存在多重风险的墨西哥利率掉期定价

回想一下，收益率曲线有助于我们根据Ibor指数利率获得远期利率。5多曲线框架下的利率互换定价（有抵押品的情况下）0.60.70.80.91.0到期日（年）贴现系数1百万年2百万年3百万年5百万年6百万年7百万年9百万年12百万年15百万年20百万年或百万年贴现曲线超级衍生工具伦敦银行同业拆借利率1百万年贴现系数图5.8：伦敦银行同业拆借利率1百万年贴现曲线：P1m（T）=P1m（T，T）。在这项工作中，该曲线不用于贴现现金流，但该曲线有助于我们计算伦敦银行同业拆借利率1m指数的1m远期和瞬时远期曲线，如方程式（5.42）所示。5多曲线框架下的IRS定价（有抵押品的情况下）5.3多币种估值框架我们之前看到抵押品决定贴现率，即以美元为抵押品（现金）的美元掉期使用OIS（联邦基金）曲线进行定价。现在，我们必须回答以下问题：如果掉期以欧元为抵押，该怎么办？日元呢？设V（j）为衍生工具X的价值抵押品账户，以货币（j）表示。抵押品账户的随机过程由DV（j）（s）给出=r（j）（s）- c（j）（s）V（j）（s）ds+a（s）dh（i）（s）·fi→j（s）, （5.50）其中，r（j）（s）和c（j）（s）分别是货币（j）在s时的无风险利率和抵押品利率，h（i）（s）是衍生工具X在T时到期的货币（i）的价值，现金流为h（i）（T），fi→j（s）是时间s的外汇（FX）汇率，代表以货币（j）表示的单位货币（i）的价格。最后，a（s）表示时间s处导数的位置数。要求解（5.50），我们必须将方程乘以eRTsy（j）（η）dη，其中y（j）（s）=r（j）（s）- c（j）（s），我们得到eRTsy（j）（η）dηdV（j）（s）=eRTsy（j）（η）dηy（j）（s）V（j）（s）ds+eRTsy（j）（η）dηa（s）dh（i）（s）·fi→j（s）.

（5.51）然后，通过积分（5.51），我们得到ZTteRTsy（j）（η）dηdV（j）（s）=ZTteRTsy（j）（η）dηy（j）（s）V（j）（s）ds+ZTteRTsy（j）（η）dηa（s）dh（i）（s）·fi→j（s）.（5.52）利用我们得到的部分积分公式，确定u=eRTsy（j）（η）dη和dv=dv（j）（s）-Zvdu（5.53）ZTteRTsy（j）（η）dηdV（j）（s）=eRTsy（j）（η）dηV（j）（s）Tt+ZTtV（j）（s）eRTsy（j）（η）dηy（j）（s）ds。（5.54）然后，使用（5.52）和（5.54）我们得到V（j）（T）=eRTty（j）（η）dηV（j）（T）+ZTteRTsy（j）（η）dηa（s）dh（i）（s）·fi→j（s）. （5.55）如【Fujii等人，2010b】所述，通过采用（V（j）（t）=h（i）（t）·fi指定的交易策略→j（t）a（s）=eRsty（j）（η）dη（5.56）通过替换（5.55）中的交易策略，我们得到V（j）（t）=eRTty（j）（η）dηV（j）（t）+ZTteRTsy（j）（η）dηa（s）dh（i）（s）·fi→j（s）= eRTty（j）（η）dηh（i）（t）·fi→j（t）+ZTteRTsy（j）（η）dη+Rsty（j）（η）dηdh（i）（s）·fi→j（s）= eRTty（j）（η）dηh（i）（t）·fi→j（t）+eRTty（j）（η）dηZTtdh（i）（s）·fi→j（s）= eRTty（j）（η）dηh（i）（t）·fi→j（t）+eRTty（j）（η）dηh（i）（T）·fi→j（T）-h（i）（t）·fi→j（t）= eRTty（j）（η）dηh（i）（T）·fi→j（T）. （5.57）5多曲线框架下的IRS定价（存在抵押品）现在我们有了，h（i）（T）=V（j）（T）fj→i（T）e-RTty（j）（η）dη=V（i）（T）e-RTty（j）（η）dη。（5.58）我们能够使用与货币市场账户B（i）（t）=eRTtr（i）（s）ds相关的风险中性度量EQ（i）计算衍生工具X的h（i）（t）现值，即h（i）（t）=EQ（i）tV（i）（T）B（i）（T）= 等式（i）te-RTtr（i）（s）ds埃尔蒂（j）（s）dsh（i）（T）（5.59）如果我们定义y（i，j）（s）=y（i）（s）- y（j）（s）那么我们可以将h（i）（t）表示为以下h（i）（t）=等式（i）te-RTtr（i）（s）ds埃尔蒂（j）（s）dsh（i）（T）= 等式（i）te-RTtc（i）（s）dsETc（i）te-RTty（i，j）（s）dsh（i）（T）= Pc（i）（t，t）等（i）te-RTty（i，j）（s）dsh（i）（T）, （5.60）其中，Pc（i）（t，t）是货币（i）的抵押零息债券，Tc（i）是相同货币的抵押前度量，其中Pc（i）（t，t）用作数字。

注意，当（i）=（j）时，从（5.60）我们得到h（i）（t）=Pc（i）（t，t）等（i）th（i）（T）这与方程（5.18）一致。在下一小节中，我们将介绍当抵押货币为美元时，以欧元和墨西哥比索计价的IRS之间的定价差异。我们将看到OIS市场的存在简化了曲线构造。5.3.1欧元的情况下，我们已经用美元构建了曲线，因此下一步是用其他货币即欧元构建曲线，但保持相同的抵押品货币（在本例中为美元）。欧元利率市场工具主要以欧元为抵押。在这个市场上，隔夜利率被称为DEONIA（欧元隔夜指数平均值的首字母缩写），基于Eonia的OIS与美元市场上基于联邦基金的OIS具有相同的特征。因此，通过基于Eonia的欧元现金存款和OIS掉期列表，我们能够在现金流以欧元为抵押时，使用简单的自举法构建和校准欧元贴现曲线。事实上，该方法与第5.2.2节中用于构建美元贴现曲线的方法相同。一旦我们有了贴现曲线（以欧元为抵押），我们就可以根据两个主要期限使用欧洲市场的报价：欧元银行同业拆借利率300万欧元和欧元银行同业拆借利率600万欧元；构建两条正向曲线。对于欧元银行同业拆借利率3m曲线，我们使用短期利率（STIR）期货和国债互换（600万对300万），而对于欧元银行同业拆借利率6m，我们使用远期利率协议（FRA）和Vanillairs。备注5.3。与美元市场一样，欧元曲线（Eonia（贴现）EURIBOR 3m（远期）和EURIBOR 6m（远期））可以通过简单的自举逐个构建。订单是折扣，远期6m和远期3m。5在多曲线框架中对IRS进行定价（有抵押品的情况下）现在要构建欧元的贴现曲线，抵押品为美元，反之亦然，我们需要XCSS市场。

回想一下，如第3.2.4节所述，普通的欧元兑美元XCS将伦敦银行同业拆借利率（LIBOR）300万美元兑换成欧元兑300万欧元，再加上额外的利差。在利率市场中，存在两种类型的外汇掉期：cnXCSs（固定名义外汇掉期）和mtmXCSs（按市值计价外汇掉期），见第3.2.4节。在cnXCS中，两个分支的概念均使用交易开始时商定的汇率固定，并保持不变，直至到期，尽管汇率变动。相反，MTMXC在每个息票期开始时重置一段的名义汇率（包括最终的名义汇率），而另一段的名义汇率保持不变。尽管MTMXC以几乎所有货币具有更好的流动性，但在这项工作中，我们将评估，由于USDMXNxCs仍以恒定的名义报价，XCs具有恒定的名义价值。因此，考虑一对货币（i，j）的cnXCS，并假设抵押品以货币j记账。

然后，支腿j的净现值计算为：（假设两支腿的付款日期和息票应计期相同）支腿（j）（t）=N（j）h- Pc（j）（t，et）+Pc（j）（t，etN）+NXk=1β（tk-1，tk）Pc（j）（t，etk）等（j），ktL（j）（tk-1，tk）i、 （5.61）式中：N（j）：j的概念-货币legN：息票数量（塔卡-1，tk）：第k个couponetk的期限：第k个息票或名义兑换β（tk）的支付时间-1，tk）：第k个联轴器的应计系数c（j），ktL（j）（tk-1，tk）: j-第k个耦合的正向参考速率（j）（t，etk）：j-timeetk以j为抵押的货币贴现系数。现在，利用方程（5.60），我们得到了支腿i的净现值为eg（i）（t）=N（i）h- Pc（i）（t，et）等（i），0te-Retty（i，j）（s）ds+ Pc（i）（t，etN）等（i），Nte-RetNty（i，j）（s）ds+NXk=1β（tk-1，tk）Pc（i）（t，etk）等（i），ktL（i）（tk-1，tk）+BNe-Retkty（i，j）（s）dsi、 （5.62）式中：N（i）：i的概念-货币legN:couponsBN的数量：有N张息票（塔卡）的CNXC的基差-1，tk）：第k个couponetk的期限：第k个息票或名义兑换β（tk）的支付时间-1，tk）：第k个耦合的应计系数（i）（t，etk）：i-timeetkETc（i）的货币贴现系数（以i为抵押），ktL（i）（tk-1，tk）e-Retkty（i，j）（s）ds: i-当抵押货币为j时，第k张息票的远期参考利率。自名义金额重置后，也被分类为：可重置的XCS或不可重置的XCS。事实上，这一假设对于普通的vanilla XCS来说是正确的，即两个分支的付款日历都是一致的，但不受天数惯例的限制。5在多曲线框架（存在抵押品的情况下）中对IRS定价时，考虑我们输入付款人cnXCS，即。

我们按照基差BN支付分期付款，因此，CNXCS（i，j）付款人（t）=分期付款（j）（t）给出了合同时间t的净现值（货币j）- 金融机构→j（t，t）支腿（i）（t），（5.63），其中fi→j（t，t）是即期外汇汇率。对于曲线构造，我们可以假设N（j）=1，N（j）=N（i）fi→j（t，t）。此外，由于交易日期和开始日期之间的差异，即- t等于2天，现金存款（隔夜和tom下一个）利率几乎为零，那么我们可以说Pc（j）（t，et）≈ 1和PC（i）（t，et）≈ 最后，我们将假设y（i，j）（·）是一个确定性函数，因此通过设置等式（5.63）等于零收益率，Pc（j）（t，etN）- Pc（i）（t，etN）fi→j（t，et）Py（t，etN）+NXk=1β（tk-1，tk）Pc（j）（t，etk）等（j），NtL（j）（tk-1，tk）- 金融机构→j（t，et）NXk=1β（tk-1，tk）Pc（i）（t，etk）hETc（i），ktL（i）（tk-1，tk）+ BNiPy（t，etk）=0（5.64），其中Py（t，etk）=e-Retkty（i，j）（s）dsk=0，1，注意，当我们假设y（i，j）是一个确定性函数时，我们可以去掉exp(-Retkty（i，j）（s）ds）来自方程式（5.62）的期望。此外，术语SPC（i）（t，etk）Py（t，etk）（5.65）可解释为货币j完全抵押的货币i的贴现因子。因此，方程（5.64）中唯一未知的因子是Py（t，etk）的值。因此，使用市场上显示的所有cnXCSs报价的自举{B（i，j）N}和插值方法，我们可以构建曲线{Py（t，t）}，从而{y（i，j）（t）}。由于这项工作的重点是MXN曲线的构建，因此我们不提供此引导的结果和实施。对于感兴趣的读者，请参见【Fujii等人，2010a】，了解欧元兑美元和美元兑日元汇率的更深入分析。5.3.2 MXN的情况欧元和MXN市场之间的主要区别在于后者不存在OIS。除此之外，IRS和XCS产品均未在MXN中进行抵押。

事实上，它们是以美元为抵押的。然而，考虑到CSA协议的主要货币，我们必须为曲线构建提出一个多曲线框架，限制复制市场报价。根据[MexDer，2014年]的数据，墨西哥的大多数银行都是由外资出资的，它们在墨西哥境外管理账簿和交易台。据估计，他们约80%的市场业务在墨西哥境外或由国际（非墨西哥）银行进行交易。因此，基于TIIE 28d的IRS和XCS（USDMXN）根据CSA协议执行，以美元为抵押货币。正如我们将在第6节中看到的那样，无论是远期曲线还是贴现曲线都无法通过简单的自举获得。事实上，我们将介绍如何确定两步自举法，以构建MXN远期曲线（TIIE 28d作为指数利率）和以美元为抵押的MXN贴现曲线。事实上，这种两步引导的想法很简单；我们知道，以TIIE 28d为基础的普通IRS和以LIBOR 1m加上TIIE 28d利差的普通XCS在多曲线框架（有抵押品的情况下）中有5个定价IRS，具有相同的时间表，即每28天一次的息票，日期约定如下，并且具有相同的到期日（84d、168d、252d等）。然而，即期滞后是不同的，因为在IRS中为一天，而在XCS中为两天；此外，付款日历分别为MX和US-MX。这些差异使我们无法用XCS的MXN浮动支腿代替IRS的固定支腿。然而，如果我们假设这种差异可以忽略，那么我们可以用固定利率段代替MXN浮动段，因此可以通过简单的自举法获得以美元为抵押的MXN段的贴现曲线。

然后立即根据IRS校准远期曲线（TIIE 28d），因为已知以美元为抵押的贴现曲线。此校准再次通过简单的自举进行。重要的是要指出，在第6节中，我们不会假设IRS和XCS中的即期滞后和日历相等，因此，我们必须迭代引导，以收敛于复制市场掉期的解决方案：IRS和XCS。在图5.9中，我们给出了一个流程图，其中列出了欧元和墨西哥货币市场之间的差异，以及美元市场与它们之间的关系，以构建利率曲线。5多曲线框架中的IRS定价（有抵押品的情况下）$USD IRmarket$EUR IRmarket$MXN IRmarketcollateral Agreements in Europeral Agreements in USDPc（EUR）EUR（t，t）隔夜指数掉期（Eonia）利率掉期（EURIBOR 3m andEURIBOR 6m）EURIBOR 3m（t）andEURIBOR 6m（t）隔夜指数掉期（Fed Funds）Pc（USD）USD（t，t）利率掉期（LIBOR 3M和LIBOR 1m）LIBOR 3M（t，t）和LIBOR 1m（t，t）不存在任何Vernight indexswap市场？Pc（USD）MXN（t，t）？利率掉期（TIIE 28d）？TIIE28D（t，t）？MTMXCSEURUSDCNXCSUDMXNSIMPLE Boot STRAPPING多重引导Pc（USD）EUR（t，t）Pc（EUR）USD（t，t）Pc（USD）（MXN）（t，t）TIIE28D（t，t）6不同抵押品货币下的MXN IRS定价6不同抵押品货币下的MXN IRS定价在本节中，我们将介绍三种不同抵押品货币下的MXN IRS估值方法：美元、MXN和欧元。此外，我们还包括在无抵押即无抵押协议的情况下对IRS进行定价的方法。正如我们将在本节中看到的，每条贴现曲线的校准方法是不同的，并且遵循不同的构造参数。

事实上，当抵押品货币为美元时，我们将使用市场上显示的报价通过多曲线引导校准的估值曲线。使用在美元案例中获得的曲线，无抵押和MXN抵押案例遵循市场上常见的简单论点，最后，当抵押货币为欧元时，曲线校准仅遵循无套利市场的价格。6.1美元抵押的MXN贴现曲线和MXN TIIE 28d远期曲线的校准本小节中校准的曲线对应于从市场报价中获得的隐含曲线。回想一下，以MXN货币交易最多的利率衍生品是：1）基于TIIE 28d的普通IRS和2）美元和MXN货币之间的XCS。重要的是要指出，对于这些产品，经纪人和做市商交易屏幕上显示的价格通常与CSA协议下以美元为现金抵押品的价格相对应。在介绍曲线校准方法之前，让我们先介绍有用的公式和符号，我们将在本节中使用这些公式和符号。假设IRSTIIE28D层（t）是普通普通付款人息票IRS的现值，基于TIIE 28d，则IRSTIIE28D层（t）=浮腿（t）- 固定支腿（t），（6.1）带浮腿（t）=NMXNNXi=1α（ti-1，ti）Eetit（TIIE28D（ti-1，ti））Pc（USD）MXN（t，eti），FixedLeg（t）=NMXN·kNXi=1α（ti-1，ti）Pc（USD）MXN（t，eti），（6.2），其中：NMXN：IRSk的名义利率：N息票的固定利率IRS（掉期利率）N：息票数量ti：两种法律的息票期限i：第i息票的支付时间α（ti-1，ti））：第i个耦合项的应计系数（TIIE28D（ti）-1，ti））：第i个couponPc（USD）MXN（t，eti）的远期TIIE 28d利率：timeeti以美元为抵押的MXN贴现系数。备注6.1。在MXN普通香草IRS中，对于所有i=1。

，N，因为付款日期等于息票结束日期。使用MX营业日日历，按照以下约定，每28天确定一次息票日期。现货滞后（开始日期和交易日期之间的差异）为一个开放日，即交易日期后的下一个营业日。备注6.2。能够访问报价或交易屏幕的交易对手通常是做市商，他们不一定拥有以美元计价的CSA协议。事实上，[MexDer，2014年]指出，80%的资金是在墨西哥境外或由拥有非本地资本的外国银行进行交易的。然而，这些交易屏幕价格是根据6定价MXN IRS在不同抵押品货币下调整的参考价格，即交易对手之间的抵押品货币（估值调整称为CollVA，见【Ruiz，2015】）。从方程式（3.22）-（3.23）-（3.24）中，我们得到普通付款人USDMXN cnXCS（兑换伦敦银行同业拆借利率1m加上TIIE 28d的利差）CNXCSUDMxNPayer（t）在时间t的市价（以MXN货币表示）由CNXCSUDMxNPayer（t）=LegMXN（t）给出- fUSD公司→MXN（t）LegUSD（t），（6.3），Legmxn（t）=NMXNh- Pc（USD）MXN（t，es）+Pc（USD）MXN（t，esN）+NXj=1β（sj-1，sj）Eesjt（TIIE28D（sj-1，sj）Pc（美元）MXN（t，esj）i，（6.4）LegUSD（t）=NUSDh- Pc（USD）USD（t，es）+Pc（USD）USD（t，esN）+NXj=1β（sj-1，sj）Eesjt（LIBOR1M（sj-1，sj））+十亿Pc（美元）USD（t，esj）i，（6.5）和fUSD→MXN（t）是时间t的外汇即期汇率。