非平稳金融资产的随机建模

下一节描述了这对参数函数的模型。三、 对数正态参数的随机演化为了对φ和θ这两个函数进行建模，我们将它们视为随机变量，它们根据具有两个独立随机高斯白噪声源的二维马尔可夫过程相互耦合。使我们能够解决这些假设的条件最终将得到解决。即使在条件不严格的情况下，也可以应用该框架，如参考文献Rocha等人及下文所述。为简单起见，在本节中，我们将抑制primesymbol，注意我们只处理函数。我们的模型由两个耦合的Langevin方程组给出，即dφ（t）dθ（t）=Dφ（1）（φ，θ）Dθ（1）（φ，θ）dt公司+gφφ（φ，θ）gφθ（φ，θ）gθφ（φ，θ）gθθ（φ，θ）“dW（1）tdW（2）t#（6），其中X=φ或X=θD（1）X（φ*, θ*) = limτ→0公里！τh（X（t+τ）- X（t））iX（t）=φ*,Y（t）=θ*（7） h·i分别表示参数对（φ，θ）的所有对（X（t），Y（t））的平均值，其中ggT=D（2），其中D（2）=“D（2）φD（2）φθ，D（2）θφD（2）θθ，#（8），对于矩阵D（2）中的分量[XY]，一个有D（2）XY（φ*, θ*) = limτ→0公里！τh（X（t+τ）- X（t））（Y（t+τ）- Y（t））iX（t）=φ*,Y（t）=θ*. （9） 1φθφθθRD（1）φ-0.0085-0.7143 0.2812––0.78D（1）θ-0.0031 0.0293-0.5023––0.67gφ0.2185 0.0918 0.2255 0.4850 0.2925 4.0541 0.93gθ0.0360 0.0174-0.0128 0.0210 0.0245 1.5197 0.92gφ-0.0111-0.0051-0.0158-0.0134 0.2936-0.1835 0.93表一：通过Langevin分析获得的漂移向量D（1）和矩阵g的系数。

对于每个fit，还应给出相应最小二乘fit的右值。此处φ*和θ*标记一个特定的箱子。两个随机贡献dW（1）和dW（2）t是两个独立的维纳过程，即hdW（n）ti=0，（10a）hdW（n）tdW（m）ti=δmnδ（t- t） ，（10b），n，m=1，2。漂移向量（Dφ（1），Dθ（1））和扩散矩阵D（2）可以使用最近在R中实现的软件包直接从数据集中获得，并且可以在CRAN平台上作为开源软件提供。在图6中，我们绘制了使用该软件包获得的漂移向量和扩散矩阵D（2）。将所有漂移和扩散函数的经验结果（项目符号）与其多项式（曲面）、两个漂移系数的线性形式和扩散系数的二次形式进行比较。参考文献Vasconcelos等人详细描述了从扩散矩阵推导矩阵g的过程：由于扩散矩阵产生D（2）=Gg，并且其分量由φ和θ的二次形式确定，矩阵g也可以由高阶多项式给出。我们的结果表明，构成漂移向量的函数的一次多项式和构成矩阵g的函数的二次多项式都能得到很好的结果：D（1）（φ，θ）≈ a+bφ+cθ，（11a）g（φ，θ）≈ a+bφ+cθ+dφ+eφθ+fθ。（11b）在选项卡中。I我们显示了所有多项式系数的值以及每个系数的右值。漂移系数似乎与这两个参数的波动呈线性关系：波动受到与其线性度成比例的恢复力的影响。

φ（对数平均数）函数的恢复力比θ（对数方差）函数的恢复力更强，表明与对数方差的松弛相比，动力学向对数平均数φ的平衡值的松弛更快，而对数方差的松弛可与量价波动的测量相关联。关于扩散矩阵，可以检测到矩阵g中两个对角线项在θ中的二次项的优势。似乎两个函数的方差主要由对数方差本身的值决定。这是有道理的，因为价格的差异是导致批量价格差异的原因。四、 接近非平稳性在前两节中，我们介绍了我们的框架，以提取数量φ和θ的模型，参数化对数正态分布，拟合每10分钟帧的体积价格。如上所述，我们假设所有时间依赖性都包含在这两个参数中，并且它们可以分解为平均模式和函数。在本节中，我们将展示，有了这样一个框架，我们能够充分刻画成交量价格的非平稳时间序列。为此，我们首先推导出等式（1）中对数正态分布的所有动量公式，即所有整数的Hsni=Z+∞-∞snpφ，θ（s）ds=enφ+nθ≡ Fn（φ，θ）。（12） 众所周知的统计结果是，如果一个人拥有一个分布的所有动量，那么可以使用傅立叶变换来推导其概率密度函数。因此，我们需要从我们的平均参数模式和参数函数模型中推导出参考文献中最近建议的所有力矩的演化方程。

Rochaet al。。接下来，我们将明确地做到这一点，通过假设，与φ和θ类似，所有力矩也以平均模式和其周围的函数分离。体积价格的“平均”n阶矩hsni由式（12）中的表达式给出，分别用φ和θ替换φ和θ。体积价格矩的表达式也遵循式（12）中的表达式，参数表达式遵循式（6）中给出的朗之万方程组，并且可以通过It^o展开式推导得出，当将式（12）中的表达式与时间区分开来时，屈服Dhsni=An（φ（t），θ（t））dt+Bn（φ（t），θ（t））dW+Cn（φ（t），θ（t））dW（13）和An（φ（t），θ（t））=Fn公司φh+Fn公司θh+Fn公司φθ（gg+gg）+Fn公司φ（g+g）-2-1 0 1 200010010,11-0,4-0,2 0,2 0,400010010111000106310661068106,9<s>10-1010-910-810-710-6001014310146101481014,9<s2>10-1610-1510-140010230233102351023,6<s3>10-2610-2510-2410-2310-220010332103351033,7<s4>10-3510-3410-33φ“θ”（a）（b）（c）（d）（e）（f）图7。（a） 以lin对数标度比较φ（虚线）的经验函数和建模增量（实线）的PDF。（b） θ也显示了相同的比较。n=1、2、3、4时n阶矩hsni时间序列的（c-f）PDF。虚线表示经验PDF，实线表示从我们的模型中获得的PDF。每个系列由16918个点组成+Fn公司θ（g+g），（14a）Bn（φ（t），θ（t））=Fn公司φg+Fn公司θg，（14b）Cn（φ（t），θ（t））=Fn公司φg+Fn公司θg.（14c）Fn公司φ=nFn（φ，θ）（14d）Fn公司θ=nθFn（φ，θ）（14e）Fn公司φ=nFn（φ，θ）（14f）Fn公司θ=nθFn（φ，θ）（14g）Fn公司φθ=nθFn（φ，θ）（14h）（14i）方程（13）是一个非齐次随机微分方程，具有随时间变化的“漂移”和“扩散”函数。在图7a和7b中，我们比较了函数φ的经验分布*和θ*分别与通过积分方程得到的相应模型分布。

（6） 。在超过一个标准差的波动范围内，模型分布与经验分布吻合良好。漂移和扩散函数如所述推导而来，随后对其进行调整，以优化图中的Rof分布。7（ab）与图6中表面的最小二乘拟合无明显偏差。在图中。7（c-f）我们绘制了hsni的经验和理论概率分布，n=1。。。，4，也显示出良好的一致性。经验力矩由0,60,91,21,518101001000-0,4-0200,2 0,4-0,4-0200,2 0,4φ-0,4-0200,2 0,4-00002-0000100000020500015000200000τ0,30,60,91,21,5181001000-0,07 0,07-0,07 0,07θ-0,07-4e-05-3e-05-2e-1e-051E-052e-053e-053e-050Tφtθh获得φhθgθDθDφgφ（4）（4）图8。左边是对去趋势时间序列φ和θ的Wilcoxon检验结果，显示了t值。这里，这两个系列都是单独考虑的。在中间，两个系列的漂移h和扩散g。右侧绘制了第四个Kramers-Moyalcefficient D（4），插图中绘制的D（4）/（D（2））的大值表明，不完全满足Pawula理论的条件（见正文）。在等式（（12））中替换φ和θ的原始时间序列。我们的模型在刚开始的时候有很好的拟合，可以用来建模，因为理论和经验分布非常接近。由于φ参数比θ参数更好地建模，因此预计对于更高的力矩，当θ大于φ时，我们不会获得如此好的结果。为了应用朗之万模型，有必要使波动时间序列φ和θ是马尔可夫的。为了测试数据序列的马尔可夫性，我们计算了转移概率p（x，τ| x，τ；x，τ），并将其与两点条件概率p（x，τ| x，τ）进行比较。为此，我们使用Wilcoxon rank sumtest。

t/tclose到1的值表示数据具有马尔可夫特性，如图8（左）所示，对于最小的时间增量值，已经观察到了马尔可夫特性。我们还计算了这两个时间序列的D函数，以测试应用Pahula定理的条件是否满足。获得的结果如图8（右）所示。在这里，我们可以看到两个时间序列的Dis几乎为零，尽管在差异面前，第四个Kramers-Moyalcefficient是不可忽略的。与此相关的是，未完全填满的条件可能是在优化满足图7中边际分布的最佳系数集之前获得的偏差。五、 讨论与结论本文的主要目的是对成交量价格的非平稳时间序列进行建模。通过假设对数正态分布对每10分钟窗口内的数据具有最佳拟合，这一目标恢复到研究该分布的参数φ和θ，它们本身就是随机变量。我们能够证明，我们可以通过将变量分解为两个项的总和来描述这些参数的时间序列：一个用于说明日常模式，另一个用于说明围绕该平均模式的波动。利用我们从经验数据中获得的系数，使用朗之万方程系统对波动进行建模。在此基础上，我们提出了一个框架来重建量价分布所有时刻的演化。这项工作留下了一些悬而未决的问题有待回答。的确，我们获得了一个很好的φ函数模型，但我们无法将此结果与θ函数相匹配。一种可能的解释与异常值有关：我们从平均值中删除了所有不在5σ区间内的点。

然而，当我们绘制没有异常值的时间序列时，仍然存在一些看起来更像度量值而不是函数的极值。我们之所以选择使用5σ标准，是因为我们试图最小化样本中的定点数量，以使我们的数据尽可能接近原始数据。然而，如果人们倾向于选择更严格的标准，比如使用3σ区间，那么时间序列的异常值会更小，结果可能更容易建模。在再现四个分布动量值的分布时，还需要进行一些优化调整。可能与这些偏差有关的是非零第四Kramers-Moyal系数，这表明在假设福克·普朗克截断时可能存在偏差。文献中有许多模型使我们能够研究和建模随机时间序列，如自回归模型、移动平均模型和自回归综合移动平均模型13,14。有人可能会问，为什么我们选择了朗之万模式而不是其他所有模式。支持该模型的一个强有力的论点是，它不仅允许我们描述时间序列的演化，还可以给我们一个方程，即福克-普朗克方程，来描述量价分布的演化。在试图从我们已有的方程中提取这样一个方程时，还需要做进一步的工作。如果有人能够做到这一点，那么我们将有更多关于量价演变的信息，我们可以将这些信息应用于计算风险价值或其他风险度量。

与此相关的一个可能的公开问题是基于随机偏微分方程的数据建模。我们的模型与用于研究时间序列的经典模型之间的比较将是未来需要开发的有趣工作。的确，我们的模型有一个优势，即能够生成一个数量价格分布演化方程。使用我们的模型获得的结果可能比使用classicalmodels获得的结果更好。为了验证这一假设，我们应该进行这一比较研究。最后，这项工作为我们研究非平稳时间序列提供了重要的见解，我们在此提出了一种我们认为在许多领域都有用的方法。当我们试图研究心脏夹层间期或地质学以研究地震时间序列时，该框架足够普遍，可以应用于纽约证券交易所以外的其他市场，也可以应用于生理学等其他研究领域。致谢感谢菲利普·马斯有机会在奥斯纳布鲁克大学完成她的硕士论文，并感谢欧洲联盟赞助的伊拉斯谟项目。参考C。Beck，《反常输运》（Wiley VCH Verlag GmbHand Co.KGaA，2008）。P、 Rocha，F.Raischel，J.Boto和P.Lind，Phys。修订版。E 93052122（2016）。R、 Friedrich，J.Peinke，M.Sahimi和M.Tabar，《物理评论》506，87（2011）。P.Rocha、F.Raischel、J.Cruz和P.Lind，第三届SMTDA会议记录（2015）第619-627页。P、 Rocha，F.Raischel，J.Boto和P.Lind，《物理杂志：会议系列》574，012148（2014）。S、 Camargo，S.Queir\'os和C.Anteneodo，《欧洲物理学杂志》B 86，159（2013）。C、 福布斯、M.埃文斯、N.黑斯廷斯和B.皮科克，《统计分布》（Wiley&Sons，新泽西州，2011年）。P、 Rinn，P.Lind，M.W¨achter和J.Peinke，《开放研究软件杂志》第4期，e34（2016）。五、

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