关于管理费对变量定价影响的注记

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英文标题：
《A note on the impact of management fees on the pricing of variable
  annuity guarantees》
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作者：
Jin Sun, Pavel V. Shevchenko, Man Chung Fung
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Variable annuities, as a class of retirement income products, allow equity market exposure for a policyholder\'s retirement fund with electable additional guarantees to limit the downside risk of the market. Management fees and guarantee insurance fees are charged respectively for the market exposure and for the protection from the downside risk. We investigate the impact of management fees on the pricing of variable annuity guarantees under optimal withdrawal strategies. Two optimal strategies, from policyholder\'s and from insurer\'s perspectives, are respectively formulated and the corresponding pricing problems are solved using dynamic programming. Our results show that when management fees are present, the two strategies can deviate significantly from each other, leading to a substantial difference of the guarantee insurance fees. This provides a possible explanation of lower guarantee insurance fees observed in the market. Numerical experiments are conducted to illustrate our results.
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中文摘要：
可变年金作为一类退休收入产品，允许投保人的退休基金在股票市场上暴露风险，并提供可选择的额外担保，以限制市场的下行风险。管理费和担保保险费分别针对市场敞口和下行风险收取。我们研究了最优退出策略下管理费对可变年金担保定价的影响。分别从投保人和保险人的角度提出了两种最优策略，并用动态规划方法求解了相应的定价问题。我们的结果表明，当管理费用存在时，这两种策略可能会显著偏离对方，导致担保保险费用的显著差异。这可能解释了市场上担保保险费较低的原因。数值实验验证了我们的结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> A_note_on_the_impact_of_management_fees_on_the_pricing_of_variable_annuity_guarantees.pdf (524.91 KB)

2022-5-31 12:30:41 上传

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关键词：管理费 respectively Quantitative Applications Perspectives

关于管理费对可变年金担保定价影响的说明Jin Suna，b，*, Pavel V.Shevchenkoc，Man Chung Fungba澳大利亚悉尼理工大学理学院ABDATA61，CSIRO，澳大利亚麦格理大学澳大利亚应用金融和精算研究系BStractVariable年金，作为一类退休收入产品，允许保单持有人退休基金的股票市场风险敞口，并提供可选择的额外担保，以限制市场的下行风险。管理费和担保保险费分别针对市场敞口和下行风险收取。我们研究了在最优退出策略下管理费对可变年资担保定价的影响。分别从投保人和保险人的角度制定了两种最优策略，并用动态规划方法求解了相应的定价问题。我们的结果表明，当存在管理费时，这两种策略可能会显著偏离对方，导致担保保险费的巨大差异。这可能解释了市场上担保保险费较低的原因。数值实验验证了我们的结果。关键词：可变年金担保、保证最低提取福利、管理费、随机最优控制、PDE、有限差异1。简介世界各地的财富管理和保险公司提供了可变年金（VA）以及生前和死亡福利保障，以帮助个人管理退休前和退休后的财务计划。这些产品利用了市场增长的优势，同时保护了储蓄免受市场低迷的影响。人寿保险单也有类似的担保（Bacineloand Ortu[1]）。

投保人收到的VA合同现金流与投资组合的选择和表现（如共同基金及其战略的选择）相关，而传统年金则提供预先确定的收入流作为交换*相应的authorEmail地址：jin。sun@uts.edu.au（金孙），帕维尔。Shevchenko@mq.edu.au（帕维尔·舍甫琴科），西蒙。Fung@data61.csiro.au（Man Chung Fung）预印本于2018年6月25日提交给爱思唯尔，要求一次性付款。VA保单持有人需要在财富管理服务合同期限内定期支付管理费。保单持有人可以选择各种VA担保，也称为VA附加条款，但需支付额外的保险费。VA担保的常见示例包括担保最低累积福利（GMAB）、担保最低提取福利（GMWB）、担保最低收入福利（GMIB）和担保最低死亡福利（GMDB），以及它们的组合。这些担保（一般称为GMxB）提供了不同类型的保护，以防止市场低迷、因长寿风险导致的储蓄不足或保证收入的稳定性。这些产品的精确规格可能因类别和发行人而异。有关这些产品的概述，请参见Bauer等人【2】、Ledlie等人【18】、Kalberer和Ravindran【16】。2007-08年的全球金融危机导致了持续的不利市场条件，如低利率和资产回报以及VA提供商的高波动性。在这些情况下，VA担保变得更有价值，相应的法定负债的履行变得更加苛刻。危机后的市场条件要求对VA担保相关的风险进行有效对冲（Sun等人[26]）。

因此，准确估计VA担保的对冲成本变得越来越重要。此类估计包括未来现金流的风险中性定价，保险人必须向投保人支付这些现金流，以填补VA担保的负债。学术文献中有许多关于VA担保定价的贡献。考虑了一系列数值方法，包括基于标准和回归的蒙特卡罗（Huang和Kwok[14]）、部分微分方程（PDE）和直接积分方法（Milevsky和Salisbury[21]，Dai等人[8]，Chen和Forsyth[4]，Bauer等人[2]，Luo和Shevchenko[19，20]，Forsyth和Vetzal[10]，Shevchenko和Luo[25]）。舍甫琴科和罗[24]全面概述了VA担保定价的数值方法。在本文中，我们重点关注GMWB，它提供每年的担保提款金额，直到合同到期，而不管投资表现如何。保证提款金额的确定应确保在合同有效期内收回初始投资。在为GMWB定价时，通常会假设预先确定的（静态）投保人退保行为，或主动（动态）策略，其中投保人“最佳”决定每个退保日期的退保金额，具体取决于该日期的可用信息。在采用主动取款策略的GMWB定价中，最有争议的一个方面是投保人的取款行为（Cramer等人[6]、Chen和Forsyth[4]、Moenig和Bauer[22]、Forsyth和Vetzal[10]）。通常将VA担保的预期负债或对冲成本最大化的退出策略称为“最优”策略。

尽管这种策略是VA提供商最坏情况下的基础，对冲成本最高，但它可能与投保人的实际行为不一致。然而，从保险人的角度来看，这种策略下的担保价格提供了套期保值成本的上限，这通常被称为担保的“价值”。正如Moenig和Bauer所指出的那样，投保人的实际行为往往偏离了这种“最优”策略。已经提出了不同的模型来解释投保人的真实行为，包括Ho等人[13]的简化形式行使规则，以及Moenig和Bauer[22]采用的主观风险中性估值方法。特别是，Moenig和Bauer[22]得出的结论是，考虑不同税收结构的主观风险中性估价方法与经验观察的相应结果一致。与Moenig和Bauer[22]中的税收考虑类似，管理费是一种市场摩擦形式，会影响投保人的理性行为。然而，VA定价文献中很少考虑管理费。当管理费为零且假设存在确定性提款行为时，Hyndman和Wenger【15】以及Fung等人【11】表明，从投保人和保险人的角度来看，保证提款的风险中性定价将产生相同的保险费。在弗吉尼亚州pricingof担保中考虑管理费的研究很少，包括B'elanger等人【3】、Chen等人【5】和Kling等人【17】。在这些研究中，公平的保险费是从保险人的角度考虑的，并且是给定的管理费。

管理费作为市场摩擦的一种形式，将如何影响投保人的退保行为，从而影响保险人的对冲成本，这一重要问题尚待在动态退保环境中研究。本文的主要目的是解决这个问题。本文从三个方面对该文献作出了贡献。首先，我们考虑两种基于投保人和保险人角度的定价方法。在文献中，最常见的情况是只考虑保险人的观点，这可能会导致对投保人撤回策略的错误描述。其次，我们描述了管理费对GWMB定价的影响，并证明上述两种定价观点由于管理费的存在而导致不同的航空保险费。特别是，从投保人的角度来看，公平保险费低于保险人的角度。这为市场上观察到的较低保险费提供了可能的理由。第三，在不同的市场条件和合同参数下，对公平保险费对管理费的敏感性进行了调查，并通过数值示例进行了量化。本文的组织结构如下。在第2节中，我们介绍了GMWB担保的合同细节及其在随机最优控制框架下的定价公式。第3节推导了风险中性定价法下的投保人价值函数，然后是第4节中的保险人净负债函数。第5节，我们比较了分别最大化投保人价值和保险人责任的两种退出策略，并讨论了管理费在两者关系中的作用。第6节通过数值例子展示了我们的方法。第7节以评论和讨论结束。2.

GMWB定价问题的制定我们从建立GMWB定价框架开始，并描述此类担保的特点。该问题是在一般设置下制定的，因此得出的定价公式可以应用于不同的GMWBcontract规范。除了一般设置外，我们还考虑了一个非常具体、简单的GMWB合同，该合同随后将用于第6节所述数值实验的说明目的。弗吉尼亚州投保人的退休基金通常投资于受金融市场风险影响的托管财富账户。这项投资服务通常收取管理费。此外，如果选择GMWB，将对担保提供商（保险公司）提供的保护收取额外的保险费。Weassume由GMWB担保的财富账户将持续收取比例管理费，支付给保险人以外的独立财富管理人。这一假设意味着管理费不能用于为GMWB担保的对冲组合提供资金。管理费的唯一目的是补偿所提供的基金管理服务，不应与担保的对冲成本相冲突。另一方面，对冲的成本是由财富账户持续收取的比例保险费支付的。空中保险费率，简称公平费率，是指为对冲投资组合或复制投资组合提供资金所需的最低保险费率，以便担保提供人能够消除与出售担保相关的市场风险。我们考虑的情况是，投保人购买GMWB附加条款，以保护其财富账户，该账户跟踪时间t的股票指数S（t）∈ [0，T]，其中0和T对应于起始日期和到期日期。

股票指数账户在风险中性概率度量Q下建模，遵循随机微分方程（SDE）dS（t）=S（t）（r（t）dt+σ（t）dB（t）），t∈ [0，T]，（1）其中，r（T）是无风险短期利率，σ（T）是指数的波动率，它具有时间依赖性，可以是随机的，B（T）是指数不确定性的标准Q-布朗运动模型。在这里，我们遵循VA担保定价文献中的标准做法，在风险中性概率度量Q下建模，这允许随机现金流的定价采用贴现现金流的风险中性预期。如果基础金融市场满足某些“无套利”条件，则存在风险中性概率度量Q。有关风险中性定价的详细信息，请参见Delbaen和Schachermayer[9]，了解账户低估的一般设置。财富账户W（t），t∈ [0，T]在GMWB合同的有效期内，投资于指数S，由财富管理人按αm（T）收取管理费。保险人按照GMWBrider的费率αins（t）收取额外的保险费，以支付担保的对冲成本。这两种设备都具有确定性、时间依赖性和连续充电性。离散费用可以类似地建模，没有任何困难。财富账户依次演变为DW（t）=W（t）（（r（t））- αtot（t））dt+σ（t）dB（t）），（2）对于任何t∈ [0，T]不提取财富。这里，αtot（t）=αins（t）+αm（t）是总费率。GMWB合同允许投保人从担保账户a（t），t∈ [0，T]在一系列预先确定的合同事件日期上，0=T<T<····<tN=T。初始担保A（0）通常与初始财富W（0）匹配。

担保账户保持不变，除非在某个事件日期提款，这会改变担保账户余额。我们假设，如果保单持有人在到期日T之前死亡，则GMWB合同将由受益人接管，因此合同不可能提前终止，合同中也不包含任何死亡福利。为了更好地说明管理感受的影响，而不存在不必要的复杂性，可以直接包括其他特性，如提前投降和死亡抚恤金，但本文不会考虑这些特性。为了简化符号，我们用X（t）表示t处的状态变量向量，给定X（t）=（r（t），σ（t），S（t），W（t），A（t）），t∈ [0，T]。（3） 我们用EQt[·]表示以状态变量att为条件的风险中性预期，即EQt[·]：=EQ[·| X（t）]。这里，我们假设所有状态变量在风险中性概率测度Q下遵循马尔可夫过程，因此X（t）包含t处可用的所有信息。为了完整性，我们将索引值S（t）包含在状态变量向量中，由于几何布朗运动型模型（1）的尺度不变性，在当前模型下，这些状态变量可能看起来是冗余的。然而，一般而言，S（t）可能以非线性方式确定S的未来动态，例如，Platen和Heath中描述的最小市场模型下的情况也是如此【23】。事件日期tn，n=1，N- 1、投保人可选择提取最低金额γn≤ A（tn）。投保人收到的实际现金流用Cn表示（γn，X（t-n） ），其中t-指t之前的时间。

例如，Cn（γn，X（t-n） ）可由cn（γn，X（t）给出-n） ）=γn- βmax（γn- Gn，0），（4），其中合同提款GNI是GMWB合同中规定的预定提款金额，β是适用于提款部分的罚款率，超过合同提款Gn。保单持有人可根据所有当前状态变量，即γn=Γ（tn，X（t））决定提款金额γn-n） ），（5）其中映射Γ（·，·）定义为退出策略。假设状态变量X的马尔可夫结构，退出策略（5）使用所有当前信息。提款时，担保账户变更金额Dn（γn，X（t-n） ，即A（tn）=A（t-n）- Dn（γn，X（t-n） ）。（6） 例如，如果Dn（γn，X（t-n） ）=γn，则na（tn）=A（t-n）- γn.（7）保证账户保持非负，也就是说，γnca只能取dn（γn，X（t-n） （）≤ A（t-n） 。财富账户减少了γnupon取款金额，并保持非负。也就是说，W（tn）=max（W（t-n）- γn，0），（8），其中W（t-n） 是提款前的财富账户余额。假设γ=0，即合同开始时无提款。投保人在时间t的剩余价值的函数表示为V（t，X（t）），t∈[0，T]，对应于T时保单持有人所有未来现金流的风险中性值。到期时tN=T，保单持有人获得清算现金流（T-, X（T-)). 两个账户余额在T时均为零，即W（T）=A（T）=0。例如，清算现金流可由V（T）给出-, X（T-)) = A（T-) - βmax（A（T-) - GN，0）+最大值（W（T-) - A（T-), 0），（9），假设标称提取γN=a（T-) 剩余的担保账户余额将受到（4）中暗示的违约金的影响，合同金额为GN，加上此次提款后的财富账户清算。