存在多重风险的墨西哥利率掉期定价

就隔夜利率而言，我们发现这些利率在货币政策会议日期之间相对恒定。例如，在美元市场，每年有8次会议，由FederalOpen市场委员会（FOMC）召开，会上公布了联邦基金利率的目标范围（最小-最大）。同样，墨西哥银行每年举行8次会议，公布银行间隔夜利率的目标利率。5考虑到隔夜利率（尤其是美联储基金）在一段时间内保持不变的事实，在多曲线框架（存在抵押品的情况下）中对IRS进行定价一些模型适用于捕捉短期货币政策决策。在【Clarke，2010年】中，JustinClarke使用加性季节性调整构建OIS曲线的短期部分。想法很简单，他使用市场OIS报价为OIS定价，期限等于FOMC会议日期，然后在会议之间保持这些利率不变；在一些短期的联邦公开市场委员会会议上，由此产生的远期曲线是不连续的。使用上述SimpleBottrapping对曲线的长期进行校准。还有其他一些模型使用联邦基金期货来捕捉降息或加息的可能性，参见【Robertson等人，1997年】【Kuttner，2001年】和【Labuszewski和Newman，2014年】。然而，出于定价目的，我们可以用与经济观点相对应的概率定义一组特定的货币政策情景。在图5.5中，我们给出了联邦公开市场委员会加息情景的一个示例。2015年5月29日，随着五次2015-FOMC会议的召开，这一情景得到了明确。

该模型的思想是为每个场景定价IRS，然后使用给定的可能性计算期望值。0.00.20.40.60.8日期每日远期利率（%）7月15日9月15日11月15日1月16日3月16日5月16日●●●●●●●●●●●●●0.125%●●0.375%0.625%●●●●●●●●●●●●●0.125%●●0.375%0.625%●OIS每日远期利率FOMC会议平均目标利率示例情景FOMC目标范围（上限）示例情景FOMC目标范围（下限）示例情景图5.5：FOMC会议和OIS远期曲线以及FOMC货币政策情景。在这个图表中，我们展示了当我们执行自举时校准的OIS正向曲线。我们还包括联邦公开市场委员会货币政策决策的情景。5.2.3美元远期曲线的校准在上一节中，我们解释了用于构建美元贴现曲线的方法。我们提醒大家，这条曲线非常重要，因为假设CSA协议是以美元计价的，则以美元计价的每一笔现金流都会用这条曲线进行贴现。在本节中，我们将介绍构建指数前向曲线的方法。我们仅描述如何估算伦敦银行同业拆借利率3m和LIBOR 1m的远期曲线。对于远期指数LIBOR 3m曲线的构建，我们使用普通IRS，对于远期指数LIBOR 1m，我们对短期曲线使用普通IRS，对长期曲线使用TS。

在表中，我们列出了将用于远期曲线校准的到期日和掉期利率。设PV（t）为以美元计价的付款人IRS的现值，该IRS基于伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）3m，在多曲线框架下（有抵押品）到期日为y年的5个IRS定价，hencePV（t）=QyXi=1α（ti-1，ti）Etit（LIBOR3M（ti-1，ti）Pc（t，eti）- kySyXj=1β（sj-1，sj）Pc（t，esj），（5.35），其中：ky：y年到期的普通香草利率掉期的固定利率SQY：y年的季度数SY：y年的学期数STI，eti：浮动利率的息票期（开始日期、结束日期和支付日期），esj：固定航段α（ti）的息票期（开始日期、结束日期和支付日期-1，ti））：浮腿第i个试样的应计系数（ACT/360）β（sj-1，sj））：固定支腿（30/360）Pc的第j张息票的应计系数（t，x）：以USDEtit（LIBOR3M（ti）为抵押的贴现系数-1，ti））：第i张息票的LIBOR 3m远期利率。这种具有上述特征的掉期是美元市场上最普通的IRS。ITEXchange的伦敦银行同业拆借利率为300万欧元，每季度支付一次，而半年度固定利率息票的日数为30/360，主要用于ZF债券。我们说它是最普通的香草，因为它是市场上最标准和流动性最强的掉期。现在，让我们编写Etit（LIBOR3M（ti-1，ti），根据贴现曲线，即Etit（LIBOR3M（ti-1，ti））=τ（ti-1，ti）P3m（t，ti-1） P3m（t，ti）- 1., （5.36）其中τ（ti-1，ti）=τi是确定贴现和曲线构建年份分数的日计数惯例。将方程（5.36）代入（5.35）并求解P3m（t，tQy）产量sp3m（t，tQy）=P3m（t，tQy-1） 1+τikyPSyj=1βjPc（t，esj）-PQy公司-1i=1αiτiP3m（t，ti-1） P3m（t，ti）-1.Pc（t、eti）αiPc（t，etQy）（5.37）该方程允许我们使用简单的自举和插值方法，根据伦敦银行同业拆借利率3m来确定贴现曲线。

方程（5.37）似乎比之前的自举方程更复杂，但迭代过程与OIS-USD曲线或单曲线框架中的过程相同。一旦我们校准了伦敦银行同业拆借利率3m远期曲线，我们就能够构建伦敦银行同业拆借利率1m远期曲线。对于到期日小于（或等于）1年的IRS，我们可以按照LIBOR 3m的方式进行曲线构造。事实上，这些到期日在市场上引用了基于伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）100万的IRS，而普通惯例是：固定期限有年度付款（ACT/360）；飞行航段采用同日计数惯例按月付款。然而，对于超过1年的到期日，我们必须使用在市场上报价的TSs，该市场将LIBOR 100万兑换为LIBOR 300万。让我们给出这两种情况下的自举方程。请注意，当抵押品利率为LIBOR3m指数时，LIBOR 3m的贴现曲线对贴现流量有效。需要提醒的是，对于无抵押交易，贴现曲线通常是基于300万英镑的贴现曲线，即300万英镑（t，x）。5在多曲线框架中对IRS进行定价（有抵押品的情况下），假设我们在100万英镑的基础上签订了付款人短期IRS（200万、300万、400万、…、1200万到期日）。对于这些掉期，固定部分在到期时只有一张息票。

其现值由PV（t）=MXi=1α（ti）给出-1，ti）Etit（LIBOR1M（ti-1，ti）Pc（t，eti）- kMβ（t，tM）Pc（t，etM），（5.38），其中：kM：普通香草IRS的固定利率，M耦合M：IRSti的月数（和飞行段的息票），eti：飞行段的息票期t，tM：IRSα（ti）的开始日期和结束日期-1，ti））：浮动段第i张息票的应计系数（ACT/360）β（t，tM））：固定段息票的应计系数（ACT/360）Pc（t，x）：以USDEtit（LIBOR1M（ti）为抵押的贴现系数-1，ti））：第i张息票的伦敦银行同业拆借利率1m远期利率。注意，通过将方程（5.38）设置为零并求解EtMt（LIBOR1M（tM-1，tM）收益率，EtMt（LIBOR1M（tM-1，tM））=kMβ0，MPc（t，etM）-项目经理-1i=1αIEIT（LIBOR1M（ti-1，ti）Pc（t，eti）αMPc（t，etM）（5.39）现在，对于200万到期日，伦敦银行同业拆借利率100万的远期利率很容易确定，因为方程式的所有右侧都是已知的。利用基于伦敦银行同业拆借利率（LIBOR 1m）的IRS报价在每个月可用的优势，我们可以使用方程（5.39）通过远期替代获得一年内的所有远期伦敦银行同业拆借利率（LIBOR 1m）。现在，对于超过一年的到期日，我们使用市场上报价的TSs。回想一下，美元市场上最受欢迎的TSs是：100万对300万，300万对600万，300万对1200万。由于伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）是最具流动性和交易量的IRS，所有这些利率均与300万英镑进行交易，见表5.2。TSspread应为正值，因此需要在较短的期限段中添加。此外，付款频率由更长的期限决定。在这项工作中，我们只关注伦敦银行同业拆借利率1m与伦敦银行同业拆借利率3m的比较。让PV（t）是将伦敦银行同业拆借利率1m与伦敦银行同业拆借利率3m交换的付款人TS的现值。由于更长的期限为三个月，则双方应按季度支付TS的息票，息票应采用相同的营业日日历和相同的日计数惯例法案/360。

考虑到100万英镑的贷款通常每月支付，我们需要将每月的付款进行复合，并按季度支付。因此，根据第3.2节中的方程式（3.15）-（3.16），我们得出现值由PV（t）=MXi=1α（ti）给出-1，ti）Etit（LIBOR3M（ti-1，ti）Pc（t，eti）-MXi=1α（ti-1，ti）PNij=1β（sj-1，sj）NiYj=11+β（sj-1，sj）Esjt（LIBOR1M（sj-1，sj））+ BM公司Pc（t，eti）（5.40）复利率有多种类型，在普通香草TS中，市场惯例是使用简单价差的复利，即复利，然后应用价差。其他两种常用的价差类型是：1）组合价差，其中价差应用于利率，然后我们组合它们；2） 在平仓复利中，我们在复利之前应用价差，并且在复利时考虑之前息票的利息。参见【ISDA，2009年】。5多曲线框架中的IRS定价（存在抵押品）期限结束日期1m vs 3m vs 3m vs 6m vs 3m vs 2012-2016-06-02-10.5000 8.3750 24.50002Y 2017-06-02-12.1250 7.8750 23.25003Y 2018-06-04-13.1250 7.8750 23.00004Y 2019-06-03-13.5000 7.7500 23.00005Y 2020-06-02-13.7500 7.62506Y 2021-06-02-13.8000 7.8000 22.50007Y 2022-06-02-13.6250 7.8750 22.25008Y 2023-06-02-13.3000 8.100021.87509Y 2024-06-03-12.9000 8.4000 21.625010Y 2025-06-02-12.7550 8.6250 21.375012Y 2027-06-02-12.1000 9.1000 21.250015Y 2030-06-03-11.6250 9.3750 21.500020Y 2035-06-04-11.7500 9.5000 22.000025Y 2040-06-04-11.7000 10.2500 21.750030Y 2045-06-02-12.0000 9.7500 21.62504Y 2055-06-02-12.6010 8.7490 21.375050Y 2065-06-02-13-2020 7.7480 21.124060Y 2075-06-03-13.8020 6.7460 20.8740表5.2：美元期限掉期的超级衍生品市场数据（1mv3m、3mv6m、3mv12m）（见第5.2.3节）。报价为2015年5月29日起的日终价格。

这些引文摘自www.superderivatives。2015年6月21日。式中：BM：TS spreadM：TSNi的季度数：第i季度的月数ti，eti：legst的息票期，tM：TSα（ti）的开始日期和结束日期-1，ti））：TS（ACT/360）β（sj）第i张息票的应计系数-1，sj）：第j个月息票（ACT/360）Pc的应计系数（t，x）：以美元ETIT（LIBOR3M（ti）为抵押的贴现系数-1，ti））：第i季度的伦敦银行同业拆借利率3m远期利率jt（伦敦银行同业拆借利率1m（sj-1，sj））：第j个月的伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）100万远期利率。注意Pnij=1β（sj-1，sj）=α（ti-1，ti），因为月历和季历具有相同的约定。因此，如果我们假设期限差价BMI是一个中等市场报价，那么通过无异议的论证，我们可以得出TS的现值等于零。将方程（5.40）设为零，得到MXi=1αiEtit（LIBOR3M（ti-1，ti）Pc（t，eti）-MXi=1αiαiNiYj=11+βjEsjt（LIBOR1M（sj-1，sj））+ BM公司Pc（t，eti）=0==>MXi=1αiEtit（LIBOR3M（ti-1，ti））-αiNiYj=11+βjEsjt（LIBOR1M（sj-1，sj））- BM公司Pc（t，eti）=0（5.41）该方程将帮助我们获得伦敦银行同业拆借利率1m指数的远期利率。事实上，方程式（5.41）的未知值仅为伦敦银行同业拆借利率1m指数的远期，因为正如我们在之前的5定价IRS中所看到的，在多曲线框架（存在抵押品）小节中，Pc（t，x）值是使用OIS校准的，而伦敦银行同业拆借利率3m指数的远期利率是使用普通IRS校准的。为了再次校准伦敦银行同业拆借利率1m的远期利率，我们将使用插值方法和自举算法。需要提醒的是，我们在这项工作中使用的插值方法是自然三次样条曲线，并应用于屈服曲线。

然后可以方便地将伦敦银行同业拆借利率1m的未知远期利率写在收益率曲线R1m上，因此使用方程（3.9）我们得到了thateit（LIBOR1M（ti-1，ti））=τ（ti-1，ti）P1m（t，ti-1） P1m（t，ti）- 1.(5.42)=τ（ti-1，ti）经验值(-τ（t，ti）R1m（t，ti））exp(-τ（t，ti-1） R1m（t，ti-1） （）- 1.（5.43）在这种情况下，自举很简单，因为在方程（5.41）中，我们可以根据收益率曲线R1m（t，x）和插值算法的系数来替代每个前进速率。因此，我们将得到一个只有一个变量R1m（t，etM）的方程，借助自举或有效的寻根方法，我们得到了伦敦银行同业拆借利率1m指数的收益率曲线。例如，当M=6时，即TS的到期日为18个月，那么在方程式（5.41）中，我们有以下六个未知变量：Esjt（LIBOR1M（sj-1，sj））当sj∈ {t13m、t14m、t15m、t16m、t17m、t18m}。基于屈服曲线R1m遵循自然三次样条曲线条件的假设（见附录C.3），我们得出：1。R1m（t，x）=a+b（x- t） +c（x- t） +d（x- t） 带t12m≤ x个≤ T18和a、b、c、d∈ R2.R1m（t，t12m）=rt12m3。R1m（t，x）∈ CwithdR1mdx（t，t12m）=0，DR1MDX（t，t18m）=0。请注意，RT12M的值是已知的，因为IRS最长可达1年，可以像我们之前所说的那样轻松引导。因此，如果我们确定R1m（t，t18m）的初始值，比如r，那么我们就能够找到a，b，c，d的值，因为我们有以下方程组：a+b（t12m- t） +c（t12m- t） +d（t12m- t） =rt12m（5.44）a+b（t18m- t） +c（t18m- t） +d（t18m- t） =rt18m（5.45）2c+6d（t12m- t） =0（5.46）2c+6d（t18m- t） =0（5.47）由于方程（5.46）和（5.47）定义了c和d的值，因此该方程组的解很容易得到。通过在（5.44）和（5.45）中替换c和d，我们可以得到a和b的值。利用该值，我们可以得到所有x的R1m（t，x）∈ （t，t18m）。

然而，当我们对R1m（t，t18m）进行初步猜测时，我们无法保证方程（5.41）成立，因为我们不确定隐含的远期Esjt（LIBOR1M（sj-1，sj））当sj∈ {t13m、t14m、t15m、t16m、t17m、t18m}从收益率曲线R1m（t，x）函数中，保留我们校准模型的条件和假设。因此，我们获得解决方案所需遵循的过程与我们用于校准OIS-USD曲线的过程相同。事实上，我们将假设隐含远期利率达到17M是正确的远期利率，因此我们只需找到Et18mt（LIBOR1M（t17m，t18m））的值，这使得方程（5.41）等于零。一旦我们得到这个值（借助于方程求根法，见【Burden and Faires，2010】），我们就可以使用方程（5.43）计算R1m（t，t18m）的新值。利用这个零利率，我们建立了一个新的方程组，目的是获得新的a、b、c、d值。最后，我们计算新的隐含远期利率，并迭代该方法，直到收敛到一个解。同样，正如OIS-USD贴现曲线的校准方法一样，我们必须在多曲线框架（存在抵押品的情况下）中对IRS进行定价，以确定收敛规则，从而不允许我们进行独立迭代。因此，我们在迭代过程中包括下一个条件：| R1mi（t，t18m）- R1mi+1（t，t18m）|<ε，ε>0或i>Nmax>0，（5.48）第一个条件保证我们两次迭代之间的零速率R1m（t，t18m）变化非常小，而第二个条件保证我们在最长的时间内迭代。一旦我们给出了TS具有M=6耦合或到期时间为18个月的自举示例，我们就必须引入一种有效的方法来校准曲线，考虑到所有TSs到期时间。

该过程是相同的，但它在所有TSS过程中运行，其思想是更有效地减少迭代次数，而没有提及求解三次样条函数系数的有效方法。让我们介绍校准伦敦银行同业拆借利率1m曲线的步骤：1。找出伦敦银行同业拆借利率100万英镑掉期市场（2个月至1年）的零利率100万兰特（t，x）2。猜测{R1m（t，tN）}的初始值，其中tN是TS引号3的所有到期日。使用插值法（自然三次样条曲线）计算所有第i个息票日（每月）的R1m（t，ti），并得到隐含的远期伦敦银行同业拆借利率1m{Etit（LIBOR1M（ti-1，ti））}4。将这些远期利率插入方程式（5.41）并求解{R1m（t，tN）}5。我们采用这些新的零利率{R1m（t，tN）}，再次应用插值方法并计算新的隐含远期利率6。重复步骤3、4和5，直到满足以下条件：NXj=1 | R1mi（t，tj）- R1mi+1（t，tj）|<ε，ε>0或i>Nmax>0，（5.49）对于插值方法，我们使用附录C.3.5中给出的算法在多曲线框架下对IRS进行定价（有抵押品的情况下）0.51.01.52.02.5成熟度（年）1M远期利率（%）1M 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 6Y 7Y 9Y 10Y 12Y 15Y 20YLIBOR 1M 1M-远期曲线超衍生品伦敦银行同业拆借利率1M 1M-正向曲线图5.6:LIBOR 1m正向曲线：f（t，x）=Ext（LIBOR 1m（x，x+1m））。该曲线为我们提供了任意给定日期x的远期伦敦银行同业拆借利率1m，该利率在时间间隔【x，x+1m】内有效。0.00.51.01.52.02.53.0成熟度（年）贴现系数1M 1Y 2Y 3Y 4Y 5Y 6Y 7Y 8Y 9Y 10Y 12Y 15Y 20YLIBOR 1M收益率超衍生品LIBOR 1M收益率图5.7：LIBOR 1M收益率曲线：R1m（T）=R1m（T，T）。该曲线用于引导伦敦银行同业拆借利率1m远期利率。R1mcurve采用自然三次样条插值方法构建为分段定义函数。