基于高斯分布的金融波动预测新方法

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英文标题：
《A Novel Approach to Forecasting Financial Volatility with Gaussian
  Process Envelopes》
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作者：
Syed Ali Asad Rizvi, Stephen J. Roberts, Michael A. Osborne and Favour
  Nyikosa
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this paper we use Gaussian Process (GP) regression to propose a novel approach for predicting volatility of financial returns by forecasting the envelopes of the time series. We provide a direct comparison of their performance to traditional approaches such as GARCH. We compare the forecasting power of three approaches: GP regression on the absolute and squared returns; regression on the envelope of the returns and the absolute returns; and regression on the envelope of the negative and positive returns separately. We use a maximum a posteriori estimate with a Gaussian prior to determine our hyperparameters. We also test the effect of hyperparameter updating at each forecasting step. We use our approaches to forecast out-of-sample volatility of four currency pairs over a 2 year period, at half-hourly intervals. From three kernels, we select the kernel giving the best performance for our data. We use two published accuracy measures and four statistical loss functions to evaluate the forecasting ability of GARCH vs GPs. In mean squared error the GP\'s perform 20% better than a random walk model, and 50% better than GARCH for the same data.
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中文摘要：
在本文中，我们使用高斯过程（GP）回归提出了一种通过预测时间序列的包络来预测财务收益波动性的新方法。我们直接比较了它们与传统方法（如GARCH）的性能。我们比较了三种方法的预测能力：绝对收益和平方收益的GP回归；收益和绝对收益的包络回归；分别在负收益和正收益的包络上进行回归。在确定超参数之前，我们使用高斯先验的最大后验估计。我们还测试了每个预测步骤中超参数更新的效果。我们使用我们的方法预测两年内四种货币对的样本外波动率，每半小时一次。从三个内核中，我们选择能够为数据提供最佳性能的内核。我们使用两个已发布的精度度量和四个统计损失函数来评估GARCH与GPs的预测能力。在均方误差方面，对于相同的数据，GP的表现比随机游走模型好20%，比GARCH好50%。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Machine Learning        机器学习
分类描述：Covers machine learning papers (supervised, unsupervised, semi-supervised learning, graphical models, reinforcement learning, bandits, high dimensional inference, etc.) with a statistical or theoretical grounding
覆盖机器学习论文（监督，无监督，半监督学习，图形模型，强化学习，强盗，高维推理等）与统计或理论基础
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一级分类：Computer Science        计算机科学
二级分类：Computational Engineering, Finance, and Science        计算工程、金融和科学
分类描述：Covers applications of computer science to the mathematical modeling of complex systems in the fields of science, engineering, and finance. Papers here are interdisciplinary and applications-oriented, focusing on techniques and tools that enable challenging computational simulations to be performed, for which the use of supercomputers or distributed computing platforms is often required. Includes material in ACM Subject Classes J.2, J.3, and J.4 (economics).
涵盖了计算机科学在科学、工程和金融领域复杂系统的数学建模中的应用。这里的论文是跨学科和面向应用的，集中在技术和工具，使挑战性的计算模拟能够执行，其中往往需要使用超级计算机或分布式计算平台。包括ACM学科课程J.2、J.3和J.4（经济学）中的材料。
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> A_Novel_Approach_to_Forecasting_Financial_Volatility_with_Gaussian_Process_Envelopes.pdf (375.97 KB)

2022-5-31 11:04:49 上传

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关键词：波动预测 新方法 Applications Mathematical Econophysics

用高斯过程预测金融脆弱性的新方法包括Ali Asad Rizvi、Stephen J.Roberts、Michael A.Osborne和福斯特NyikosaMachine Learning研究组，福斯特NyikosaMachine Learning研究组，牛津大学定量金融研究所{arizvi，sjrob，mosb，福斯特}@robots。ox.ac.UK摘要。在本文中，我们使用高斯过程（GP）回归提出了一种新的方法，通过预测时间序列的包络来预测金融收益的波动性。我们直接比较了它们与GARCH等传统方法的性能。我们比较了三种方法的预测能力：绝对收益和平方收益的GP回归；收益率和绝对收益率包络上的回归；分别在负收益和正收益的包络上进行回归。我们使用高斯先验的最大后验估计来确定超p参数。我们还测试了每个预测步骤中超参数更新的效果。我们使用我们的方法预测两年内四种货币对的样本外波动率，每半小时一次。我们从三个内核中选择数据性能最好的内核。我们使用两个已发布的精度度量和四个统计损失函数来评估GARCH与GPs的预测能力。在均方误差中，对于相同的数据，GP的表现比随机游走模型好20%，比GARCH好50%。1在金融时间序列中，波动率是对给定时间点市场中存在的不确定性的度量。金融时间序列本质上是异方差的，即波动率随时间而变化。

波动性也表现出一种称为聚集或波动性聚集的现象，即高波动期之后通常是高波动期，低波动期之后通常是低波动期。财务时间序列的回报是价格变动，被理解为时间序列两个连续值之间差异的度量。下一节将更精确地定义收益。负反转和正反转不会以同样的方式影响波动性。通常可以看到，与绝对值相同的正回报率相比，较大的负回报率似乎更能提高波动性。市场对资产价格的下行趋势反应更为不稳定和有风险，对资产价格的上行趋势反应更为谨慎乐观。2 S.A.A Rizvi等人。波动性预测对于各种类型的经济主体都很重要，从期权交易员到价格期权，到寻求ecast汇率的投资者，以及银行都很难对冲其风险。由于未观察到条件方差现象，因此容量预测具有挑战性，这使得各种拟议模型的评估和比较变得困难。自从Engle（1982）和Bollerslev（1986）提出开创性论文以来，已经提出了大量的模型[8,5]。DeGooijer全面概述了过去25年中脱颖而出的各种车型【6】。大多数在实践中被广泛研究和使用的模型本质上都是参数化的，只是最近才出现了向半参数和非参数模型发展的趋势。

文献[2]总结了各种参数和非参数波动性测量方法，以及良好波动性预测的预期特性[3，15]。波动率预测中使用最广泛的参数模型是Bollerslev于1986年引入的广义自回归条件异方差（GARCH）模型，它是Engle于1982年引入的ARCH模型的一个分支。GARCH假设波动率的当前值和过去值之间存在线性关系，并假设正收益和负收益对波动率具有相同的影响。GARCH模型的概念引入了许多变化，其中大多数试图解决其中一个或两个假设，每个假设都有自己的优缺点【10】。本文提出了基于贝叶斯非参数（使用高斯过程）的波动率预测方法，并在可能的情况下与传统方法进行了比较。文献[7,14]初步探讨了利用高斯过程预测ha的挥发度。在本文中，我们将这项初步工作扩展到考虑高斯过程在捕获金融波动的众所周知方面的表现；即，波动率聚类、波动率正收益和负收益的不对称影响以及对异常值的鲁棒性。本文的组织结构如下。第2节定义了感兴趣的财务变量，第3节描述了GARCH模型及其一些变量，第4节简要回顾了高斯过程。在第5节中，我们介绍了用于波动率预测的传统方法，然后在第6节中介绍了我们的方法。在第7节中，我们解释了实验背后的方法、内核、损失函数和使用的精确度指标。在第8节中，我们介绍了我们的数据、设置和实验。

第9节总结了第10.2节定义收益率得出的结果和结论。金融时间序列的平均值是非平稳的，可以通过取时间序列的第一个差异来消除平均值中的线性趋势，如下所示- pt公司-1） /磅-1、（1）用高斯过程包络es 3预测金融波动，其中pt和pt-1时间t和t的价格是多少- 分别为1。这些被称为算术返回。算术返回的另一种方法是采用计量返回，也称为对数返回。我们使用：rt=log（pt）获得日志返回- 日志（pt-1） 。（2） 在本文中，我们始终使用几何回报。3 GARCH和一些变量最常用的财务数据模型是GARCH。它假设收益来自零均值和异方差高斯。定义awhite no ise（维纳）工艺rt，as:rt~ N（0，σt）（3）GARCH（p，q）模型通过q个以前的平方收益，将时间序列的基本方差预测为p个观测方差和噪声过程的移动平均值的线性（自动调整）组合。该线性组合由系数集α0:qandβ1:p唯一定义，如：σt=α+qXj=1αjrt-j+pXi=1βiσt-i（4）然而，GARCH有两个主要缺点：第一，它没有区分负回报与正回报对波动率的不同影响，第二，它假设变量之间存在线性关系。

已经提出了几种GARCH突变来克服这些限制，其中两种最常用的d GARCH变体是EGARCH和GJR-GARCH【11,9】对数（σt）=α+qXj=1αjg（rt-j） +pXi=1βilog（σt-i） （5）通过允许使用g（xt）捕捉不对称效应，增加了GARCH模型的灵活性，其中θing（xt）=θrt+λ| rt（6）的负值将导致负回报对波动性产生更显著的影响。GJR-GARCH，定义：σt=α+qXj=1αjrt-j+pXi=1βiσt-i+rXk=1γkrt-配套元件-配套元件-k=（0，如果rt-k≥ 01，如果rt-k<0（7）4 S.A.A Rizvi等人试图通过使用平均值项来捕捉正收益和负收益的差异，该平均值项仅在收益为负的情况下激活。在大多数情况下，这些GARCH模型的系数是通过使用最小二乘法和最大似然法估计的。4高斯过程回顾假设对高斯过程有普遍的了解，因此仅提供与当前工作最相关的信息。有关高斯过程的详细处理，请参阅[1 9]和[17]。高斯过程形成了一类用于分类和非线性回归的非参数模型。当它们被应用于广泛的问题时，它们在机器学习社区中已变得非常普遍。它们的主要优势在于其灵活性和计算实现的环境。高斯过程是随机变量的集合，可能是有限的，其中任何有限子集都具有联合高斯分布。

对于从多变量高斯分布中得出的函数y=f（x），其中y={y，y，…，yn}是在一组位置x={x，x，…，xn}处评估的相关变量的值，我们可以表示该asp（y）=N（y；u（x），K（x，x））（8），其中u是平均函数，K（x，x）是协方差矩阵，给定asK（x，x）=k（x，x）k（x，x）···k（x，xn）k（x，x）k（x，x）···k（x，xn）。。。。。。。。。。。。k（xn，x）k（xn，x）····k（xn，xn）（9） 协方差矩阵的每个元素由一个函数k（xi，xj）给出，该函数称为协方差核。该核为我们提供了任意两个样本位置之间的协方差，该核的选择取决于我们对观测数据的先验知识和假设。为了评估新测试点x处的高斯过程后验分布*我们使用观测数据和新测试点的联合分布，pyy年*= Nu（x）u（x*),K（x，x）K（x，x*)K（x*, x） k（x*, x个*)（10） 其中K（x，x*) 表示由k（x，x）组成的列向量*), ..., k（xn，x*) andK（x*, x） 是它的转置。通过矩阵运算，我们发现y上的后验分布*是高斯分布，其均值和方差由m给出*= u（x*) + K（x*, x） K（x，x）-1（y- u（x））和（11）σ*= K（x*, x个*) - K（x*, x） K（x，x）-1K（x，x*). （12） 用高斯过程包络5预测金融波动这可以在我们观察到的数据集之外的一组位置进行预测，例如x*,确定y的后验分布*). 利用多变量高斯分布的标准结果，给出了后验均值和方差的扩展方程*| y） =N（y*; m级*, C*) （13） 其中，m*= u（x*) + K（x*, x） K（x，x）-1（y（x）- u（x））（14）C*= K（x*, x个*) - K（x*, x） K（x，x）-1K（x*, x）. （15） 如果观察到的函数值yi与噪声相关，那么我们可以在协方差中引入噪声项。

由于每个样本的噪声被认为是不相关的，因此噪声项只会增加K的直径。噪声观测值的方差为v（x，x）=K（x，x）+σnI，（16），其中I是单位矩阵，σ是噪声方差e的超参数。用于确定噪声数据新测试点的后验分布，我们只需将上述方程中的K（x，x）项替换为公式16.5高斯过程中的V（x，x），用于波动率估计给定金融时间序列，前提是我们假设收益率为高斯先验，即。收益率是从正态分布中单独得出的，如公式（3）所示，那么此时正态分布的方差就是波动率的度量。如果我们对数据采用高斯过程，那么我们对下一时间步收益值的最佳估计是高斯过程的后验平均值，如式（11）所示，以及预测方差，如式（11）所示。（1 2）是我们对未来时间步长波动性的最佳估计。实际上，当我们直接研究收益率时，我们发现使用平稳高斯过程对数据点进行回归，可以得到非常平滑的均值估计，方差范围大且基本不变，给我们提供的关于潜在波动率函数的信息很少。虽然收益的GP可以提供有用的信息，如帮助我们确定回归周期或市场偏差等，但我们主要对收益的方差或包络函数感兴趣。在大多数波动率模型中，财务回报的某些转换是潜在方差的代理。虽然绝对收益被证明是一种更为稳健的衡量指标，但在许多时间序列文献中通常使用平方收益或绝对收益。

在本文中，我们在进行GPS和GARCH的比较时，使用绝对回报作为潜在方差的代理。方差可以通过预测| r |或r.6 S.A.A Rizvi等人6对高斯过程模型的扩展得到。注意到通过绝对收益定义的波动率是一个严格的正数，我们对对数转换绝对收益进行GP回归。这有一个主要优势，即在我们的解决方案上强制实施积极性约束，同时在日志空间中保留标准GP。然后将对数空间中不确定性的预测度量值进行径向变换，注意它们形成对称边界。对数空间回归：将我们的目标变量y定义为y=Log（| rt |），当使用平方回报时，我们可以很容易地对观测到的y的s集进行gpregression。然后使用exp（）将预测分布的下一步预测和可预测性区间ony转换为r上的区间，这仍然是一项简单的任务，可以将我们的对数转换为：*= exp（(R)f*) （17） 上下间隙可重新覆盖为：cup=exp（(R)f*+ 1.96σ*) （18） clow=exp（(R)f*- 1.96σ*) （19） 在这里，我们选择95%的区间，很容易从y上的预测标准偏差缩放1.96和σ得到*= V【f】*] 根据公式（12）。区分正回报和负回报：简单地使用绝对回报或四次回报并不能增加之前所观察到的负回报和正回报对波动性的不同影响。

为了捕捉这种影响，我们将正收益和负收益视为两个数据系列g+和g-给定byg+（t）=rt，如果rt≥ 0（20）克-（t） =-rt，若rt<0（21），则在对数空间中分别对其中每一个进行回归，并使用得到的预测平均值作为我们对下一时间步的预测，如下所示：*= （(R)r+*+ \'\'r-*)/2（22）在图1（d）中可以看到负收益和正收益分离的样本。返回包络：给定时间序列的包络是构成时间序列最大值或最小值的数据点的子集。数据序列中的点是否属于最大值或最小值包络取决于：zmax=gt，如果gt≥ 燃气轮机-1和gt≥ gt+1（23）zmin=gt，如果gt≤ 燃气轮机-1和gt≤ gt+1（24）用高斯过程包络预测金融波动性es 70 20 40 60 80 100-4.-3.-2.-1012（a）0 20 40 60 80 10000.511.522.533.54（b）0 20 40 60 80 100-4.-3.-2.-1012（c）0 20 40 60 80 100-4.-3.-2.-1012（d）图1。垂直轴上的收益幅度与水平轴上的时间（a）几何收益。（b） b列返回最大包络函数。（c） 未分离几何回报的正（蓝色）和负（红色）最大最大信封。（d） 分离的正（蓝色）和负（红色）收益及其最大包络-4.-2 0 2 4-4.-202468101214-4.-2 0 2 4-4.-20246810-4.-2 0 2 4-5.-4.-3.-2.-10123-4.-2 0 2 4-5.-4.-3.-2.-10123图。2、QQ图与标准正态图、水平轴上的标准正态分位数以及最大（上）包络线垂直（a）QQ图上输入样本的分位数。（b） 最小值（下）包络的QQ图。（c） maxima（上）信封标识的QQ图。（d） 金融时间序列最小（下）包络线对数的QQ图我们可以回归绝对收益的最大包络线，如图1（b）所示。