分类，发现3/2内核在我们的性能标准上给出了最好的结果。如图3所示，美元/日元对的三个内核的性能（通过八个指标衡量）如图3所示。我们对材料3/2内核进行了所有进一步的实验。高斯过程中的偏差：为了确定agiven方法产生的预测是无偏的，我们使用预测的时间序列ft，对实际的r值rt进行元素归一化，如：et=rt/ft（35）所示，通过归一化得到的残差应接近白噪声过程，即应为高斯分布，平均值为零，单位标准偏差为：et~ N（0，1）（36）GARCH及其变体可以很好地生成高斯残差。从GP回归中获得的残差分布如图4所示。GARCH、EGARCH和GJR-GARCH的残差分布也是一种比较方法。9与GARCHTo的比较为了比较高斯过程相对于标准基线的性能，我们使用ATLAB Ec onometrics工具箱中的GARCH、EGARCH和GJR-GARCH实现。正如实验的一般设置所述，100个数据点被用作确定GARCH及其变体参数的训练集。该训练集用于推断GPs的超参数。在每个时间步，使用GP方法和GARCH提前一步进行ecast。然后观察时间步长上的实际值，并将其作为数据集的一部分。

然后，该新数据集可供GP和GARCH使用，以进行下一次s tep预测。GARCH12 S.A.A Rizvi等人的残差-3 QP11.051.11.151.21.251.31.35 MSE1MSE2QLIKER2LOGMAE1MAE2SE材料-3 QP11.051.11.151.21.251.31.35-4.-3.-2.-1 0 1 2 3 400.10.20.30.40.5 Garchegarchgjrgfig。左和中：美元/日元数据的三个内核的损失函数性能。左：绝对收益，中：平方收益。图4：。右图：通过GP回归产生的预测对收益进行归一化得到的残差的概率分布。提供GARCH及其变体产生的残差进行比较，以建立波动率预测的GPS无偏性，并对GP模型进行比较，以确保无偏性。使用性能指标将预测值与每个时间步的观测值进行比较。通过这种方式，我们对绝对和平方回报进行GP回归，并将其与GARCH基线进行比较。我们使用绝对和平方返回的包络进行了相同的实验，有超参数更新和无超参数更新。9.1结果总结我们的实验得出以下主要结果。以下章节将对这些结果进行更详细的讨论：1、基于高斯过程的预测方法始终优于GARCH及其变体。高斯过程给出了波动率的无偏预测，其残差分布证明了这一点。3、基于信封的方法比基于绝对收益的方法表现更好。4、在每个时间步更新超参数，比保留一次超参数评估提供更好的预测性能。5.

高斯过程为预测提供了非对称的方差界，这可以更好地解释潜在时间序列的方差，即thanGARCH。内核性能：内核比较表明Mat'ern-3/2的性能最好。三个不同核函数的性能结果显示在四个较小的表中，每个表对应一个单独的预测金融波动的高斯过程包络es 13表1。预测绩效onUSD/JPYAB绝对收益平方收益SSE M-3 QPSE M-3 QPMSE1 0.57 0.56 0.61 0.56 0.6MSE2 10.20 10.23 10.4410.23 10.28 10.41MAE1 0.48 0.47 0.510.47 0.46 0.5MAE2 1.01 0.98 1.060.99 0.97 1.05MdRAE 0.82 0.80 0.860.82 0.81 0.86sMAPE 77.58 76.36 79.576.47 75.93 79表2。预测业绩onGBP/USD绝对收益平方收益SSE M-3 QPSE M-3 QPMSE1 0.52 0.52 0.52 0.52 0.52 0.52MSE2 8.80 8.85 8.798.83 8.91 8.83MAE1 0.5 0.48 0.50.49 0.48 0.5MAE2 0.98 0.96 0.990.97 0.95 0.98MdRAE 0.86 0.84 0.82 0.85sMAPE 77.11 76.06 77.6876.53 75.51 77.23表3。预测绩效onEUR/USD绝对收益S四次收益SSE M-3 QPSE M-3 QPMSE1 0.57 0.56 0.58 0.57 0.55 0.58MSE2 12.42 12.41 12.4212.41 12.42 12.42MAE1 0.55 0.53 0.560.55 0.53 0.56MAE2 1.07 1.04 1.091.07 1.03 1.09MdRAE 0.98 0.93 0.990.98 0.93 1sMAPE 80.78 79.5 81.2680.76 81 81.33表4。预测业绩onEUR/CHF绝对回报率平方回报率SSE M-3 QPSE M-3 QPMSE1 0.5 0.5 1.03 0.5 0.51 2.36MSE2 5.4 5.44 14.775.44 5.48 12.79MAE1 0.49 0.48 0.710.49 0.48 0.83MAE2 0.94 0.92 1.640.93 0.92 3.09MdRAE 0.82 0.81 1.070.81 0.81 1.12sMAPE 75.13 90.3575.33 75.41 94.68货币对。表1显示了三对kernelson美元/日元的预测性能，包括绝对收益和平方收益，由6个性能标准衡量。

可以看出，通常情况下，Mat'ern-3/2在三种内核中表现最好，而准周期内核表现最差，如图3所示。此外，可以看出，在绝对收益率与平方收益率（作为波动率的代表）的情况下，内核的性能并没有显著或持续地更好。sMAPE值显示，总体而言，与arandom walk模型相比，内核的表现要好22.5%，平均美元/日元。表2、3、4分别显示了英镑/美元、欧元/美元和欧元/瑞士法郎的绩效指标值。总体s MAPE结果表明，对于所考虑的数据，在所有核中，对于绝对和平方收益以及包络，模式ls的平均性能比随机游走模型方法好21%。GPs与GARCH的表现：表5总结了我们之前针对所选ba seline概述的各种方法的波动率预测表现，即GARCH、EGARCH和GJR-GARCH。显示了全球定位系统对欧元/瑞士法郎数据系列的性能，以提供不同方法的一般预测能力的代表性想法。其他三对电流的性能相似。图5显示了正态空间中95%的方差界限，这是我们在对数空间中使用GPs回归时得到的，即使方差界限是不对称的，并且捕捉到了包络线，从而获得了绝对收益的方差。图6显示了搜索和GP预测的比较。在表5中，可以看出，平均而言，GPsoutp在MSE上的表现比GARCH高出50%，基于包络的GP接近14 S.A.A Rizvi等人（图5）。在正态空间中观测到的非等距方差边界，震级vstime，由对数空间中的回归得到。1.334 1.336 1.338 1.34 1.342 1.344 1.34600.511.522.5图。6.

通过回归绝对回报（灰色）、幅度与时间、GARCH预测（红色）得出的GP波动率预测（blu e）显示出来进行比较。500 550 600 650 700 750 800-3.-2.-10123图。通过对正收益和负收益分别回归得到的上下包络线预测平均值，幅度与时间的关系。1.334 1.336 1.338 1.34 1.342 1.344 1.346400.511.522.5图。8、GP波动率预测是通过将正回报率的最大包络线和负回报率的最小包络线、幅度与时间、GARCH预测（红色）和绝对回报率（灰色）的回归结合起来得出的，以供比较。按所示标准的2 0%和75%执行其他GP进近。使用超参数更新的方法对一步ahea d波动率的预测比下一步ahea d波动率的预测好5%，如表6所示。图7显示了分别对正和负样本进行的GP回归，图8显示了GARCH和结合两个包络得到的预测值的比较。10结论在本文中，我们扩展了高斯过程（GP）回归，用于预测金融收益的样本外波动率，并将其表现与GARCH、EGARCH和GJR GARCH等传统方法进行了直接比较。我们比较了三种方法的预测能力：绝对和平方回报的GP回归、回报和绝对回报包络的回归以及负和正回报包络的回归。我们使用高斯先验的映射估计来确定超参数。我们还测试了每个预测步骤中超参数更新的效果。我们使用我们的方法预测样本外预测金融波动率，采用高斯过程包络es 15表5。