时变马尔可夫过程的方差交换定价

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Pricing Variance Swaps on Time-Changed Markov Processes》
---
作者：
Peter Carr, Roger Lee, Matthew Lorig
---
最新提交年份：
2019
---
英文摘要：
  We prove that the variance swap rate (fair strike) equals the price of a co-terminal European-style contract when the underlying is an exponential Markov process, time-changed by an arbitrary continuous stochastic clock, which has arbitrary correlation with the driving Markov process, provided that the payoff function $G$ of the European contract satisfies an ordinary integro-differential equation, which depends only on the dynamics of the Markov process, not on the clock. We present examples of Markov processes where the function $G$ that prices the variance swap can be computed explicitly. In general, the solutions $G$ are not contained in the logarithmic family previously obtained in the special case where the Markov process is a L\\\'evy process.
---
中文摘要：
我们证明了当标的是指数马尔可夫过程，时间由任意连续随机时钟改变，与驱动马尔可夫过程具有任意相关性时，方差交换率（公平罢工）等于共同终端欧式合同的价格，前提是欧洲合约的支付函数$G$满足一个普通的积分微分方程，该方程只取决于马尔可夫过程的动力学，而不取决于时钟。我们给出了马尔可夫过程的例子，其中可以显式计算为方差交换定价的函数$G$。一般来说，解$G$不包含在以前在马尔可夫过程为L掼vy过程的特殊情况下获得的对数族中。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
--

---
PDF下载：
--> Pricing_Variance_Swaps_on_Time-Changed_Markov_Processes.pdf (607.61 KB)

2022-5-31 11:07:31 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：马尔可夫 Mathematical Quantitative Differential mathematica

时变马尔可夫过程上的方差掉期定价*Roger Lee+Matthew Lorig此版本：2019年11月18日抽象合同当基础是指数马尔可夫过程时，时间由任意连续随机时钟改变，该时钟与驱动马尔可夫过程具有任意相关性，前提是收益取决于马尔可夫过程的动力学，而不是时钟。我们给出了马尔可夫过程的例子，其中可以显式计算方差交换的价格函数。一般来说，解G不包含在以前在马尔科夫过程为Lévy过程的特殊情况下得到的对数族中。关键词：方差掉期、时间变化、马尔可夫过程1简介FFT>F>F、Tlogprice过程X:=定义良好的对数金融机构，以及到期的衍生证券也可以写在XLOGLOG FTinception上。为简洁起见，我们将在续集中将持续监控的方差交换称为VS。与任何掉期一样，选择在期初确定的常数，以便不存在进入VS的初始成本。本文的目的是给出关于动态的附加条件，在此条件下，该常数可以通过对T-到期隐含波动率微笑的初始观察来确定。Neuberger（1990）和Dupire（1993）的早期论文表明，VS定价的连续性偏移与共终端微笑有关。Carr et al.（2012）通过显示日志价格可以指定为在未指定的连续时钟上运行的一个重要进程，削弱了连续性假设。

当Lévyprocess被指定为带漂移的布朗运动时(-/2） ，Neuberger（1990）和Dupire的早期结果*美国纽约大学坦顿分校金融与风险工程系+美国芝加哥芝加哥大学数学系+美国西雅图华盛顿大学应用数学系。arXiv:1705.01069v3【q-fin.MF】2019年11月15日（1993年）作为特例出现。Carr et al.（2012）更一般的公式考虑了方差和X局部方差，并且Lévy核必须对X具有相同的函数依赖性（达到缩放常数）。此外，虽然允许每个跳跃大小的到达率取决于x的水平，但在前一篇文章中，任意两个跳跃大小的到达率的比率是恒定的。xUnspecified连续时钟。因此，（i）方差和跳跃强度可能具有明显的Tx依赖性，（ii）任意两个跳跃大小X的到达率的比率可能取决于当前的X水平。因此，我们允许背景过程几乎具有一般马尔可夫过程的全部普适性，其跳跃时间不可预测，如备注2.1所述。我们允许MarkovGGlog FT的一般背景- Glog FG这只取决于马尔可夫驱动程序的动态，而不取决于时钟。Fand Klimek（2012）、Nabil（2014）和Henry Labordère和Touzi（2016，示例5.7）。第3节陈述并证明了我们的主要结果（定理3.5），该结果确定了VS具有相同的值。第4节提供了价格动态的示例，我们可以显式求解OID。

第5节结束。2时变马尔可夫动力学2.1关于（“日历时间”）过滤{Ft}t的假设≥概率空间上的0(Ohm, F、 P），假设xis aB，A，νhlet h（z）：=z1{| z|≤1} ，其中满足Ybt=Ztbh（Xs-)dτs，At=Zta（Xs-)dτs，ν（dt，dz）=dτt×u（Xt-, dz），（2.1）τa对于每个固定x∈ Ru（x，·）是一个Lévy度量，supx∈R | a（x）|<∞, supx公司∈RZRzu（x，dz）<∞, supx公司∈RZR（ez- 1.- z） u（x，dz）<∞, （2.2）带BH（x）：=-a（x）-ZR（ez- 1.- h（z））u（x，dz）。（2.3）Lévy核或过渡核u的直觉是，它为状态空间中的每个点xin分配一个“局部”Lévy度量u（x，·）。当x为x时，任何区间J内的大小跳跃以强度u（x，J）到达。确定基础远期价格过程F={Ft}t∈[0，T]byFt=exp（Xt）。Pbh（2.3）FτTintegrable，则引理3.4将暗示F是真鞅。2.2 SDE解的时间变化本节验证了第2.1节中的假设在时间变化导致布朗运动和泊松随机{Gu}u驱动的随机微分方程（SDE）解发生变化的情况下成立≥0W，对于某些Lévy测度uN，是一个具有强度测度uN（dz）du的泊松随机测度。假设Y是满足dyu=b（Yu）dt+a（Yu）dWu+Zz的半鞅∈Rc（Yu）-, z） （N（du，dz）- uN（dz）du），其中a是有界Borel函数，b由b（x）=-a（x）-ZR（ez- 1.- z） u（x，dz），c是一个Borel函数，使得u，由u（x，J）为每个Borel集J定义：=uN（{z:c（x，z）∈ J \\{0}}），令人满意∈RZRzu（x，dz）+supx∈RZR（ez- 1.- z） u（x，dz）<∞.YeB，eA，eν其中Ebu=Zubh（Yv-)dv，eAu=Zua（Yv-)dv，eν（du，dz）=du×u（Yu-, dz），（2.4）和（2.3）中定义的BH。现在让{τt}t≥0是一系列连续增加的单元停止时间（不假定与Y无关）。

让“日历时间”过滤定义为Ft：=Gτt，letXt：=Yτt。Kallsen和Shiryaev（2002b，引理5），xare（B，A，ν）的关特性，其中t=eAτt，Bt=eBτtandν由z[0，t]×RJ（z）ν（ds，dz）=z[0，τt]×RJ（z）eν（du，dz），（2.5）确定为一般Borel集J和t≥ 0.通过（2.4）中的前两个等式，我们得到了aτt=Zτta（Yv-)dv=Zta（Xs-)dτs，eBτt=Zτtbh（Yv-)dv=Ztbh（Xs-)dτs，通过将（2.4）中的最后一个等式代入（2.5）并将变量u改为τs，我们得到z[0，t]×RJ（z）ν（ds，dz）=z[0，t]ZRJ（z）u（Xs-, dz）dτs。因此（B，A，ν）满足（2.1）。这验证了第2.1节所述的假设。备注2.1。跳转时间不可预测的进程。精确地说，钦拉尔和贾科德（1981）证明了每个强马尔可夫拟左连续半鞅（包括每个Feller半鞅）是由布朗运动和泊松随机测度驱动的SDE解的连续时间变化（如果需要，在扩大的概率空间上）。因此，如果xis是一般Feller半鞅Y的连续时间变化τ，那么由Ciinlar Jacod可知，Yis是SDE解Y的连续时间变化τ，因此X是连续时间变化τo SDE解Y的τ。2.3符号SLETCN（R）表示n次连续可微分函数的类别，并定义积分微分器A byAg（x）：=bh（x）g（x）+A（x）g（x）+ZR（g（x+z）- g（x）- g（x）h（z））u（x，dz）=a（x）（g（x）- g（x））+锆（g（x+z）- g（x）+（1- ez）g（x））u（x，dz），（2.6）对于所有g∈ C（R）使得g（x+z）- g（x）+（1- ez）g（x）∈ L（u（x，dz））表示所有x。更简洁的表示法是，A=A（x）- +锆ez公司- 1+（1- ez）u（x，dz），（2.7），其中ez轮班操作员是否由ez定义g（x）：=g（x+z）。

此使用为了在生成器A的跳转部分表达翻译，遵循Itkin和Carr（2012）。LetC1+（R）表示C（R）和以下集合的并集：所有C（R）函数，其导数在任何地方都是绝对连续的，其二阶导数（因此存在a.e.）与有界函数相等（a.e.），我们仍将用gor表示g、 Ag公司∈ CRg公司∈ C1+RAg唯一，最多可设置测量零点，通过（2.6）。3相同表达式中的方差交换价格可能有不同的值。引理3.1。假设g∈ C1+（R），存在p∈ R这样SUPX∈R | g（x）e-px |<∞ 和supx∈RZR（epz- 1.- pz）u（x，dz）<∞.那么g（X）是一个特殊的半鞅。证据根据It^o’s规则的形式，例如Protter（2004，定理IV.70），g（X）是一个半鞅。Kallsen和Shiryaev（2002a，引理2.8）证明了可预测过程ztz{z：| g（Xs-+z）-g（Xs-)|>1} | g（Xs-+ z）- g（Xs-)|u（Xs-, dz）dτs（3.1）是有限的（因此，随着t的增加，变化有限）。在p=0的情况下，我们有| g（x+z）- g（x）|≤ C | z |。在p 6=0的情况下，我们有| g（x+z）- g（x）|≤Zx公司∨（x+z）x∧（x+z）Cepζdζ=Cepx | epz- 1 |。m>km | pz-|1 | epz-1 |>1/m<pz-- pzkmzzand让M：=sups∈[0，T]epXs<∞ 因为X是cádlág。那么z{z：| g（Xs-+z）-g（Xs-)|>1} | g（Xs-+ z）- g（Xs-)|u（Xs-, 当p=0时，dz）以supx为界∈RR{z：| z |>1/C}C | z |u（x，dz）<∞, 如果p 6=0乘以C timessupx∈RZ{z：| epz-1 |>1/（CM）}M | epz- 1 |u（x，dz）≤ M supx公司∈RZR（epz- 1.- pz）u（x，dz）+M k（CM）supx∈RZRzu（x，dz）<∞.这些上界不依赖于∈ [0，t]，这验证了（3.1）是有限的。引理3.2。如果EτT<∞ 然后E支持∈[0，T]| Xt |<∞.证据LetBt：=Bt+R[0，t]×R（z- h（z））ν（du，dz）。我们有支援∈[0，T]| Bt |<∞由于（2.2）和τT<∞.定义MtbyXt=X+Mt+Bt，Jacod和Shiryaev（1987年，命题II.2.29）得出，M是一个满足[M，M]T=EZTa（Xs）dτs+EZTZRzu（Xs）的局部鞅-, dz）dτs<∞,因为EτT<∞.

伯克霍尔德Davis Gundy，E supt∈[0，T]| Mt |<∞, 这意味着结果。引理3.3。假设τ有界且p∈ R satis fiessupx∈RZR（epz- 1.- pz）u（x，dz）<∞. （3.2）LetZt：=exp（pXt- Kt），Kt：=Zt（p- p） a（Xs）dτs+ZtZR[（epz- 1.- pz）- p（ez- 1.- z） ]u（Xs-, dz）dτs。那么Z是鞅，且∈[0，T]exp（pXt）<∞. （3.3）证明。设N是与X的跳跃相关联的整值随机测度。LeteN：=N- ν。ZmartingalepXct+Z[0，t]×R（epz- 1） eN（ds，dz），其中xc是x的连续鞅部分。根据τTand假设（2.2）和（3.2）的有界性，可以得出pzta（Xs）dτs+ZTZR（epz- （1）∧ （epz- 1） u（Xs-, dz）dτsis有界。因此，Lepingle和Mémin（1978）认为，这个过程是一个鞅和支持过程∈[0，T]Zt<∞, 因为支持∈[0，T]k是有界的。让我们定义（τT，g）可以满足的两个条件，其中g∈ C1+（R）。第一个isEτT<∞ 和supx∈R | g（x）|+ess supx∈R | g（x）|<∞, （3.4）第二个是τTis有界的，并且p∈ R带supx∈RZR（epz- 1.- pz）u（x，dz）+ess supx∈Re公司-px（| g（x）|+| g（x）|+| g（x）|）<∞.（3.5）引理3.4。一般条款1+R（3.4）（3.5）。设Γt：=g（Xt）- g（X）-ZtAg（Xs-)dτs，t∈ [0，T]。那么Γ是鞅。证据g（3.4）（3.5）g立即线性下降。条件（3.4）或（3.5）中的任何一个都意味着Ag定义良好。为了证明Γ是局部鞅，请注意Jacod和Shiryaev（1987，定理II.2.42c）扩展了asggXin引理3.1对该结论的支持。此外，他们假设∈ C、 Protter（2004，定理IV.70）及其第一个推论仅使用It^o的引理，但此处使用C1+函数。E支持∈[0，T]| T |<∞. 在（3.4）的情况下，设p：=0。

在这两种情况下，通过（2.2），我们得到了| g（x）| ZR（ez- 1.- z） u（x，dz）<Cepx，（3.6），根据泰勒定理和| g（x+z）|≤ Cepx+| p |对于| z |<1，我们有z | z |<1 | g（x+z）- g（x）- g（x）z |u（x，dz）≤ Cepx+| p | Z | Z |<1zu（x，dz）≤ Cepx，（3.7）和by（2.2），Z | Z |>1 | g（x+Z）- g（x）- g（x）z |u（x，dz）≤ CepxZ | z |>1（epz+1+| z |）u（x，dz）≤ Cepx，（3.8），其中每个C不依赖于x。结合（3.6），（3.7），（3.8）和gand g的界限，我们有SUP∈[0，T]ZtAg（Xs-)dτs≤ZT | Ag（Xs-)|dτs≤ CτTsupt∈[0，T]epXt，在情形（3.4）中是可积的，因为τT<∞, 在情况（3.5）中，使用引理3.3。Γ的其余分量的震级为| g（Xt）- g（X）|≤情形（3.4）中的C（1+| Xt |），情形（3.5）中的C（1+epXt），其上确界由引理3.2和3.3可积。总之，我们将E[log F]与欧式合同的价值联系起来：定理3.5。假设正向价格f、对数价格x和时钟τ满足假设sgc1+R（3.4）（3.5），并且A G满足（对于A.e.x）A G（x）=A（x）+ZRzu（x，dz）。（3.9）然后G对方差掉期进行定价，这意味着E[对数F]T=E G（对数英尺）- G（对数F）。（3.10）VS浮腿的PG远期价格为（3.10）。备注3.6。Gmay可以是两个函数的和，一个满足（3.5）某些p>0，另一个满足（3.5）某些p<0。备注3.7。满足定理3.5条件的函数，因此对VS定价，不是唯一的。实际上，如果是ifGdoes，那么也是doesG（·）+C+Cexp（·），其中C关心任何常数。添加后两项不会影响估值，例如（log FT）- G（log F），因为EFT=F。定理3.5的证明。我们有E[X]T=EZTa（Xt）dτt+ZTZRzN（dt，dz）= EZT公司a（Xt-) +ZRzu（Xt-, dz）dτt=EZTAG（Xt-)dτt=E G（XT）- Jacod和Shiryaev（1987，定理I.4.52和II.1.8），方程（3.9）和引理3.4。定理3.5允许我们对a VS相对于T-到期隐含波动率微笑进行估值，如下所示：E[log F]T |{z}a=E G（log FT）{z}B- G（对数F）|{z}C。

（3.11）A=在进行差额掉期的多头交易时，在时间0商定在时间T支付的金额。B=欧洲合同的支付价值（log FT）。C=G（log F）零息票债券的价值。如Carr和Madan（1998）所示，如果h是凸函数的差分，那么对于任何κ∈ R+我们有h（FT）=h（κ）+h（κ）（英尺- κ）+- （κ- 英尺）++Zκh（K）（K- FT）+dK+Z∞κh（K）（FT- K） +丹麦。hhh期望值，E h（FT）=h（κ）+h（κ）C（T，κ）- P（T，κ）+Zκh（K）P（T，K）dK+Z∞κh（K）C（T，K）dK，（3.12），其中p（T，K）和C（T，K）分别是在所有行权K>0时，行权和到期日期权在fw上的看跌期权和看涨期权的价格。因此，通过将（3.12）应用于H=G，可从到期挥发份中唯一确定（3.11）中的数量Bo 日志，假设可以确定函数。因此，要对aVS相对于共终端看涨期权和看跌期权进行定价，剩下的就是找到OID的解决方案G（3.9）。4个示例（a，u），从而可以明确地获得溶液Gof OIDE（3.9）。此外，在其中一个示例中，我们研究了VS值与log契约值之间的比率。4.1恒定相对跳跃强度定理4.1。假设局部方差a（x）和Lévy kernelu（x，dz）的形式为（x）=γ（x）σ，u（x，dz）=γ（x）ν（dz），其中σ≥0是常数，ν是Lévy测度，γ是正有界的Borel函数。假设τT<∞.ThenG（x）：=-Q x，（4.1）为方差掉期定价，其中Q：=σ+uσ/2+Д，Д：=ZR（ez- 1.- z） ν（dz），u：=ZRzν（dz），证明。可以直接验证（4.1）中的G是否满足（3.4）和（3.9）。备注4.2。特别是，在两种极端情况下，常数Q如下所示：无跳跃（ν≡ 0）：Q=2，（4.2）纯跳跃（σ=0）：Q=u/Д。（4.3）备注4.3。这种形式的动力学是通过使用时钟τt：=infnu改变Lévy过程而产生的≥ 0:Zuγ（Yv）dv≥ 到（4.1）案例应该，而且确实与Carr等人获得的Payoff函数相匹配。

（2012）针对时间变化的列维过程。4.2分数线性相对跳跃强度tα、β、z∈ R满意度z<0，0<β<1-2（ez- z- 1） z.Letγ：=-α2β-β、 γ：=-α2β+z2（ez- z- 1） （1）-β） <γ。设γ和γ满足γ<γ<γ<γ。定义C功能（x）：=αγ+βγ+（x- γ） （α+2βγ）x<γ，αx+βxγ≤ x个≤ γ、 αγ+βγ+（x- γ） （α+2βγ）x>γ。（4.4）我们可以而且确实采取行动G（x）=2β1x∈[γ，γ]在定理3.5的意义上。设a为正有界Borel函数，letc（x）：=a（x）×G（x）- G（x）- 2G（x）- G（x+z）+（ez- （1）G（x）+z.（4.5）引理4.4。函数c为正且有界。证据显示分母org（x）- G（x+z）+（ez-（1）G（x）+zfrom（4.5）具有正的下边界，首先注意（ez- 1.- z） G（γ）+z>（ez0- 1.- z） G（γ）+z=（ez0- 1.- z） （α+2βγ）+z>βz，（4.6），其中前两个表达式是x>γ的分母- zand x<γ。福尔克斯∈（γ，γ-z） ，分母的下界为-supx公司∈R|G（x）| z+（ez0--z） G（γ）+z，从（4.6）中减去βzf即可。对于x∈ （γ，γ）分母以（1）为界- β） z+（α+2βx）（ez- 1.- z） >（1- β） z+（α+2βγ）（ez- 1.- z） >0。G- G-（4.5）间隔。福尔克斯∈（γ，γ），分子为2β- α--βx>β- α--βγ=2β>0，并且在上面更高。在其他两个时间间隔内，结果如下-α- 2βγ- 2>-α- 2βγ- 2>-α- 2βγ- 2=0，其中前两个表达式是x的分子≤ γ和x≥ γ分别为。定理4.5。假设局部Lévy核u是z处的点质量，权重c（x）：u（x，·）=c（x）δz，cGa（4.4）（4.5）EτT<∞Gvariance掉期。证据