股票市场的q相关去趋势互相关分析

黑线和蓝线是原始q相关互相关矩阵和shuêed方案的特征值分布。红线是由随机矩阵理论预测的特征值分布。我们还使用高斯分布模拟了401个时间序列。绿线是使用模拟高斯时间序列计算的q相关互相关矩阵的体特征值。我们发现，舒松林时间序列和模拟时间序列的体特征值分布大致相同。这证实了特征值分布的偏差是非线性交叉相关的结果。RMT预测的特征值的上下界为λ-= 0.47和λ+=1.73。原始q相关互相关的体特征值分布不同于随机矩阵理论预测。请注意，当q>2时，原始互相关矩阵和舒氏矩阵的体特征值分布接近随机矩阵预测。图5显示了原始互相关矩阵的偏差特征值（黑色）、shuêed结果（蓝色）和模拟结果（绿色）。这些偏离特征值的行为与q和s的值不同。大q值和小s值往往会导致更大的偏离特征值。请注意，大q=4和小s=70的偏差特征值尤其明显。相反，当q=0.4和s=830时，只有最大特征值继续偏离shued和Simulated特征值。这表明小的波动只有很短的特征时间。小波动的长期平均影响等于噪声级。

一般来说，大的多重分形阶数q和小的衰减尺度s使得部门结构（偏离特征值）和市场模式（最大特征值）与噪声水平分离。不同多重分形阶数q和去趋势标度s的前四个特征值如图6所示。q<2的最大特征值大约等于系统大小的阶数。最大特征值的行为类似于图3（a）中的平均互相关。这支持了这样一个结论，即最大特征值对应于众多研究[19，1]所描述的市场模式，并且随着q值的增加，它会减小。因此，小q的市场模式非常强大，这似乎违反直觉。我们还观察到，前四个特征值随着趋势标度s的增加而增加。据信，偏离随机矩阵理论预测的特征值包含参考文献[19，21]中所述的与部门或行业相关的一些真实信息。为了揭示不同多重分形阶数和趋势标度下偏离特征值所携带的隐藏信息，我们首先将401只股票划分为l=1的行业组。根据GICS供应股票的行业集团代码，24（各NL股票）。然后，我们构造一个投影矩阵P，如果股票i属于产业群l，则元素Pli=1/nl，否则元素Pli=0。对于每个特征向量Uk，可以获得每个行业组的贡献Xlk=NPi=1Pli（uik）。图7显示了每个行业组对最小和次最小特征值λk，k=1，λk，k=2的贡献。去除λ最大特征值的影响后，红色（k=1）和天蓝色（k=2）线是贡献值。

蓝线是使用shuf fled时间序列计算的相关矩阵的平均贡献值xlk。此参考模型告诉我们XLK偏离噪声级的程度。401只股票有24个主要行业集团：媒体、零售、耐用消费品和服装、汽车和零部件、消费服务、食品饮料和烟草、食品和主食零售、家居和个人产品、能源、，200 400 600 800 10001 2 3 4 5（a）平均值SQ0.10.20.30.40.50.6200 400 800 10001 2 3 4 5（b）方差Q0.020.040.060.080.10200 400 800 10001 2 3 4 5（c）偏度SQ-1.0-0.50.00.51.01.5200 400 400 600 10001 2 4 5（d）峰度Q345678图3：（线上颜色）前四阶矩：平均值、方差、偏度、，不同多重分形阶数下相关矩阵的峰度Q和去趋势标度s.0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0.5 1.0 1.5q=4.00，s=70P（λ）0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5q=2.00，s=70P（λ）-0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0 0 0.4 0.8 1.2q=1.00 P（λ）-1.0 0.0 1.0 2.00.0 0 0.4 0.8 1.2q=0.40，s=70λP（λ）0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0 0.5 1.0 1.5q=4.00，s=2300.0 0.5 1.0 1.5 2.00 1 2 3 4q=2.00，s=230-1.0 0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0.4 0.8 1.2q=1.00，s=230-2-1 0 1 20.0 0 0.4 0.8 1.2q=0.40，s=230λ0.0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0 0.5 1.5 2.0q=4.00，s=4300.0 0 0 0 0 0 0.5 1.0 1.5 2.00 1 2 3 4 5q=2.00，s=430-2-1 20.0.4 0.8 1.2q=1.00，s=430-4-3-2-1 0 1 20.0 0.4 0.8 1.2q=0.40，s=430λ0.0 0 0.5 1.0 1.5 2.00.0 0 0.5 1.0 1.5 2.0q=4.00，s=8300.0 0 0.5 1.0 1.5 2.00 2 4 6 8q=2.00，s=830-3-2-1 0 1 20.0 0.4 0.8 1.2q=1.00，s=830-6-4-2 0 20.0 0.4 0.8 1.2q=0.40，s=830λ图4：（彩色在线）体内部互相关矩阵的特征值分布P（λ）。我们只显示了小于2的seeeigenvalue的分布。

黑线、蓝线和绿线分别是原始时间序列、模拟时间序列和模拟时间序列的q相关互相关矩阵的特征值分布。2 5 10 20 50q=4.00，s=702 5 10 20 50q=2.00，s=702 5 10 50 200q=1.00，s=702 5 10 50 200q=0.40，s=70λ2 5 10 20 50q=4.00，s=2302 5 10 20 50q=2.00，s=2302 5 10 50 200q=1.00，s=2302 5 10 50 200q=0.40，s=230λ2 5 10 50q=4.00，s=4302 5 10 50q=2.00，s=4302 5 10 50 200q=1.00，s=4302 5 10 50 200q=0.40，s=430λ2 5 10 20 50q=4.00，s=8302 5 10 50q=2.00，s=8302 5 10 50 200q=1.00，s=8302 5 20 50 200q=0.40，s=830λ图5：（彩色在线）偏离整体的互相关矩阵的特征值（λ>2）。颜色的含义与图4中的相同。从左至右为多样化的金融、银行、保险、房地产、制药、生物技术和生命科学、医疗设备和服务、资本货物、运输、软件和服务、商业和专业服务、材料、技术硬件和设备、半导体和半导体设备、电信服务、公用事业。结果表明，对于最小和次最小特征值λ和λ，贡献来自少数行业组，这些行业组的XLK远强于噪声水平。图8显示了大特征值λk，k=399400的行业贡献。对大特征值的贡献也来自少数行业组，并且远强于噪声水平。对于λ，有多个行业以混合模式作出重大贡献。主要贡献来自多元化的金融、银行、房地产和公用事业。但对λ的贡献总是来自能源和公用事业。如图4所示，在随机矩阵理论的预测范围内有许多小特征值。无花果

9显示了各行业组对特征值λk的贡献，k=200，250深入特征值块体区域。正如预期的那样，在这个区域，特征值没有表现出显著的模式。每个行业组的贡献水平Xlkof与shu’ed时间序列中的贡献水平相同。对于λk，k=200和λk，k=250，没有明显的贡献产业群。如上所述，反向参与比量化了显著贡献的特征向量分量数量的倒数。在这里，我们给出了图10中不同多重分形阶数和衰减尺度下q相关互相关矩阵的逆参与比。为了更好地可视化，我们提出了无最大特征值的逆参与比。注意，对于小多重分形序和大多重分形序q，IPR Ik中存在一个过渡≤ 2、小特征值占主导地位的股票比例相对较小，IPR较大。可以使用图12中的参与比1/Ik进行验证，这是小于50的小特征值的参与比。对于中、大特征值，参与比大于200。图11显示了最大特征值的参与比1/Ik。q<2的最大参与比为376，接近系统大小N=401。当q≥ 2，最大特征值的参与比迅速下降，值为200。不同函数的最大特征值的贡献数存在显著差异，这意味着小函数（q<2）的集体行为更加均匀（大参与比）。图12显示了参与比1/Ikat在不同多重分形阶数q=50、210、410、810时的热图。k是特征值λk的标签。

当q≥ 2，小特征值的参与比（smallk）非常小，表明小特征值包含有用的信息。只有很小的一组股票贡献给最小的特征值。我们可以使用图7中的特征向量分量贡献来验证这一点。当q≥ 2小特征值由几个扇区控制。这与portfoliooptimization相关。总的来说，小流量的集体行为模式不同于大流量的集体行为模式。3.3。PMFG分析平面最大过滤图（PMFG）用于分析危机时期股市的结构和动态【30，31】，它有效地捕捉了行业结构。在这里，我们使用Q相关互相关矩阵构造PMFG网络。图13显示了使用PMFG算法构建的网络。小q的扇形结构比大q的扇形结构更清晰。最近，Kawpen等人[32]利用q相关互相关矩阵构造了最小生成树。使用微小的数据集发现了一些隐藏的结构。在这里，我们发现当q≤ 2，出现hubstock，但当q>2时，程度异质性变弱。特别是当q≤ 2深绿色节点（金融部门的股票）彼此非常接近。然而，当q>2时，金融板块股票之间的联系就会放松。这些特征与文献[32]的结果在定性上一致，在文献[32]中，当q≤ 2、为了量化不同多重分形阶数q和去趋势无标度下，波动对PMFGs的影响，我们计算了PMFGs的拓扑量。PMFGs的拓扑量如图14所示。

图14（a）表明，PMFGs的聚类系数C随着多重分形阶数q的增加而增加。当去趋势尺度较小时，聚类系数较大。最短路径长度L已在G14（b）中显示。对于大q和短s，最短路径长度较大。图14（c）是异质性指数H【29】，它量化了PMFGs的异质性水平。它类似于无标度网络的幂律指数。BA网络的异质性为0.11。我们注意到，对于小q，PMFGnetwork的异构性大于BA网络。这意味着小多重分形阶数的PMFG网络的结构非常不均匀。我们还在图14（d）中显示了PMFGs的分类A。q<2的负组合性暗示了非组合结构，即枢纽库存倾向于与小规模库存相连。当q>2时，分类接近0。这表明对于大q，连接分布更均匀（见图13）。在q>2的网络中，枢纽存量的程度小于q<2的网络中的枢纽。从拓扑量的变化，我们可以推断，对于短时间尺度（s）的小波动（q），存在一些领先股票。但对于大波动（大q）和长时间尺度（大s），股票的相关性是一致的。综上所述，从这些拓扑量中可以明显看出一个明显的结构变化，这表明了在不同时间尺度上不同量级的波动之间的集体行为差异。4、应用我们现在正在探索在马科维茨投资组合框架下，使用依赖于q的PMFG网络来提高投资组合优化性能的可能性【33】。

首先，我们简要介绍了马科维茨投资组合理论，然后我们使用一些中心度指标从PMFG网络中选择投资组合。考虑收益率为ri，i=1的股票投资组合∏（t）。m、 m是投资组合规模，即投资组合中的股票数量。股票∏（t）的回报率为∏（t）=mXi=1ωiri（t），其中ωiis是投资于股票i的财富的分数。分数ωi被归一化，使得mpi=1ωi=1。投资组合的风险∏（t）可以通过方差进行量化Ohm=mXi=1mXj=1ωiωjCi jσiσj，这里是Rian和rj之间的Pearson互相关，σi和σjar是Rian和rj的标准偏差。为了找到最佳投资组合，我们在投资组合风险为某个固定值的约束条件下，使投资组合的回报率Φ=TPt=1∏（t）最大化Ohm. 在这两个约束条件下，Φ的最大化等价于一个二次优化问题ωT∑ω- q* RTω这里∑是前面提到的返回矩阵R的协方差矩阵（现在的维数为L×m）。参数q是风险容限q∈ [0，∞). 如果我们设定大q，我们对风险有很强的承受能力，这导致了巨大的预期回报。最优投资组合可以表示为回报Φ与风险的函数关系图Ohm这被称为高效前沿。在这里，我们在风险度量中不使用q相关互相关系数Ohm. 我们只使用q依赖的PMFG网络来选择m只股票，然后使用传统的Markowitz投资组合理论来量化投资组合的绩效。

研究表明，从Pearson互相关矩阵构建的PMFGnetworks中选择的投资组合，使用一些中心度度量，表现非常好【34】。这里，我们首先计算由η=CwD+CuD+CwBC+CuBC定义的中心性得分- 44×（N- 1） +CwE+CuE+CwC+CuC+CwEC+CuEC- 66×（N- 1） 其中CwDis是加权度（D）的排名，CuDis是其未加权的对应项。其他的中心度指标是介数中心度（BC）、偏心率（E）、贴近度（C）、特征向量中心度（EC）。使用中心（外围）股票构建的投资组合是那些中心性值η非常高（低）的股票。参考文献[34]中提供了该组合中心度度量的完整描述。事实上，中心度指标的选择对最终结果没有显著影响。在图15中，我们展示了通过使用不同多重分形顺序的中央（黑线）、外围（红线）和随机（蓝线）股票构建的投资组合计算出的有效边界。我们对投资组合规模m=10、20、30、40、50、60进行了测试，并计算了在一个特定风险值下所有扭转规模的平均回报值，以显示不同程度的波动影响。很明显，对于10到60只股票的不同投资组合规模，外围投资组合（红线）总是表现最好的。中央投资组合的表现甚至比随机投资组合更差。然后，我们计算外围投资组合和中央投资组合之间的回报差异 = Φp-Φc（p和c分别是外围和中心投资组合）作为多重分形顺序q的函数，如图16所示。这里，我们使用从0.2到10的多重分形顺序来确定最佳q。很明显，外围投资组合在多重分形顺序q=2左右优于中央投资组合，并且表现出大于%7的优势。

这可能暗示我们应该在适度波动的基础上进行交易，以获得更高的回报和更低的风险。上述结果表明，将q相关互相关矩阵作为一种新的投资组合优化工具具有潜力。5、结论在本文中，我们使用q依赖的互相关系数来分析股票市场在不同量级上的互相关函数。借助随机矩阵理论和复杂网络理论，我们分析了不同波动幅度下股票市场的互相关矩阵。我们发现，小流量之间的互相关比大流量强。与小流量相比，大流量的偏差值更多。通过分析反向参与比和IGenvector贡献，我们发现，大型函数的互相关矩阵的小特征值主要由少数行业组控制。这类似于那些大偏差特征值，这些特征值也被少数行业集团所识别。因此，我们得出结论，q相关互相关矩阵的小特征值也携带一些真实信息，这似乎非常违反直觉。复杂网络表示也验证了小型和大型函数之间的相关性差异。对于由小流量构成的网络而言，网络结构更加异构和分散，这意味着小流量存在领先库存。然后，我们利用网络中心性作为投资组合选择指标。根据马科维茨投资组合理论，我们发现外围股票的投资组合总是优于中心股票的投资组合。最大收益差异接近%7的最优多重分形阶数q近似为q=2。