关于管理费对变量定价影响的注记

不同的合同可能会定义不同的流动现金流。我们在此强调，本文中的分析不需要这种特殊形式（9）。还要注意的是，清算现金流不依赖于γ，也不依赖于形式，因为γ总是选择最大化清算现金流。3、投保人的价值函数引入了建模框架和合同规范，我们现在可以计算投保人的价值函数V（t，X（t））作为投保人在时间t的未来现金流的风险中性预期值∈ [0，T]。在风险中性定价方法下对未来现金流进行估值时，假设投保人的现金流可能会被相同初始值的自我融资投资组合所复制。虽然投保人可能没有资源亲自执行任何对冲策略，但我们假设市场的流动性足以在没有摩擦的情况下交易此类策略，并且投保人可以通过独立代理人进入市场。因此，从保单持有人的角度来看，保单持有人未来现金流的风险中性估值可以视为VA合同剩余期限的价值。在第2节之后，对于给定的退出策略Γ，保单持有人的价值函数V（t，X（t））在退出时间tn的跳跃条件由V（t）给出-n、 X（t-n） ）=Cn（γn，X（t-n） ）+V（tn，X（tn）），（10），即提款前的剩余保单价值是提款现金流与提款后的剩余保单价值之和。这里，通过应用选择策略，退出γ为（5）。t处的策略值∈ （tn-1，tn）由风险中性概率度量asV（t，X（t））=EQthe下的贴现预期未来保单价值给出-Rtntr（s）dsV（t-n、 X（t-n） ）i，（11）其中e-Rtntr（s）Ds是折扣系数。

由V（0，X（0））给出的初始策略值可以从终端条件V（T）开始在时间上向后计算-, X（T-)),使用（10）和（11），如算法1所述。作为示例，我们假设r（t）≡ r、 σ（t）≡ σ和αtot（t）≡ αtotasconstants，因此V（t，X（t））=V（t，W（t）），对于t∈ （tn-1，tn）。现在，我们通过hedgingargument推导出由值函数V满足的部分微分方程（PDE）。我们考虑在时间t∈ （tn-1，tn），取值函数V的位置和w（t）的短位置WV（t，W（t））S（t）指数的股票。此处WV（t，W（t））≡V（t，W）W | W=W（t）是V（t，W）相对于第二个参数的偏导数，在W（t）处计算。表示该投资组合在t的总价值∈ （tn-1，tn）作为∏V（t），delta对冲组合的价值由∏V（t）=V（t，W（t））给出- W（t）WV（t，W（t））。（12） 根据Ito公式和（1），可以得到∏vc的SDE，即d∏V（t）=电视（t，W（t））- αtotW（t）WV（t，W（t））+σW（t）W WV（t，W（t））dt，（13）对于t∈ （tn-1，tn）。由于对冲组合∏Vis局部无风险，它必须以无风险利率r增长，即d∏V（t）=r∏V（t）dt。这与（12）一起表明，由值函数V（t，W）确定的PDE由以下公式给出电视- rV+（r- αtot）WWV+σWW WV=0，（14）对于t∈ （tn-1，tn）和n=1，NTN的边界条件由（9）和（10）规定。估值公式（11）或PDE（14）可通过以下算法1递归求解，以计算初始策略值V（0，X（0））。

应该注意，（11）是一般性的，不依赖于偏微分方程推导中的简化假设。算法1 V（0，X（0））的递归计算1：选择退出策略Γ2：初始化V（T-, X（T-)), e、 g.，as（9）3：设置n=N4：而n>0 do5：计算V（tn-1，X（tn-1） ）通过用终端条件v（t）求解（11）或（14-n、 X（t-n） ）6：计算提取金额γn-通过应用策略Γas（5）7：计算V（t-n-1，X（t-n-1） ）通过应用跳转条件（10）8：n=n- 19： 结束while4。保险人的责任函数和公平费率通过检查保险人的责任，可以从保险人的角度考虑GMWB合同，由保险人为完成GMWB合同而必须支付的现金流的风险中性价值给出。在任何提款日tn，保单持有人收到的实际现金流由（4）给出。该现金流首先从投保人的财富账户实际提款中支付，等于min（W（t-n） ，γn），名义提款和可用财富中的较小者。如果财富账户余额不足，其余部分必须由保险人支付。如果实际提取金额超过了保单持有人的现金流，保险人将保留盈余。因此，保险人在TN支付的款项由CN提供（γn，X（t-n） ）=Cn（γn，X（t-n） （）- 最小值（W（t-n） ，γn）。（15） 在任何时间t，我们将净负债函数表示为L（t，X（t）），它是指保险人向投保人支付的所有未来付款的风险中性值，减去所有未来保险费收入的现值。保险费，按αins（t），t收取∈ [0，T]被称为公平，如果总费用正好补偿了保险人的总负债，那么在T=0时，净负债为零。也就是说，L（0，X（0））=0。

（16） 请注意，L（0，X（0））依赖于αins（t），为了简化符号，αins（t）是隐式的。Ifαins（t）≡ αinsis是一个常数，其值可通过求解（16）得到。公平保险费代表保险人向投保人提供GMWB担保的对冲成本，至少从保险人的角度来看，这通常被视为GMWB附加条款的价值。我们在此强调，这一价值可能与GMWB附加条款对投保人财富账户的附加价值不相等，我们将在第5节中说明。为了计算L（0，X（0）），我们首先注意到，在到期日T时，终端条件onL由L（T）给出-, X（T-)) = V（T-, X（T-)) - W（T-), （17） 也就是说，保险人必须支付投保人可用财富未涵盖的任何最终价值。根据GMWB合同的详细信息，该金额可能为负数，在这种情况下，保险人将获得赔偿。例如，如果（9）给出了流动现金流，并且由于强制清算担保账户的高最终余额，对最终（强制）提款施加了更多处罚，则会发生这种情况。L在tn处的跳跃条件由L（t）给出-n、 X（t-n） ）=cn（γn，X（t-n） ）+L（tn，X（tn）），（18），即提款时，净负债减去支付的金额。At t时∈ （tn-1，tn），净负债函数由在支付任何福利之前，在tn的剩余负债的风险中性值减去该期间的任何保险费收入（t，tn），以无风险利率贴现得出。具体而言，我们haveL（t，X（t））=方程-Rtntr（s）dsL（t-n、 W（t-n） ，A（t-n） ）我-EQthRtnte公司-Rstr（u）duαins（s）W（s）dsi。（19） 请注意，从时间t向前看，净负债通过预期收到超过（t，tn）的保险费而减少。

由于这种减少会随着时间的推移而减少，因此净负债会随着时间的推移而增加。举个例子，我们再次假设常数r（t）≡ r、 σ（t）≡ σ、 αins（t）≡ αins，αtot（t）≡ αtot。在这些简化假设下，我们得到L（t，X（t））=L（t，W（t）），对于t∈ （tn-1，tn）。要推导L（t，W）满足的PDE，请考虑一个delta hedgingportfolio，在时间t∈ （tn-1，tn），由净负债函数L中的多头头寸和W（t）中的空头头寸组成WL（t，W（t））S（t）指数的股票。delta对冲组合的价值，表示为∏L（t），由∏L（t）=L（t，W（t））得出- W（t）WL（t，W（t））。（20） 通过Ito公式和（1），我们得到了∏Lasd∏L（t）的SDE=tL（t，W（t））- αtotW（t）WL（t，W（t））+σW（t）W WL（t，W（t））dt，（21），其中t∈ （tn-1，tn）。由于对冲组合∏是局部无风险的，并且必须以无风险利率r增长，以及以利率αinsW（t）随保险费收入增长（见（19）后的备注），因此我们还必须有d∏L（t）=r∏L（t）+αinsW（t）dt。这与（20）一起意味着值函数L（t，W）满足的PDE由tL公司- αinsW- rL+（r- αtot）WWL+σWW WL=0，（22）对于t∈ （tn-1，tn）。因此，初始净负债可以通过从终端和跳转条件（17）和（18）递归求解（19）或（22）来计算，如算法2所述。算法2 L（0，X（0））的递归计算1：选择退出策略2：初始化L（T-, X（T-)) as（17）3：设置n=N4：当n>0时do5：计算L（tn-1，X（tn-1） ）通过用终端条件（t）求解（19）或（22-n、 X（t-n） ）6：计算提取金额γn-通过应用策略Γas（5）7：计算L（t-n-1，X（t-n-1） ）通过应用跳转条件（18）8：n=n- 19： 结束while5。保单价值最大化vs责任最大化在前面的章节中，退出策略γn，n=1，n- 据估计，将提供1个。

退出策略作为影响投保人价值函数和保险人责任函数的控制序列。因此，可以选择这些提取来最大化这些功能中的任何一个，从而产生两种不同的提取策略。在本节中，我们将制定这两种策略，并讨论它们之间的关系。特别是，我们指出了管理费在战略与影响之间关系中的作用。5.1。两个优化问题的制定首先制定投保人的价值最大化问题，即通过优化选择序列γn=1，…，最大化初始保单价值V（0，X（0）），N- 1、遵循动态规划原理，通过选择提取γnasγn=ΓV（tn，X（t-n） ）=arg maxγ∈A.Cn（γ，X（t-n） ）+Vtn，X（tn | X（t-n） ，γ）（23）在容许集A={γ：γ≥ 0，A（tn | X（t-n） ，γ）≥ 0}。这里，我们使用X（tn | X（t-n） ，γ）和A（tn | X（t-n） ，γ）表示状态变量X（tn）和A（tn），在提取γ后，给定状态变量X（t）的值-n） 提款前。在任何取款时间tn，保单持有人选择取款γ∈ A最大化他收到的现金流和剩余政策期限的现值。（23）给出的策略Γv称为价值最大化策略。另一方面，从保险人的角度考虑的优化问题考虑了对保险人最不利的情况。也就是说，通过对γn作出合适的选择，投保人试图最大化净初始责任函数l（0，X（0））。尽管投保人几乎没有理由采取这样的策略，但无论投保人采取何种退出策略（假设保险人能够完全对冲市场风险），该策略下的飞行费率都能保证覆盖GMWBrider的对冲成本。

该策略的退出γ由γn=ΓL（tn，X（t-n） ）=arg maxγ∈A.cn（γ，X（t-n） ）+升tn，X（tn | X（t-n） ，γ）, （24）即保险人支付的现金流和合同剩余期限的净负债之和最大化。（24）给出的策略称为责任最大化策略。5.2。管理费用的作用为了阐明价值和责任最大化策略对公平保险费的不同影响，我们现在通过定义过程M（t，X（t））：=L（t，X（t））+W（t），建立保单价值V和净责任L之间的关系- V（t，X（t）），（25）表示t∈ [0，T]。从（17）我们得到m（T-, X（T-)) = 0，（26）作为M的终止条件。从（11）和（19）中，我们发现递归关系形式为，M（t，X（t））=EQthe-Rtntr（s）dsM（t-n、 X（t-n） ）i+W（t）- EQt[宽（t-n） ]-EQthRtnte公司-Rstr（u）duαins（s）W（s）dsi。（27）注意，（27）中的第二行和第三行可以用管理费的时间-风险中性值（t，tn）来识别。要看到这一点，我们首先注意到，前两项的差异是在（t，tn）期间对wealthaccount收取的总费用的时间t风险中性值，而第三项的预期是同期保险费的时间t风险中性值。根据（26）和（27），（25）定义的数量M（t，X（t））正是未来管理费的时间-时间风险中性值。从（25）中，策略值可以写为v（t，X（t））=W（t）+L（t，X（t））- M（t，X（t）），（28），即财富和GMWB附加条款的价值之和，减去未来管理费的价值。当t=0时，给定sv（0，X（0））+M（0，X（0））=W（0）+L（0，X（0））。（29）因此，最大化L（0，X（0））通常与最大化V（0，X（0））不同，因为总管理费M（0，X（0））取决于退出策略。

当不收取管理费时，飞行费用条件（16）变为SV（0，X（0））+M（0，X（0））=W（0），（30），与文献中经常看到的V（0）=W（0）条件相反，在这种情况下，两种策略包括。当管理费率为正时，负债最大化策略定义将导致最大初始净负债，从而达到（16）最大公平保险费率。5.3。含义我们现在在一个理想化的世界中考虑这两种策略，在这个世界中，保单价值和净负债过程可以通过自我融资交易策略完美复制。如上所述，假设公平保险费遵循责任最大化策略，则无论投保人的实际退出策略如何，保险人都能获得非负利润。如果投保人的行为与此策略不同，特别是如果他遵循价值最大化策略，保险人通常会做出积极的贡献。另一方面，考虑投保人从中间代理购买保单的情况，而中间代理又以投保人的名义从保险人处以相同的价格购买相同的保单，根据GMWB合同，butful将满足投保人的任何提款请求。换言之，中间代理人向投保人提供GMWB担保，并在自己从保险公司提款时遵循价值最大化策略。然后，无论投保人的退保行为或费用如何，中间代理人总是会做出非负收益。如果投保人的行为与保单价值最大化策略不同，她收到的价值低于代理人收到的最大保单价值，因此代理人会从投保人的次优行为中获得正收益。

考虑到中间代理将进行提款，从而使保险公司的价值最大化，而不是成本最大化，保险公司反过来可以收取比责任最大化战略所暗示的费用更低的费用，从而为中间代理和保单持有人带来更大的价值。看似双赢的局面出现在这位财富管理人的损失上，他现在希望获得更少的管理费。在这种情况下，中间代理人通过最大化自身价值，有效地减少了管理费所代表的市场摩擦，同时帮助提高投保人的价值。6、数值示例为了说明管理费用对GMWB合同公平费用的影响，我们在本节中进行了几个数值实验。我们研究了在不同的市场条件和合同参数下，管理费的存在将如何导致前面章节研究的两种退出策略产生不同的公平费用。6.1。为便于说明，我们假设（4）、（7）、（9）规定的简单GMWB合同以及常数r、σ、α和αINS，以便PDE（14）和（22）有效。我们考虑不同的合同场景，并根据第5节给出的退出策略计算（16）中暗示的公平费用。假设财富和担保账户从W（0）=A（0）=1开始。这些合同的期限从5年到20年不等，每年的合同金额在合同的有效期内均匀分布。第一次提款发生在第一年年底，最后一次提款发生在到期日。

管理费从0%到2%不等。我们考虑了几种无风险利率r为1%和5%，指数σ波动率为10%和30%的投资环境，以代表不同的市场条件，如低/高增长和低/高波动情景。此外，折旧率β可以取10%或20%的值。我们通过以下算法1和2同时计算初始策略值V（0，X（0））以及时间0的初始净负债l（0，X（0））。退出策略ΓLandΓVare单独考虑。使用Crank-Nicholson有限差分法（Crank和Nicolson[7]，Hirsa[12]）求解偏微分方程（14）和（22），在两种策略下，这两种函数都具有适当的终端和跳跃条件。这导致初始值和负债V（0，X（0）；ΓL），L（0，X（0）；ΓL），V（0，X（0）；ΓV）和L（0，X（0）；ΓV）在两种策略下。在这里，我们明确了这些函数对策略的依赖性。两种策略下的公平费率均通过使用标准寻根数值格式求解（16）获得。注意，在现有文献中，Forsyth和Vetzal[10]只考虑了策略ΓLand计算的“总价值”，相当于V（0，X（0）；ΓL）+M（0，X（0）；ΓL），并通过要求该总价值等于初始投资W（0）获得公平费率，这与要求初始负债等于（16）所示的0相同。6.2。结果和含义图1和图2分别显示了两种市场条件下的公平费用和相应的总保单价值：高波动率的低回报市场（r=1%，σ=30%）和低波动率的高回报市场（r=5%，σ=10%）。所有市场条件和合同参数的公平费率见表1和表2。