一种新的从业者模型风险量化方法

每一点p∈ M对应于正态分布p（x，θ），θ=（u，σ）。在由二维空间参数化的单变量正态分布情况下，θ=（u，σ），由2定义的黎曼矩阵由i=【Iij（u，σ）】给出=σσ=0.01 00 0.02.我们将给定模型的模型风险定义为p周围开放社区的规模，该社区包含相互作用模型，从某种意义上讲，这些模型与（缺失的）属性的相关性和模型的局限性并不太大。然后，针对该邻域内的所有模型测量模型风险，作为加权黎曼流形上输出差的适当函数的范数，该流形具有Fisher–Rao度量和Levi–Civita连接。分析包括五个步骤：1。将模型流形嵌入到考虑给定模型p.2中缺失属性的流形中。围绕给定模型选择适当的邻域。3、选择适当的权重函数，为邻域内的不同模型分配相对相关性。4、通过相应的范数计算模型r isk对邻域内所有模型的度量。5、关于模型风险量化具体用途的度量解释。每一步都解决并调整了模型的不同限制以及与模型相关的各个领域中的不确定性。在以下部分中，我们将进一步开发se步骤并描述其背后的直觉。模型周围的邻域回想一下，给定的模型pbelongs到一个n维流形M，其中每个维代表p中继承的不同信息片段。

为了考虑缺失属性、数据和校准周围的不确定性、关于模型局限性的额外信息或潜在假设，我们可能需要将新维度与M相邻，因此，考虑嵌入M的高维空间。在点p处的切线空间TpM的帮助下，确定pwe周围的适当邻域。TpM是一个向量空间，描述了一阶近似、点p处流形上的微小位移或变形。从v视图的实际点来看，并非所有扰动都相关，因此，考虑到模型的预期目的、用途、业务和市场的重要性，我们只考虑切线束的一小部分。让你成为某个普通社区周围的电视台，这样你：={tv∈ 五、 TpM：0<t≤ α（v），v∈ S（p，1）和法向坐标定义为}，其中S（p，1）={v∈ TpM，| | v | |=1}是TpM上的单位球体。邻域U包括模型pup到特定水平α（v）的所有相关扰动的方向。α（v）级取决于切向量，因为我们对pmight的不确定度在正则参数空间上不是常数；例如，我们可以在分布的尾部假设更多的不确定性。我们可以解释α（v）作为控制模型p选择不确定性的一种手段，并且它是基于模型的使用而适当选择的。α（v）级也可能取决于不确定度。Levi–Civita连接将在一个点定义的切向量平行传输到另一个点，并与黎曼度量（[1]）产生的几何体兼容。

此外，对于这种连接选择，最短路径是测地线。或者，在许多其他情况下，无法对未进行适当建模且未达成共识的特性进行充分校准。例如数据、校准、模型选择、模型性能、模型敏感性和场景分析，最重要的是现代数据的使用和校准。由于U是p周围正态邻域的子集，指数映射是很好的定义，我们可以构造一组与p接近的相应模型：U：=表达式（U）={p∈ M:d（p，p）≤ α（v）}，从现在开始，我们需要边界U={α（v）v | v∈ S（p，1）}是连续的和分段正则的。此外，U应为关于P的星形集合，定义如下：定义1。黎曼流形M的一个紧致子集U称为星形，并从p到R∈ U如果p∈ U、 p 6=p存在一个最小测地线γ，γ（0）=pandγ（Tp）=p，使得γ（t）∈ U代表所有∈ [0，Tp]，其中Tp>0。此设置中指数图的一个优点是，我们可以避免校准U侧的不同替代模型。对于每个单位向量v∈ U与点p的边界上存在唯一的测地线连接点。该测地线由t的γ（t）=expp（tv）给出∈ [0，α（v）]。举例说明模型适合预期目的是模型风险分析的关键部分。我们想评估放松对潜在损益分布对称性假设的影响，即不在模型中包含偏差的影响。因此，我们将模型流形M嵌入到斜正态分布的更大流形中，\'M={p（x；u，σ，s）：u∈ R、 σ>0，s∈ R} ，其中s是形状参数（[2]）。注意，对于s=0，我们–获得初始正态分布N（u，σ）。

斜正态分布族考虑了斜态性。在考虑各种时间窗口、数据序列、拟合和估计后，我们确定模型的邻域是连接基本模型的测地线，p=N（2，10）=SN（2，10，0），以及斜态-正态分布，p=SN（u，σ，s），参数u=1.95，σ=9.98，s=2。这两种分布之间的测地距离为d(√p√p） =0.6809。为了形成邻域，我们首先构造与边界点方向相关的扰动切线向量，√p、 使用vp=exp定义的逆指数图-1.√p√p=h0.6809sin（0.6809））√p- c操作系统0.6809)√p它提供了初始模型的一类变化，即在确定整个邻域的方向Vp上移动fr，由U={γ（t）=（exp√p（tvp））；t型∈ 有边界的[0，1]}U={p}和U={p}因此，通过将t从0变为1，可以从ptop追踪测地路径，我们得到了p方向上的一组所有分布。周围的邻域U包含了t在测地e sicγ上的所有分布∈ [0，1]。5、所选模型的权重函数定义变化并非同等重要，它们都可能以不同的概率发生。通过在集合U上放置一个非直线ar权重函数（核），K，我们可以很容易地将相对相关性放置到每个备选模型上，并分配基本假设的可信度，这些假设将使备选模型部分或相对优于标称模型p。核结构的特殊选择取决于各种因素，例如模型的使用，与p的距离，或对不同变化的敏感性。在下面的内容中，我们定义了一个一般的权重函数K，并表明在某些条件下，它是定义良好且唯一的。

一般来说，我们认为K是一个非负的连续函数，它依赖于M的局部几何结构，通过结合与由dv（p）=pdet（I（θ））dθ给出的Fisher-Rao信息度量相关的黎曼体积。体积测量是m（[9]）上唯一的Borel测量。对于坐标系，p的信息密度表示单个模型所拥有的信息量以及相应的参数。例如，一个小的dv（p）意味着模型包含大量的不确定性，需要进行多次观察才能学习。由于影响给定模型突变的潜在因素具有一定的可能性，我们将m内的所有模型视为随机对象。作为一个推论，我们要求K是一个概率密度，对应于热力学体积，即RMKdv（p）=1。此外，我们声明，不存在正确的模型，PWA的选择在某种程度上是一种主观偏好。定义2。定义在M上的容许权函数K满足以下性质：（K1′）K在M（K2′）K上是连续的≥ 0表示所有p∈ M（K3）RMKdv（p）=1为了计算以M为单位的对象的n维体积，可以考虑p处切向空间TpM上的度量张量∈ M、 特别是，M上的Fisher–Rao信息度量I映射了每个p∈ M到体积dv（p），体积dv（p）是一种对称的双线性形式，它进一步定义了任何可测量子图上的n维体积度量 M乘以体积（U）：=RUdv（p）。对于所有可测的U，M上关于黎曼测度的光滑概率密度K导出关于Volζ（U）=ZUdζ=ZUKdv（p）（4）的新的绝对连续概率测度ζ M和ζ（M）=1。

这对（M，ζ）被称为加权流形，或黎曼度量测度，并被证明是黎曼流形的一个非平凡推广（[15]）。定义2的权重函数K代表了伊曼尼亚流形M上概率密度的一般特征。为了调整K以正确分析模型风险，我们需要施加与给定模型周围特定不确定性相关的附加属性。从从业者的角度来看，不属于所选邻域U的模型从模型风险的角度来看并不相关，因此不会增加任何不确定性。因此，我们假设权重函数仅在邻域U上为非负，在其他地方为零。此外，将各种基础假设、数据或校准的变化转化为输出的变化，以及模型的进一步使用将随着变化的方向而变化。因此，我们要求K沿v唯一确定的测地电流γ是连续的∈ S（p，1） TpU开始于，结束于U、 这些附加属性是（K1′）和（K2′）的一个模型：（K1）K沿所有测地线γ连续，从Pf开始，对于S（p，1）（K2）K>0的所有单位向量p∈ U型\\{U} an d K≥ 0p∈ U，K=0p∈ 满足性质（K1）的权函数- （K3）考虑并根据变化的不同方向进行调整，即规定对不同基础因素的不同敏感性。权重函数构造在给定黎曼流形上构造权重函数在技术上是困难的，因为它需要对流形的内部几何和结构有预先的了解。

为了确定满足所有所需特性的权重函数K，并为了克服这一困难，我们引入了一个连续映射，从带有欧几里得几何的歧管到具有保留局部特性的黎曼几何的模型流形。欧几里德几何学是很好理解和直观的，因此在这个空间上构造函数是相当容易和直观的。在to tal中，我们构建了三种映射：指数映射表达式、Polarf（例如数据周围的不确定性）、校准或模型选择。变换P和进一步的坐标变换∧ρ。每个黎曼流形M都是欧氏空间Rn的局部微分同胚，因此在任何点的小邻域中，M的几何体都近似于欧氏空间Rn。相同维数的所有内积空间都是等距的，因此，黎曼流形M上的所有相切空间TpM都是等距于与其正则内积相连的n维欧几里德空间R。因此，所有黎曼流形不仅具有与流形相同的微元结构，而且还具有与黎曼流形s相同的微元结构。权函数是相对于邻域U定义的，并且在连接边界上点的测地曲线γ上是连续的U所有物质扰动，即U内的替代模型，都是通过与通过它们的唯一测地线γ相切的向量，通过距离pand的距离来唯一描述的。为了保持这些性质，我们考虑了一个n维圆柱体Cn=[0，1]×Sn-1={（t，ν）：t∈[0，1]，ν∈ 序号-1} Rn+1，其中参数t表示测地线的归一化距离，其中Sn-1关闭（n-1） –RN上的标注单位球体，包含TpM的所有单位切线向量。

国家的边界Cn={（0，ν）：ν∈ 序号-1} ，则，Cn={（1，ν）：ν∈ 序号-1} ，并表示测地线的端点，即。CND将转换为pandCninto公司U、 Cn上的黎曼结构是由Rn+1中的Eu clidean度量对Cn的限制给出的。因此，Cnis是一个具有乘积测度dt×dν给出的正则测度的紧光滑黎曼流形。该模型要求我们在Cn上构造一个适当的函数，然后得到一个满足所有要求性质（K1）的权函数-（K3）。作为从Cnto M获得映射的第一步，我们考虑从ponto neig hbourhood U点的切线空间得到的指数M ap。由于U是紧凑的，因此在拓扑上是完整的，测地线γ可以定义在整个实线上（[11]）。因此，指数映射在整个切线空间TpM上定义良好。此外，由于U是p的正态n八分之一的子集，指数映射定义了从TpU到U的局部微分同胚。然后，在这些坐标中，通过从原点发出的射线给出测地线γ。例如，权重函数是针对邻域U构建的，在我们的示例中，邻域U表示测地线γ，边界y点和p。我们p参数化γb y t∈ [0，1]，并将一维圆柱体定义为C=[0，1]×S，带边界C={（0，ν）}和C={（1，ν）}，其中S={ν∈ Rn：| |ν| |=ν=1}。leftboundaryC将根据给定的模型和Cto p.权函数的构造简化为区间实线上权函数的构造[0，1]。接下来，我们介绍TpM上的极坐标变换。

为了区别，我们用S（p，1）表示（n-1） –TpM和Sn中的尺寸单位球体-Rn中的单位sphe re:P:[0，∞) ×S（p，1）→ TpM：P（t，v）=tv；P-1： TpM \\{0}→ （0，∞) ×S（p，1）：p-1（v）=||v | |，v | | v||（5） 为了准确描述邻域U，我们将ρ（v）定义为长度d（p，p）≥ 与边界p相连的测地线γ的0∈ v方向上的U∈ S（p，1）。距离ρ被认为是S（p，1）上的一个重值函数，严格为正，S（p，1）上的Lipschitz连续S。我们现在定义了坐标转换∧ρ：（t，v）7→ρ（v）t，v.映射序号-1.→ S（p，1），ν7→ v在单位向量ν之间存在一个规范识别的意义上得到了很好的定义∈ 序号-1. R和元素v∈ S（p，1） TpM。距离v 7后→ ρ（v）在S（p，1）上是严格正的Lipschitz连续的，逆v 7也是严格正的→ρ（v）。因此，映射pin g∧ρ定义了[0，1]×Sn的双李氏映射-1到子集[0，ρ（v）]×S（p，1）。因此，composition exppP∧ρ定义了从CNO到U的映射CNO到点{p}和右侧边界U此外，它保留了满足以下一致性条件的任何连续函数的连续性：定义3。当h（t，ν）=∧时，在映射exppP∧ρ下，定义在圆柱体Cn上的连续函数h与连续函数f onU一致-1ρf-1（t，ν）表示所有（t，ν）∈ 中国。在这种情况下，h满足以下条件：（i）h（0，ν）=h（0，ν）ν、 ν∈ 序号-1（ii）h（1，ν）=h（1，ν），如果M上的exppP∧ρ（1，ν）=exppP∧ρ（1，ν），则第一个条件n（i）表示h在边界上是常数中国。当Cn上的函数h与f一致时，在Cn与值f（p）精确对应。第二个条件确保函数h与函数f在边界点处的兼容性U、 即。

如果exppP∧ρ将cno中的两个不同点（1，ν）和（1，ν）映射到同一点p上∈ U、 然后h（1，ν）=h（1，ν）=f（p）。引理1。满足假设（K1）的权函数K的存在性- （K3）等价于假设Cn上定义的一致函数h（t，ν）的存在，其余域满足以下性质：（H1）h（t，ν）是紧流形Cn（H2）h（t，ν）上的连续函数≥ 0，（t，ν）∈ [0，1）×序号-1（H3）h（1，ν）=所有ν的κ（ν）∈ 序号-其中，κ是ν（H4）h（0，ν）=h（0，ν）=常数的非负函数。对于所有ν，ν∈ 序号-1（H5）RCnh（t，ν）dν=1，其中dν=dt×du参见附录中的证明。使用此结果，we-ight函数的构造变得更简单、更直观。根据特定模型及其周围的不确定性，选择合适的函数。然后，将上述变换应用于e，得到了一个适当的权重函数K，该函数定义为使用属性（K1）-（K3）与模型风险分析相关。此外，对于所选函数h，权重函数K是唯一的，定义良好。定理4。在满足条件（H1）的条件下定义的连续函数- （H5），确定满足（K1）的唯一且充分定义的权重函数K-（K3）在U上给定b yK（p，t）=ηp（p）t1-nρ（v）-nhtρ（v），v！（6） 式中，ηp（p）是相对于p的体积密度，v是切向量，t∈ [0，ρ（v）]是一个标度参数，ρ（v）是上面定义的距离函数。示例根据我们的示例，我们构造了一个适当的权重函数，该函数可以根据VaRmodel周围的不确定性进行调整。我们在前一节中已经看到，基本过程表明与正态分布的偏差很小，并表示负偏斜。