时变马尔可夫过程的方差交换定价

我们有G满意度（3.4）和（4.5）OID（3.9）。备注4.6。x个∈（γ- z、 γ），相对跳跃强度c（x）a（x）=β- α/2- 1.- βxα（ez- 1.- z） +（1- β） z+2βx（ez- 1.- z） 是基本原木价格中线性多项式的比率。4.3具有状态相关权重的Lévy混合物假设局部方差a（x）和Lévy核u（x，dz）的形式为（x）=ασ（x）+Δβσ（x），u（x，dz）=σ（x）ν（dz）+Δσ（x）ν（dz），σ（x）σ（x）=ecx=：ec（x），（4.7）其中α，β，δ≥ 0和ν，ν是带ZR的Lévy度量eλz- 1+（1- ez）λνi（dz）<∞, λ∈ C、 我∈ {0，1}。（4.8）G（3.9）将A和u的表达式从（4.7）插入（3.9）并除以σ（x），我们得到（A+δecA）G=I+δecI，（4.9），其中I和Iare常数由I=2α+ZRzν（dz），I=2β+ZRzν（dz）定义，并且使用（2.7）的符号，运算符A和Aare由A=α给出- +锆ez公司- 1+（1- ez）ν（dz），A=β- +锆ez公司- 1+（1- ez）ν（dz）。假设（4.9）的解G具有幂级数展开式δ：G=∞Xn=0δnGn，（4.10）{Gn}n≥0（4.10）（4.9）和在δ中收集相同顺序的项会导致以下嵌套的OID序列：O（1）：AG=I，O（δ）：AG+ecAG=ecI，（4.11）O（δn）：AGn+ecAGn-1=0，n≥ 2、注意Aeλ=φλeλ，φλ=αλ- λ+锆eλz- 1+（1- ez）λν（dz），λ∈ C、 Aeλ=χλeλ，χλ=βλ- λ+锆eλz- 1+（1- ez）λν（dz），λ∈ C、 通过直接替换到（4.11）中，可以很容易地验证由g（x）生成的解决方案g：=-Qx，Q：=2α+RRzν（dz）α+RR（ez- 1.- z） ν（dz），（4.12）和解{Gn}n≥1given，对于c 6=0，byGn（x）：=Qenc（x）φncn-1Yk=1-χkcφkc，Q：=2β+ZRzν（dz）- Qβ+锆（ez- 1.- z） ν（dz）. （4.13）（4.10）（4.12）（4.13）戈德（3.9）。以下条件支持此扩展的有效性。定理4.7。axux，z（4.7），且ν和ν满足（4.8），c 6=0和Limn→∞βnc+RRν（dz）（encz- 1+（1- ez）nc）αnc+RRν（dz）e（n+1）cz- 1+（1- ez）（n+1）c= 0。（4.14）则函数G在R上由（4.10）和（4.12）和（4.13）定义，并求解OIE（3.9）。证据

（4.10）中的总和可以写成- Qx+Q∞Xn=1anun（x），其中an=φncn-1Yk=1-χkcφkc，u（x）=δec（x）。（4.15）有限和是以u为单位的幂级数，系数为{an}n≥1满足，由（4.14）limn→∞an+1an=limn→∞-χncφ（n+1）c=0，这意味着（4.15）中的总和具有有限的收敛半径，而GIS则由RBY（4.10）定义，分别为（4.12）和（4.13）。由于每个幂级数都可以在其收敛半径内逐项微分和积分，因此G解出了OIE（3.9）。备注4.8。αβ>ν≡正（负）轴上的c>c<ν支撑将满足（4.14）。备注4.9。α>βν≡c>c<ν（4.14），前提是ν的支撑严格位于负（分别为正）轴内。备注4.10。F在方差α和Lévy测度ν的过程中，函数对（4.7）中更一般的一类模型中的VS进行定价，这可以看作是在时间变化指数Lévy情况下的规则δ-摄动，根据定理3.5对VS进行定价的候选函数由（4.15）变为周围的δ-摄动。在图1和图2中，使用各种不同的模型参数，我们绘制了h（FT）：=G（log FT）- G（对数F）+A（英尺- F） ，A=-1FG（对数F）。（4.16）FTG（4.10）（4.12）（4.13）GH为任何常数A的VS定价。在（4.16）中，A的特定值确保h（F）=0.4.3.1 VS值与对数合同值的比率org），计算VS值与Europeanlogcontract值的比率很有趣。为此，对于为a VS定价的函数G，letQ（T，F）：=E G（log FT）- G（对数F）-E log（FT/F）=E[log F]T-电子日志（英尺/英尺）。在Carr等人（2012）中，作者发现ifFt=exp（通过τt），其中是一个Lévy过程，然后是比率（t，F）QFTQT，FQT，F基础的当前值和到期时间t。

下面，我们推导了（a，u）的一个具体示例的比率Q（T，F）的形式近似值，其形式为（4.7）。假设4.11。FtexpYτtτ与Yan无关，已知拉普拉斯变换l（t，λ）：=Eeτtλ。设马尔可夫过程具有局部方差a（x）和形式为（4.7）的Lévy核u（x，dz），α=1，β=0，σ（x）=2ω，σ（x）=2ωec（x），ν≡ 0，ν≡ ν、 其中ω，c>0。此外，假设Lévy测度ν满足定理4.7的条件。因此，g（4.10）（4.12）（4.13）（3.9）向下，即ν（R+）=0。我们分三步计算Q（T，F）的近似值，如下所述。第1步。求出u（t，x；ν）的近似值：=ExИ（Yt）。形式上，函数u满足Kolmogorov向后方程(-t+A）u=0，u（0，·φ）=φ（4.17），其中A，Y的生成元，由A=ωA+δecωA（4.18）给出。现在，假设函数u在δu中有幂级数展开式=∞Xn=0δnun，（4.19），其中函数{un}n≥0未知。将表达式（4.18）和（4.19）插入（4.17）并收集δ的类似幂次项，我们得到未知函数{un}n的嵌套部分积分微分方程（PIDE）序列≥0O（1）：(-t+ωA）u=0，u（0，·；Д）=Д，O（δn）：(-t+ωA）un=-ecωAun-1，un（0，·；Д）=0，n≥ Jacquier和Lorig（2013，方程（5.2））给出了该嵌套PIDE序列的解。我们有（t，x；ν）=ZRnXk=0etωφiλ+kceiλ+nc（x）Qnj6=k（ωφiλ+kc- ωφiλ+jc）！n-1Yk=0ωχiλ+kc！bД（λ）dλ，（4.20），其中空积定义为等于oneQ-1k=0（···）：=1，bД表示可积函数的傅里叶变换的分布推广-iλxdx。将表达式（4.20）插入和（4.19）中，并在u的n阶近似处截断。显式地，\'uN（t，x；Д）：=NXn=0δnun（t，x；Д）=ZRNXn=0δnnXk=0etωφiλ+kceiλ+nc（x）Qnj6=k（ωφiλ+kc- ωφiλ+jc）！n-1Yk=0ωχiλ+kc！bД（λ）dλ。（4.21）步骤2。

推导v（t，x；Д）的近似值：=ExИ（Yτt）。利用τ和Y的独立性，我们得到了v（t，x；Д）：=ExД（Yτt）=ExEx[Д（Yτt）|τt]=E u（τt，x；Д）。（4.22）将（4.22）中的函数u替换为v的n阶近似值“uNyields”vN。显式地，\'vN（t，x；Д）：=E'uN（τt，x；Д）=ZRNXn=0δnnXk=0L（t，ωφiλ+kc）eiλ+nc（x）Qnj6=k（ωφiλ+kc- ωφiλ+jc）！n-1Yk=0ωχiλ+kc！bД（λ）dλ，（4.23），使用方程（4.21）和Eeλτt=L（t，λ）。第3步。推导Q（T，F）的近似值。对于定理4.7中给出的G，我们有q（T，F）=EG（log FT）- G（对数F）-E对数（英尺/英尺）=Q+P∞n=10亿Eenc（对数英尺）- enc（日志F）-E log FT+log F=Q+P∞n=10亿Eenc（YτT）- enc（日志F）-EYτT+对数F=Q+P∞n=10亿v（T，对数F；enc）- enc（日志F）-v（T，log F；Id）+log F，（4.24）bn：=Qδnan=Qδnφncn-1Yk=1-χkcφkc，IdIdxxv（4.24）(R)vn并截短有限和atNterms产生QN（T，F），q（T，F）的四阶近似值。明确地，\'QN（T，F）：=Q+PNn=10亿(R)vN（T，log F；enc）- enc（日志F）-(R)vN（T，log F；Id）+log F.（4.25）γγ∈ （4.25）中的CIdcompute'vN（T，log F；enc）和'vN（T，log F；Id）由beγ（λ）=δ（λ+iγ），γ给出∈ C、 bId（λ）=iδ（λ），（4.26），其中δ和δ表示狄拉克δ函数及其导数，从分布的意义上理解。在（4.23）中插入（4.26）并进行集成会为“vN（T，log F；enc）”和“vN（T，log F；Id）”生成闭合形式表达式。图3绘制了QN（T，F）作为F.5结论的函数。在Carr等人（2012年）中，作者将远期价格建模为一个固定数量的Europeanlogcontracts的一个重要过程时间变化值的指数。

为差异定价的合同的确切数量WAP仅取决于驱动力过程的动态，而与时间变化无关。过程，其中背景过程可能具有依赖于状态的（即局部）波动率和Lévy核，并且随机时间变化可能与马尔可夫过程具有任意依赖性或相关性。马尔可夫过程是一个Lévy过程，我们恢复了Carr等人（2012）的结果。登录限制更严格的时间更改的Levy进程设置，该比率为常数。感谢作者感谢张峰和斯特恩的有益评论。参考《黑手党》第16（2）条，第335–355条。Carr，P.和D.Madan（1998年）。走向波动性交易理论。《波动性：衍生品定价的新估计技术》，第417-427页。风险账簿。过程和泊松随机测度。在随机过程研讨会上，1981年，《概率与统计进展》第1卷，第159-242页。Birkh"auser波士顿。Cui，Z.、J.L.Kirkby和D.Nguyen（2017年）。具有跳跃的随机波动率模型中离散采样实现方差导数的一般框架。《欧洲运筹学杂志》262（1），381–400。Dupire，B.（1993年）。模型艺术。风险6（9），118–124。经济学119（1），44–68。定理。《金融与随机》20（3），635–668。随机16（4），611-649。模型–离散观测案例。衍生品研究回顾13（2），141–176。差异模型。计算经济学40（1），63–104。Jacod，J.和A.N.Shiryaev（1987年）。随机过程的极限定理，第288卷。Springer VerlagBerlin。数学4（1），804–830。随机6（4），397–428。Kallsen，J.和A.Shiryaev（2002b）。随机积分的时变表示。概率论及其应用46（3），522–528。Küchler，U.和M.Sorensen（1997年）。

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