非平稳金融资产的随机建模

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英文标题：
《Stochastic modelling of non-stationary financial assets》
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作者：
Joana Estevens, Paulo Rocha, Joao Boto, Pedro Lind
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We model non-stationary volume-price distributions with a log-normal distribution and collect the time series of its two parameters. The time series of the two parameters are shown to be stationary and Markov-like and consequently can be modelled with Langevin equations, which are derived directly from their series of values. Having the evolution equations of the log-normal parameters, we reconstruct the statistics of the first moments of volume-price distributions which fit well the empirical data. Finally, the proposed framework is general enough to study other non-stationary stochastic variables in other research fields, namely biology, medicine and geology.
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中文摘要：
我们用对数正态分布对非平稳量价分布建模，并收集其两个参数的时间序列。这两个参数的时间序列被证明是平稳的和类马尔可夫的，因此可以用朗之万方程建模，朗之万方程直接从它们的值序列中导出。利用对数正态参数的演化方程，我们重建了与经验数据拟合良好的成交量-价格分布一阶矩的统计量。最后，所提出的框架具有足够的通用性，可以研究生物学、医学和地质学等其他研究领域中的其他非平稳随机变量。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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一级分类：Physics        物理学
二级分类：Data Analysis, Statistics and Probability        数据分析、统计与概率
分类描述：Methods, software and hardware for physics data analysis: data processing and storage; measurement methodology; statistical and mathematical aspects such as parametrization and uncertainties.
物理数据分析的方法、软硬件：数据处理与存储；测量方法；统计和数学方面，如参数化和不确定性。
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PDF下载：
--> Stochastic_modelling_of_non-stationary_financial_assets.pdf (1.92 MB)

2022-5-31 11:20:20 上传

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关键词：随机建模 金融资产 非平稳 distribution Mathematical

非平稳金融资产的随机建模Joana Estevens、Paulo Rocha、Joao P.Boto和Pedro G.Lind1）Matem'atica部门和Matem'atica e Aplica中心（Centro de Matem'atica e Aplica'c'oes Fundamentais，neneneba 1749-016年里斯本大学大坎普分校，葡萄牙里斯本）Osnabr¨uck大学物理研究所，Barbarastrasse 7，Osnabr¨uck，德国（日期：2017年5月4日），我们使用对数正态分布对非平稳量价分布进行建模，并收集其两个参数的时间序列。这两个参数的时间序列是平稳的，类似马尔可夫的，因此可以用朗之万方程建模，朗之万方程是直接从它们的值序列推导出来的。利用对数正态参数的演化方程，我们重建了与经验数据吻合得很好的量价分布初始时刻的统计数据。最后，所提出的框架足够一般，可以研究其他研究领域的其他非平稳随机变量，即生物学、医学和地质学。PACS编号：89.65。Gh，02.50。Fz，05.45。Tp，05.10。关键词：非平稳系统，朗之万方程，随机演化，纽约证券交易所虽然有几种方法可用于建模平稳过程，但当今社会的自然和复杂过程通常是非平稳的。例子包括最基本的湍流、天气动力学和风能系统，以及人类的机动性、大脑信号和金融。在本文中，我们讨论了非平稳随机变量的建模问题，以金融交易量价格为例。

我们引入了一个框架来模拟非平稳时间序列的演变，并将其应用于纽约证券交易所1750家公司的金融资产量价格的具体案例，该价格在两年多的时间内每10分钟从Yahoo数据库收集一次。由于成交量价格通常是一个非平稳随机变量，但遵循相同的函数分布，我们假设变量的所有时间依赖性都包含在分布参数的时间变化中，这些参数本身是平稳的，并且是耦合变量。一、 引言在处理自然界中的随机过程时，基本假设之一是其平稳或非平稳特性。如果过程是平稳的，则有一个与之相关的概率密度函数，它不会随时间变化。在这种情况下，可以通过在有限的时间窗口内对值序列进行适当的平均和计算来评估过程中测量序列的基本规律。然而，自然界中发现的典型情况是观察概率密度函数也随时间变化的过程，这使得推导基本定律更加困难。在本文中，我们讨论了一个非平稳随机过程的具体示例，并展示了如何再现统计特征，前提不是具有时不变概率密度的强条件，而是所有相关概率密度都具有一个函数形式。换句话说，定义了最适合概率密度函数的函数后，其参数是时间的函数。

特别是，我们将证明参数随时间随机变化并遵循平稳过程，这使我们能够恢复表征原始过程的非平稳统计矩。这里介绍的框架与贝克在90年代初介绍的所谓超级统计学方法有关。超统计学是统计学的一个分支，旨在研究非线性和非平衡系统。复杂系统通常表现出一种可以被视为不同动力学叠加的行为。我们研究了纽约证券交易所（NYSE）成交量价格分布的具体案例，该案例直接从Yahoo Finance收集。虽然资产价格显示了资产的价值，且数量占该资产相应的市场流动性，但数量价格包含了两个财务数量之间的相互作用，检索了市场中转换的总资本。图1显示了本文提出的框架的概述，图1a说明了一家公司的价格和交易量的时间序列。我们从秒开始。II通过假设对数正态分布作为模型，从Yahoos的数据库中拟合每个量价分布。这些假设与之前的发现一致。对数正态量价分布的示例如图1b所示。点代表量价时间序列对数的经验概率密度函数，实线是最适合数据的理论对数正态分布。

由于成交量价格为非42444648800 850 900 950 1000 1050 1100Time103104105106Volume104105106107Volume-Price11.11.21.314φ800 850 900 950 1000 1050 1100Time1.41.61.8θ1314φ-1-0.500.51φ\'800 850 900 950 1000 1050 1100Time1.41.61.8θ800 850 900 950 1000 1050 1100Time-0 1100Time-0.2θ\'（a）单只股票市场对数正态模型（c）\\uuuuUd（e）参数演化平均模式（日）波动+（b）eeφθ图1。我们从1750家公司的价格和数量系列开始。在（a）中，我们可以看到其中一家公司的数量和价格系列。将这两个系列相乘，得到的量价系列遵循对数正态分布，参数为φ和θ。在（b）中，我们可以看到由点和调整后的对数表示的经验密度，该对数垂直于数据实线，在10分钟的特定窗口内。每个10分钟窗口产生一个具有不同参数的对数正态分布。因此，我们将得到（c）参数φ的时间序列和θ的另一个时间序列。每个时间序列可以分解为（d）每日平均模式和（e）围绕该模式的函数。我们将通过单独分析这些成分来描述（c）中观察到的进化。平稳的情况下，交易量价格分布随时间变化，即两个确定对数正态分布的参数随时间变化，如图1c所示。然后，我们研究了这两个参数的演化，考虑到这两个参数包含了量价变量的所有时间依赖性，并将每个参数的演化分解为两个独立的加性贡献：平均行为（图1d）和相应的随机波动（图1e）。当平均行为在一天的时间跨度内用多项式建模时，通过两个耦合的随机微分方程系统建模。

特别是，通过了解这两个参数的波动如何随时间演化，我们将能够检索纽约证券交易所成交量价格的非平稳演化，即其统计矩的演化。最后，以秒为单位。我们总结了主要结论，并讨论了这项工作在其他研究领域的可能应用。二、成交量价格的对数正态模型下面我们分析了1750家在纽约证券交易所（NYSE）上市的公司的成交量价格序列，采样频率为0.1分钟-1、在删除所有盘后交易并丢弃所有记录错误的日期后，我们的数据集包含每家公司17708个数据点，涵盖总计976天的时间。图1a显示了一家特定公司的价格和数量系列的示例。所有数据收集自网站510152025035TD12.913.213.513.814.1φ510152025035TD1.551.61.651.71.751.8θ（a）（b）\\uuuux10分钟（x10分钟）图2。（a）参数φ和（b）参数θ在所有交易日的平均值，以及相应的立方多项式（见正文）。http://finance.yahoo.com/有关其预处理的更多详细信息，请参阅Rocha及其同事的参考文献2,4,5。在以前的工作中，对数正态分布可以很好地模拟每10分钟帧中体积价格的分布。对数正态分布的概率密度函数（PDF）为：pφ，θ（s）=s√2πθexp-（日志s- φ） 2θ（1） 是财务数据中常见的模型之一2,6。这里是批量价格的象征。参数φ表示对数体积价格序列的平均值，θ表示对数体积价格序列的标准偏差，它们在每10分钟的帧中取不同的值。因此，在整个976天的时间段内，每10分钟用公式（1）拟合一次量价分布，得到两个数据系列的值，一个是φ，另一个是θ。A.

量价分布的平均行为φ和θ参数的原始时间序列被分解为其平均日模式φ和θ的总和，以及围绕平均模式的相应函数φ和θ：φ=φ+φ，（2a）θ=θ+θ。（2b）在图2中，可以看到φ和θ的平均模式，从中可以得出关于开盘期间交易典型行为的见解，如下所示。在图2a中，绘制了参数φ的平均模式。人们注意到，与当天剩余时间相比，交易量更大，即在一天的开始和结束时φ的值更大。这一特点反映了纽约证券交易所的开盘和收盘都是非常特殊的。在一天的开始，成交量-价格序列具有很高的价值，因为它集中了交易者在前一个收盘期的信息，当时交易者将下一次买入或卖出推迟到下一个收盘时刻。开盘后，人们观察到交易活动大致呈线性减少，而下半天则呈立方体增加。一天结束时，这种更高的比率可能会发生，因为读者会对截止日期，即截止时间做出反应。接近尾声时，成交量价格开始再次上涨，因为交易员们以一种羊群行为的方式，根据市场现状，尝试最后一次机会进行买卖。这种群体行为也可以从图2b中绘制的参数θ的每日模式中得出。在一天的开始，我们的数据有很大的差异（大θ），这是因为交易员在收盘后有不同的看法，在收盘后，他们根据不同的策略做出决定，并基于不同的替代信息来源（例如，世界各地的公开交易所市场）。

之后，指数单调下降，反映了交易者以同样方式行事的趋势（成交量价格差异较小），因为他们的决策基于纽约证券交易所的同一实时价格，在收盘时达到最小值。此外，在白天，标准差会松弛，中午前后会出现更为恒定的值。一天（典型）中间的θ值，对开盘和收盘时刻不太敏感，通过波动点确定，应该是我们正在分析的特定证券交易所的特征。在均方意义上，这两种平均模式都很好地近似于时间的三次多项式：(R)φ（td）=aφtd+bφtd+cφtd+dφ，（3a）(R)θ（td）=aθtd+bθtd+cθtd+dθ，（3b），其中td=（t（mod 144））-54，单位为u=10分钟，aφ=8.2×10-5，bφ=-2.3×10-3，cφ=-2.0×10-2，dφ=13.52，aθ=-1.0×10-5，bθ=5.6×10-4，cθ=-1.3×10-2和dθ=1.79。请注意，市场仅在6小时30分（39×10分钟）内对正常交易开放。在正常交易期之外，我们认为φ和θ为零。日均模式的立方模型取决于所分析的数据集，即股票市场，可以直接估计这两个参数的典型最大值和最小值及其波动点。B、 建模参数的随机波动图2中模式周围的波动通过从相应参数（图1c）中减去20天移动平均模式（图1d）获得，得出图1e中所示的波动φ和θ。对函数建模而言，重要的是将其与每个参数的时间变化的所有周期模式分离。图3a和3b显示了0001 0,01 0,1f000100101010010000功率谱0001 0,01 0,1f000010010011100 10 20 30 4050 60τ（x10 min）0,11自相关10 20 30 4050 60τ（x10 min）0,11（a）（b）（c）（d）φ\'θ\'1/ξφ1/ξθ图3。

（a） φ时间序列的功率谱和θ序列的功率谱（b），均已去趋势化（见正文）。（c） φ时间序列的自相关函数（圆圈）和线性函数（虚线）与对数lin标度中的数据相匹配，θ时间序列的自相关函数（d）和线性函数（虚线）与对数lin标度中的数据相匹配。原始参数的功率谱（黑线）和相应的函数（彩色点）。阿松清楚地看到，在原始参数下观察到的周期性峰值在其频谱中不存在，表明周期性行为被适当地去趋势化。在图中。3c和3d我们分别绘制了φ和θ的自相关函数α，显示了αφ，（θ）=βφ，（θ）exp的近似指数衰减-τξφ，（θ）. （4） 对于φ，得到ξφ=52.08×10分钟和对数（βφ）=-0.8496，而对于θ，则得到ξθ=75.76×10 s和log（βθ）=-0.7776。换言之，令人惊讶的是，虽然对数平均波动φ在股票市场的一个每日周期（开放时间为9小时）之外更为缓慢，但对数正态变量的波动显示了股票市场收盘之后的记忆，可能包含了数小时后的信息。在本节结束时，我们表明，φ和θ这两个函数都是具有联合高斯分布且相互反相关的随机变量。图4a和4b分别显示了与相应高斯函数相比的函数φ和θ的边缘PDF（彩色符号），具有相同和方差（虚线）。θ边缘PDF的中心区域与高斯函数非常一致，在大多数区域出现偏差。显然，对于φ，高斯近似不如θ好。然而，偏离θ边缘分布的高斯函数形状是由于两个参数。4.

去趋势（a）φ参数和（b）θ参数时间序列的边缘概率密度函数（黑色）和高斯调整PDF（红色）。图5：。（a） 经验时间序列的联合PDF和（b）多元正态分布，平均向量和协方差矩阵等于我们的经验数据。（c） （a）和（b）中经验和理论联合PDF的等高线图。如图5所示，波动是相关的。实际上，计算协方差矩阵∑=∑φφ∑φθ∑θφ∑θ=0.0619-0.0036-0.0036 0.0039.作为一个非对角矩阵，协方差矩阵表明两个参数函数是相关的。因此，两个相关参数的联合分布ρ（φ，θ）可以很好地符合相关变量的二维高斯分布：ρ（φ，θ）=2πp∑exp-（十）- u）T∑-1（x- u）,（5） 图6：。（a） φ分量的漂移系数，Dφ（1），（b）θ分量的漂移系数，Dθ（1）。扩散矩阵的三个组成部分：（c）函数D（2）φθ，（D）函数D（2）θθ和（e）函数D（2）φθ。其中x=（φ，θ），|∑|=∑φ∑∑θ- ∑φθ是协方差矩阵∑的行列式，u=（uφ，uθ）是两个参数函数平均值的二维向量。因为我们正在处理两个参数在其平均模式u周围的联合分布~ 在图5a中，可以看到两个参数函数的联合直方图，而在图5a中。5b示出了等式（5）中具有相同协方差矩阵∑和均值u的联合密度函数。从图中的相应等高线图。5c和5d one确定了一个合理的匹配。此外，我们注意到，两个曲线图都向左倾斜，表示负相关，即∑φθ<0。由于相互关联，参数函数必须建模为一对耦合变量。