基于数值反演的总损失分布计算

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英文标题：
《Computing the aggregate loss distribution based on numerical inversion
  of the compound empirical characteristic function of frequency and severity》
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作者：
Viktor Witkovsky, Gejza Wimmer, Tomas Duby
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  A non-parametric method for evaluation of the aggregate loss distribution (ALD) by combining and numerically inverting the empirical characteristic functions (CFs) is presented and illustrated. This approach to evaluate ALD is based on purely non-parametric considerations, i.e., based on the empirical CFs of frequency and severity of the claims in the actuarial risk applications. This approach can be, however, naturally generalized to a more complex semi-parametric modeling approach, e.g., by incorporating the generalized Pareto distribution fit of the severity distribution heavy tails, and/or by considering the weighted mixture of the parametric CFs (used to model the expert knowledge) and the empirical CFs (used to incorporate the knowledge based on the historical data - internal and/or external). Here we present a simple and yet efficient method and algorithms for numerical inversion of the CF, suitable for evaluation of the ALDs and the associated measures of interest important for applications, as, e.g., the value at risk (VaR). The presented approach is based on combination of the Gil-Pelaez inversion formulae for deriving the probability distribution (PDF and CDF) from the compound (empirical) CF and the trapezoidal rule used for numerical integration. The applicability of the suggested approach is illustrated by analysis of a well know insurance dataset, the Danish fire loss data.
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中文摘要：
提出并说明了一种通过组合和数值反演经验特征函数（CFs）来评估总损失分布（ALD）的非参数方法。这种评估ALD的方法基于纯粹的非参数考虑，即基于精算风险应用中索赔频率和严重程度的经验CFs。然而，这种方法可以自然地推广到更复杂的半参数建模方法，例如，通过合并严重度分布重尾的广义帕累托分布拟合，和/或通过考虑参数CFs（用于建模专家知识）和经验CFs（用于结合基于历史数据的知识-内部和/或外部）的加权混合。在此，我们提出了一种简单而有效的CF数值反演方法和算法，适用于评估ALD和对应用非常重要的相关利益度量，例如风险价值（VaR）。该方法基于Gil-Pelaez反演公式，该公式用于从复合（经验）CF推导概率分布（PDF和CDF）和用于数值积分的梯形规则。通过对众所周知的保险数据集丹麦火灾损失数据的分析，说明了所建议方法的适用性。
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分类信息：

一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Computation        计算
分类描述：Algorithms, Simulation, Visualization
算法、模拟、可视化
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Applications        应用程序
分类描述：Biology, Education, Epidemiology, Engineering, Environmental Sciences, Medical, Physical Sciences, Quality Control, Social Sciences
生物学，教育学，流行病学，工程学，环境科学，医学，物理科学，质量控制，社会科学
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PDF下载：
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2022-5-31 18:36:08 上传

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关键词：distribution Applications epidemiology Quantitative Application

基于频率和严重度的复合经验特征函数的数值反演，计算总损失分布，*, Gejza Wimmerb，c，Tomas DubydaInstitute of Measurement Science，斯洛伐克科学院，D’ubravsk’a cesta 9，841 04布拉迪斯拉发，斯洛伐克科学院数学研究所，布拉迪斯拉发，斯洛伐克自然科学学院，Matej Bel大学，Bansk’a Bystrica，SlovakiadOAA Computing，Bicester，Oxfordshire，本文提出并举例说明了一种通过组合和数值转换经验特征函数（CFs）来评估总损失分布（ALD）的非参数方法。这种评估ALDI的方法基于纯粹的非参数考虑，即基于精算风险应用中索赔频率和严重程度的经验CFs。然而，这种方法可以自然地推广到更复杂的半参数建模方法，例如，通过合并严重性分布重尾的广义帕累托分布，和/或通过考虑参数CFs（用于建模专家知识）和经验CFs（用于结合基于历史数据的知识-内部和/或外部）的加权混合。在这里，我们提出了一种简单而有效的方法和算法，用于CF的数值反演、ALD的适当预测以及对应用非常重要的相关度量，例如，价值atrisk（VaR）。所提出的方法基于Gil-Pelaez反演公式（用于从复合（经验）CF推导概率分布（PDF和CDF））和用于数值积分的梯形规则的组合。

通过对众所周知的保险数据集丹麦保险损失数据的分析，说明了建议方法的适用性。关键词：总损失分布、风险价值、重尾分布、经验特征函数、数值反演2010 MSC:91B30、62G321。简介在财务风险管理中，根据损失分布法估计运营风险资本需要评估总损失分布（ALD）。同样，保险中的集体风险模型（CRM）要求评估特定时期内的保险组合ALD，定义为索赔强度（频率）及其规模（严重性）的复合分布。有关更多详细信息，请参见Hogg和Klugman（1984）、Embrechts et al.（2013）、Kaas et al.（2008）以及Schmidli（2010）、Rolski et al.（2009）、Roncalli（2016）。在这种情况下，一个重要的利益衡量指标是风险价值（VaR），通常定义为ALD的99.9%分位数。通常，指数分布、伽马分布、对数正态分布、对数逻辑分布或帕累托分布被用作连续严重性分布，泊松分布、二项分布或负二项分布被用作离散频率分布，其各自的参数从可用的观测数据中拟合和/或根据专家知识/判断得出。*通讯作者。电话：+421 2 59104530；传真：+421 2 54775943。电子邮件地址：witkovsky@savba.sk（维克托·维特科夫斯基），wimmer@mat.savba.sk（Gejza Wimmer），tomy@oaacomputing.co.uk（Tomas Duby）提交给arXiv的预印本。org 2017年1月31日集体风险模型中的总损失，例如，S=NXj=1Xj，（1）被建模为相同独立分布（i.i.d.）随机变量（RVs）X，…，的随机数N之和，XN代表Xj进一步建模的索赔规模~ 外汇。

通过FXwe表示概率分布，特别是连续严重性分布的累积分布函数（CDF），其与n无关~ FN，给定时间段内产生的保险索赔的随机数，FN表示离散频率分布的概率分布。显然，如果N=0，则总损失S=0。然后，总损失（1）的概率分布为混合分布FS=∞Xn=0Pr（N=N）FnX，（2）其中Pr（N=N）表示N=N的随机事件的概率，FnX表示N次卷积分布函数FX（FX是退化狄拉克分布，通过定义，集中在0）。一般来说，假设投资组合具有p个独立事件类型和/或业务线单元（其总损失率为1，…，p），我们确定（复合）投资组合的总损失，例如L，asL=pXi=1Si，（3）其中Si=PNij=1Xi，jare相互独立，具有独立索赔频率，Ni~ FNi和索赔严重性，Xi，j~ FXi，对于所有i=1，p和j=1，镍。对于索赔频率为Ni的情况，可放宽相关RVs相互独立的要求，并自然推广~ FNi，i=1，p、 并给出了它们的联合分布。特别是，Ambagaspitiya（1998）考虑了一系列离散多元分布，其中p-变量离散随机向量N=（N，…，Np）Tcan可以用N=AM表示，其中a是p×k非负积分矩阵，M=（M，…，Mk）是k×1列向量，其分量RVs是独立的。然而，本文并未详细讨论相关RVs组合的情况。CDF的闭合表达式，如（2）中所定义的，通常不适用于（1）和（3）中的总损耗或L。

因此，这些分布的评估依赖于数值方法。有关可成功用于计算ALD的可用数值算法的概述，请参见Shevchenko（2010），包括Monte Carlo、Panjer递归和Fourier变换方法。Heckman和Meyers（1983）描述了一种特殊的（数学上方便的）模型和方法，该模型和方法可以对ALD的特征函数（CF）进行数值反演。通常，基于离散傅立叶变换和快速傅立叶变换（FFT）算法的CF近似数值反演方法可以交替使用，例如，见Feng和Lin（2013）或Witkovsk\'y（2016）。有关基于FFT的方法的更多详细信息，请参见H¨urlimann（2013）中的结果。关于基于分馏快速傅立叶变换（FRFT）的方法，请参见Bailey和Swarztrauber（1991）、Carr和Madan（1999）、Chourdakis（2004）、Hold（2014）、Kim等人（2010）。在这里，我们将更详细地讨论通过使用梯形求积规则对相关CF进行数值反演来评估所需概率密度函数（PDF）和CDF的方法和算法，该规则对于大多数实际情况都非常精确，以及它们的MATLAB实现，即characteristicfunctions工具箱（CF工具箱）。在其他地方建议并实施了更精确的MATLAB算法，用于反演特定CRM中使用的具有选定参数频率和严重性分布的CFs，见Duby et al.（2017）。在本文中，我们主要关注非参数因素，即基于精算风险应用中索赔频率和严重程度的经验CFs，以及用于评估CDF和/或VaR的数值反演的模型。基本的非参数方法自然可以推广到更复杂的半参数建模方法。

例如，通过将参数频率分布与经验严重性分布相结合，和/或通过合并严重性分布重尾的广义帕累托分布。或者，通过考虑参数CFs（用于建模和合并专家知识）和经验CFs（用于包括基于内部和/或外部历史数据的知识）的加权混合。事实上，复合ALD CFs的成分可以用参数或经验CFs和/或它们的加权混合表示。正如我们将在第4节中通过对真实数据示例的分析进行论证和说明的那样，基于经验分布的建议方法与用于建模严重性分布重尾和/或包括专家知识的参数模型相结合，提供了比标准参数建模方法更好的建模灵活性。此外，与其他数值方法（如蒙特卡罗方法或Panjer递归）相比，通过相关CF的数值反演来评估ALD在计算上更高效。本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们将介绍用于建模ALD的特征函数的计算和组合方法。在第三节中，我们介绍了Gil-Pelaez反演及其基于梯形规则的实现。第4节说明了它们的适用性，其中ADLS和VAR是针对实际数据计算的。讨论和总结见第5.2节。ALD特征函数2.1。

参数Cf对于标量RV X，特征函数定义为变换RV eitX的期望值，即cfX（t）=eeitX, （4） 其中i表示i定义的虚单位=√-1和t∈ R是CF的参数。尤其是连续单变量RV X的CF，cfX（t），及其概率分布FX（即X~ FX）及其概率密度函数pdfX（x）表示为其PDF的（逆）傅立叶变换，cfX（t）=Z∞-∞eitxpdfX（x）dx，t∈ R、 （5）注意，由于PDF是一个实函数，因此CF是埃尔米特函数，即cfX(-t） =cfX（t）。许多标准概率分布已知CF的解析表达式，参见Lukacs（1970），或者可以通过使用适当的计算机代数系统（如MATHEMATICA）导出CF。另一方面，如果CF的分析形式未知或过于复杂，因为它依赖于非标准的特殊函数和/或复杂的级数展开（如对数正态分布、对数logistic分布和帕累托分布），则仍然可以直接从其定义（4）或（5）或其他合适的替代表示中对此类CF进行数值评估。例如，通过对正连续随机变量X使用半空间傅里叶积分变换（即，使用X≥ 0）其PDF由分析函数pdfX（z）给出，该函数对于复杂z定义良好∈ C和衰变，我们得到Cfx（t）=Z∞itpdfXixt！e-xdx，t∈ R、 （6）参见Asheim和Huybrechs（2013）。此外，通过使用（0，∞) 到（0，1），CF可以在任意t下进行数值计算∈ R通过使用井壁积分的任何简单（高斯）求积规则，cfX（t）=ZitpdfXitx1- x个!2xe-（x1-x） （1）- x） dx。

（7） 该方法可用于评估表1中列出的几个连续分布的CF。通常，独立随机变量加权和的CF按以下方式计算：设Y=cX+····+cnXnbe独立RVs X的加权和，Xn，带c，C固定n的已知正常数和已知CFs cfX（t），cfXn（t）。然后RV Y的CF，cfY（t），由cfY（t）=cfX（ct）×·····×cfXn（cnt）给出。（8） 由Y=X+···+XN定义的随机卷积的CF，其中，具有公共cfX（t）的Xjare i.i.d.RVs和具有cfN（t）的Nis是一个独立的离散RV，由Cfy（t）=cfN给出- i日志（cfX（t））. （9） 基于力矩生成函数（MGF）和/或概率生成函数（PGF）的等效表达式已在其他地方推导出来，如Kaas et al.（2008）中的方程式（3.7）和/或inShevchenko（2010）中的方程式（7）。因此，（1）和（2）中定义的ALD的CF，即cfS（t）或cfFS（t），由cfS（t）=cfN给出- i日志（cfX（t））, （10） 其中，cfN（t）和cfX（t）表示频率和严重性分布的已知CFs。此外，使用（化合物）投资组合的ALD的方程式（8）CF，如（3）所定义，iscfL（t）=cfS（t）×cfSp（t），（11）其中Cfsi（t）=cfNi- i日志cfXi（t）, （12） 对于Si、Ni和Xi，对于i=1，p、 如（3）所述。最后，加权混合分布的CF，由FY=Pnj=1wjfxj，Pnj=1wj=1定义，iscfY（t）=nXj=1wjcfXj（t），（13）其中cfY（t）表示分布FY的CF，cfXj（t）表示分布FXj的CF，对于j=1，n、 为了便于说明，表1列出了离散和连续单变量分布的选定CFs，这些CFs通常用作总损失分布复合CFs的构建块，如（10）、（11）和（12）所述。2.2。经验CFLet X，Xnare i.i.d.随机变量，具有公共分布函数FX。

经验分布基于随机样本X，Xnis是等权退化Dirac分布的混合分布，集中在X，Xn。因此，观测到的经验特征函数（ECF）是集中在观测值xjof Xj处的Dirac随机变量特征函数的等权混合，即CFxj（t）=eitxj，cf^FX（t）=nnXj=1eitxj给出的CFs的混合。（14） 设^fn表示权利要求n……的观察历史数字（频率）的经验CDF（ECDF），nJ，在每J个历史年份中，其经验CF由CF^FN（t）=JJXj=1eitnj给出。（15） 此外，让^fx表示基于K个观察到的索赔x的历史值（严重性）的ECDF，xK，其ECF由cf^FX（t）=KKXk=1eitxk决定。（16） 表1：常用作ALD复合CFs成分的离散（频率）和连续（严重性）单变量分布的选定特征函数。广义帕累托分布的CF用于建模/拟合其他分布的重尾。

这里，U（a，b，z）表示第二类反超几何函数，定义为复变元z∈ C、 概率分布特征函数DiracDirac（u），u∈ R位置cfn（t）=eituBinomialBino（n，p），n∈ N试验次数，p∈ （0，1）成功概率fn（t）=1.- p+peitn负性二项分布（r，p），r＞0，p∈ （0，1）成功概率fn（t）=pr1.- （1）- p） 企业所得税-rPoissonPois（λ），λ>0 ratecfN（t）=expλ企业所得税- 1.指数alxpo（λ），λ>0比率cfx（t）=λ-itGammaGamm（α，β），α>0形状，β>0速率，标度σ=βcfX（t）=1.-itβ-αLog normalLogN（u，σ），u∈ R位置，σ>0 scalecfX（t），通过方法（5）和/或（7）的组合进行评估，PDfx（z）=zσ√2πe-（对数（z）-u）2σLog logisticLogL（α，β），α>0标度，β>0形状，通过方法（5）和/或（7）组合评估cfX（t），PDFx（z）=βα（zα）β-1.1+（zα）β帕累托I型（欧洲）帕累托（α，σ），α>0形状，σ>0尺度Cfx（t）=αeitσU（1，1- α，-itσ）或cfX（t）=eitσcfX（t），其中cfX（t）通过方法（5）和/或（7）与Pdfx（z）=ασα（σ+z）的组合进行评估-（α+1）帕累托II型（美国，Lomax）ParA（α，σ），α>0形状，σ>0尺度fx（t）=αU（1，1- α，-通过方法（5）和/或（7）的组合评估itσ）或cfX（t），PDFx（z）=ασα（σ+z）-（α+1）广义ParetoGPD（ξ，σ，θ），这里ξ≥ 0形状，σ>0比例，θ≥ 0thresholdcfX（t）=eitθcfX（t），其中cfX（t）通过方法（5）和/或（7）与Pdfx（z）=σ的组合进行评估1+ξzσ-（ξ+1）然后，与（10）类似，集体风险分布的复合经验CF，比如CF^FS（t），iscf^FS（t）=CF^FN- i日志cf^FX（t）=JJXj=1KKXk=1eitxk新泽西州。