基于数值反演的总损失分布计算

（17） 类似地，与（11）-（12）类似，我们还可以推导（复合）投资组合L的ALD的经验CF，如（3）中所定义的，比如CF^FL（t）。ECDF^FX和已确定的广义帕累托CDF的组合经常用于根据观察数据对重尾（严重性）分布进行建模，参见McNeil（1997）和McNeil and Saladin（1997）。使用方程（13），这种分布的CF，如CfFx（t），可以表示为经验CF和广义Pareto CF的加权混合，CfFx（t）=p CF^FXL（t）+（1- p） cfGPD（t），（18），其中p∈ （0，1）是指定分布尾部的概率水平，通常p=0.9或更大，cf^FXL（t）是基于观察值（xk）的较低p部分的经验cf≤ θ、 其中θ是作为分布的p-分位数选择的阈值），cfGPD（t）是拟合的广义帕累托分布GPD（ξ，σ，θ）的CF，参数ξ和σ是根据观察值xk估计的（例如，通过最大似然估计方法）- θ≥ 0，k=1，K、 最后，请注意CF（10）或（11）-（12）定义的ALD是一个离散分布，如果所有严重成分分布（S或sm，对于所有m=1，…，m）都是离散分布（例如，基于其经验LCF）。否则，ALD分布为连续分布（尽管形状可能非常不稳定）。特别是，经验CF（17）确定的总损失分布原则上是离散的，累积分布函数是阶跃函数（与经验CDF类似）。标准反演定理，包括下面介绍的Gil-Pelaez反演公式，基于PDF存在的假设（即假设绝对连续分布），以及特征函数在(-∞, ∞).

在第3节中，我们介绍了基于此理论假设的方法和算法，然而，对于大多数实际目的，它们的数值实现通常也非常适合（作为近似方法）评估经验CFs定义的ALD CDF。在任何情况下，仍然可以通过使用适当的平滑DCF来平滑复合损失经验ALD，L，该平滑DCF是通过将经验分布与适当的连续分布卷积而获得的，ascfFL（t）=cf^FL（t）×cfZ（t），（19），其中cf^FL（t）是经验的或其他损坏的cf，cfZ（t）表示适当的平滑连续分布的cf，例如。，零均值高斯分布，其标准偏差σ与平滑核的选定带宽成比例，cfZ（t）=e-σt/2.3。Gil-Pelaez反演公式3.1。数值计算计算（逆）傅里叶变换是一个众所周知的问题，经常与计算高振荡（复）函数的积分有关。一般而言，对其进行了很长时间的研究，但也侧重于特定应用，参见Asheim和Huybrechs（2013）；Levin（1996）；米洛瓦诺维奇（1998）；Sidi（198219882012），只展示了一些。特别是，建议用于反转特征函数以获得概率分布函数的方法包括Abate和Whitt（1992）；Shephard（1991）；Waller等人。

（1995年）；齐利恩斯基（2001）；斯特劳德曼（2004），冯和林（2013）。在此，我们假设所考虑的ALD特征函数，如cfL（t）或cfFL（t），与特定总损失的分布相关~ FL是已知的，可以很容易地计算出任意t∈ R、 Gil Pelaez（1951）导出了上绝对可积CFs的反演公式(-∞, ∞), 适用于PDF和/或CDF的数值计算，这只需要实值函数的积分，有关更多详细信息，请参阅Shephard（1991）。特别地，PDFL给出了具有特征函数cfL（t）的绝对连续分布（假设存在）的PDF(l) =πZ∞Re-它lcfL（t）dt，（20）和进一步，如果l 是L的累积分布函数的连续点，由cdfL定义(l) = Pr{L≤ l}, 然后CDF由CDFL给出(l) =-πZ∞Ie-它lcfL（t）t！dt。（21）由R（f（t））和I（f（t））我们分别表示复函数f（t）的实部和虚部。在统计学方面，在Imhof（1961）和Davies（1980）中，基于（20）和（21）的特征函数数值反演在另一种情况下成功实现，用于评估独立二次方RVs线性组合的分布函数。此外，Gil Pelaez的方法用于计算独立学生t随机变量线性组合的分布，以及独立反向伽马随机变量线性组合的分布，参见Witkovsk\'y（2001b）、Witkovsk\'y（2001a）和alsoWitkovsk\'y et al.（2015）。通常，（20）和（21）中的积分可以通过许多数值求积方法计算。

在某些情况下，积分被细分为被积函数连续零点之间的子区间，使用高斯求积等方法对其进行积分，并通过已知方法加速所得交替级数的求和，参见Cohen et al.（2000）。然而，积分（20）尤其是（21）通常可以通过梯形求积（即pdfL）有效地近似(l) ≈ΔπNXj=0wjRe-itj公司lcfL（tj）, （22）和/或DFL(l) ≈-ΔπNXj=0wjIe-itj公司lcfL（tj）tj！，（23）其中N是非常大的整数，例如N=2，wjare是适当的梯形正交权重（即w=wN=，对于j=1，…，N，wj=1- 1） ，对于j=0，…，tj=jδ，N是距离区间[0，T]的等距节点（及其相互距离δ），对于足够大的T（即，被积函数Re-itj公司lcfL（t）和/或Ie-itj公司lcfL（t）/t对于所有t>t）而言都非常小。数值N和T的特殊选择影响总近似误差，即截断误差和积分误差的组合。他们之间的权衡在很大程度上取决于cfL。如果N和T的最佳值未知，作为一个简单的经验法则，我们建议从应用以下六西格玛规则开始。为此，设置δ=2π/（B- A） ，其中间隔（A，B）=E（L）k√k=6（或乘法系数k的其他更合适值）的Var（L）指定了随机变量L的分布支持的实质部分，然后设置N和T=Nδ，以便对于所有T>T，被积函数的绝对值都非常小，例如Ie-itj公司lcfL（t）/t≤ |cfL（t）/t |<ε，例如ε=10-此外，为了计算（23）中的第一项，我们可以使用Witkovsk\'y（2001b）的结果：如果L的平均值（期望值）存在，则→0Ie-它lcfL（t）t=E（L）- l.

（24）所需的位置和分散参数，即期望值e（L）和方差Var（L），可以从分布的矩（即期望值和方差L，如果存在和已知），或者通过（已知）cfL（t）的数值差异近似地进行评估。特别是，对于任何小h>0，例如，h=10-4，我们得到（L）≈h类IcfL（h）-IcfL（2h）+IcfL（3小时）-IcfL（4h）!, （25）和，Var（L）≈EL-E（L）, （26）其中L≈h类-RcfL（h）+RcfL（2h）-RcfL（3小时）+RcfL（4h）!. （27）这种基于特征函数数值差异的近似，在理论矩（期望和方差）形式上不存在的情况下，也可以作为所需位置和尺度参数的合理近似。1980年1981年1982年1983年1984年1986年1988年1989年1990年索赔数量166 170 181 153 163 207 238 226 210 235 218表2：丹麦财产损失数据：1980-1990年期间观察到的索赔数量（经验频率分布）。请注意，所提供的求积对于计算pdfL非常有效(l) 和cdfL(l) 对于任何l ∈ （A，B）因为j=0，…，只需要对cfL（tj）进行一次评估，N、 最后，用于计算VAR的分位数函数（QF）可以通过（23）计算的值进行简单插值，或者（对于高度光滑的连续分布）通过迭代牛顿-拉斐逊格式进行计算。它需要重复评估PDF/CDF（22）-（23）。特别是对于固定概率水平p∈ （0，1），L（连续）分布的p-分位数，例如q=qfL（p），作为以下迭代方案的解（固定点）给出，qf（k+1）L（p）=qf（k）L（p）-cdfL公司qf（k）L（p）- ppdfL公司qf（k）L（p）, （28）其中k=0，1，并且起始值qf（0）L（p）被设置为，例如，qf（0）L（p）=e（L），由（25）给出。3.2。

软件实现我们已经将上述方法和算法实现到MATLAB特征函数工具箱（CF工具箱）中。它是一组算法，用于计算和组合特征函数，并通过相关CF的数值反演进一步计算PDF、CDF和QF。工具箱可从以下网页的作者处获得：https://goo.gl/gBfdwY.TheCF工具箱还包括易于使用的应用程序，即集体风险模型工具（CRM工具）。CRMTool是一个快速且在大多数实际情况下相当精确的计算总索赔/损失分布和相关风险值的计算器，通过对其特征函数进行数值反演来指定和计算。CF工具箱中使用的算法基于梯形规则，用于计算由Gil-Pelaez公式定义的积分，或使用FFT算法计算傅里叶变换积分。如前所述，在更复杂的情况下或如果需要最高的数值精度，通常需要更先进的求积方法，并结合使用交替符号的级数极限的加速计算。有关可能的替代方法和MATLAB实现的更多详细信息，请参见Duby et al.（2017）。4、真实数据示例：丹麦的财产损失数据为了便于说明，我们对常用于方法比较的知名保险数据集进行了分析：丹麦主要财产保险损失数据，见Eling（2012）及其参考文献。该数据集由最初在McNeil（1997）和Resnick（1997）中分析的丹麦火灾损失组成。该数据代表以百万丹麦克朗（DKK）为单位的保险损失，由一家丹麦再保险公司收集。

该数据集包含1980年1月3日至1990年12月31日期间超过100万丹麦克朗的个人损失，总计2167个个人损失。对其进行了调整，以反映1985年的值。该数据集可以在R包fEcofin和fExtremes中找到，也包含在MATLAB CF工具箱中。表2给出了经验频率分布，即1980-1990年期间每年的索赔数量（每年197起索赔的平均值）。然而，很明显，1980-1985年期间的索赔数量（平均值166.6）低于1986-1990年期间的索赔数量（平均值222.3）。这表明可能存在不同随机机制的混合，从而产生索赔数量，这很难通过标准离散分布进行建模。基于这一期间观察到的2167件索赔损失超过100万丹麦克朗的经验严重性分布如图1左上角的柱状图（对数标度）所示。描述性统计显示，个人火灾损失的分布明显向右倾斜，丹麦火灾损失的个人损失（百万丹麦克朗）直方图高达1 10 100 1000 1980-19900 500 1000 1500 2000总损失（百万丹麦克朗）0.51.52.5-3PDF总损失分布0 500 1000 1500 2000总损失（百万丹麦克朗）0.20.40.60.8CDF损失分布-20-10 0 10 20t-1-0.50.5严重性分布的经验CF-0.5 0.5t-1-0.50.5频率分布的经验CF-0.05 0.05t-1-0.50.5复合分布的经验CF图1：丹麦火灾损失数据：（i）1980-1990年期间观察到的以百万丹麦克朗为单位的个人损失直方图（严重性分布），以对数刻度表示。

（ii）由经验复合CF数值反演得出的总损失分布PDF。（iii）由经验复合CF数值反演得出的总损失分布CPDF。（iv）严重性分布经验特征函数的实部（蓝色）和虚部（红色）。（v） 频率分布的经验特征函数。（vi）总损失分布的复合经验特征函数。峰度，观测平均值为3.39，标准偏差为8.51（百万丹麦克朗），偏度为18.74，峰度为485.65。这建议考虑将重尾分布作为严重性分布的模型。推导ALD的第一种建模方法基于一种纯非参数方法，该方法通过数值线性版本（22）–（23）从复合经验特征函数（15）、（16）和（17）推导总损失分布。使用CF工具箱，评估CF规定的总损失分布（PDF/CDF）以及所需的VAR是一项简单的任务，可以通过几行MATLAB代码来表示：%DanishFireData：荷载（\'DanishFireData.mat\'）%经验特征函数：cfN=@（t）cfE\\u经验（t，频率）；cfX=@（t）cfE\\u经验（t，严重性）；cf=@（t）cfN（-1i*log（cfX（t）））；%参数/选项：prob=[0.9 0.99 0.999]；损耗=linspace（02000201）\'；选项。isCompound=真；%cf2DistGP对CF的数值反演：结果=cf2DistGP（CF，损失，概率，期权）；计算结果是一个MATLAB结构数组（结果），包含指定的字段和值，其中包含按要求值（由可变损失指定）评估的PDF和CDF值，以及按要求概率（由可变概率指定）评估的VAR值。

特别是，概率为0.9、0.99和0.999的计算风险值（VAR）为：872.9、1112.8和1319.6（百万丹麦克朗）。推导ALD的第二种建模方法基于半参数方法，通过合并严重性分布重尾的广义帕累托分布。这里，化合物CF iscfcFS（t）=CF^FN- i日志cfcFX（t）, （29）其中cf^fn由（15）给出，Cfffx是经验cf和（18）给出的拟合广义帕累托cf的加权混合。然后，通过对化合物CF（29）进行数值反演（22）–（23），得出ALD。选择最佳阈值θ，将观察到的损失（严重性数据）分为头部（主体）区域和尾部区域，用于拟合广义帕累托尾部分布，是该建模方法的难点，其他地方对此进行了更详细的讨论，参见McNeil（1997），其中考虑了10到20之间的阈值。然而，为了简单起见，我们在这里考虑作为经验真实性分布的p-分位数导出的阈值，由概率值p=0.95指定。

对于给定的火灾损失数据，我们得到估计值^θ=10.0203（百万丹麦克朗）。然后确定广义帕累托分布GPD^ξ, ^σ,^θ参数（通过最大似然估计法从大于^θ=10.0203的观测损失中估计）：^ξ=0.4890和^σ=7.1082。在此基础上，我们可以构建严重度分布特征函数cfcFX，定义为经验CF和已确定的广义帕累托CF的混合物，如（18）所示，经验频率为CF^fn，也可以构建复合特征函数cfcFS。与之前一样，这种化合物CF规定的总损失分布的评估可以通过以下几行MATLAB代码来表示：%设置阈值参数thetap=0.95；θ=分位数（严重程度，p）；%拟合GP（广义Pareto）分布Pfit=Paretoails（严重程度，0，p）；Pars=GPfit。上部参数；xi=PAR（1）；西格玛=PAR（2）；%装配尾部总成分布的CF Pdfgp=@（x）gppdf（x，xi，sigma）；cfGP=@（t）cfX\\U PDF（t，pdfGP）。*exp（1i*t*theta）；%混合严重度分布的CF XL=严重度（严重度<=θ）；cfXL=@（t）cfE\\u经验（t，XL）；cfX=@（t）p*cfXL（t）+（1-p）*cfGP（t）；%频率分布的经验CF fn=@（t）cfE\\u经验（t，频率）；%总损失分配的复合CF=@（t）cfN（-1i*log（cfX（t）））；%参数sprob=[0.9 0.99 0.999]；损耗=linspace（02500201）\'；%选项清除选项选项选项。N=2^16；选项。六西格玛律=15；选项。isCompound=真；%通过CF2DISTGPRESS=cf2DistGP（CF，损失，概率，期权）对CF进行数值反演；概率0.9、0.99和0.999的计算VAR（风险值）为：847.96、1156.8和2063.3（百万丹麦克朗）。如果与基于反转经验化合物CF的纯非参数方法估计的VAR相比，这些VAR（尤其是高分位数）是不同的。