一种新的从业者模型风险量化方法

因此，为了确定w e ight函数，我们构造了一个连续函数H，该函数在表示给定n模型p的点处具有最大值，并且是单调的——随距离F m p递减。这种选择意味着我们更关心模型对周围小变化的敏感性。我们将[0，1]中的h定义为以下h（t）=c1.- t型, t型∈ [0，1]其中，归一化常数c确保了假设（H5）和等式toΓnπ-第2页。注意，由于我们只有一个切向量ν，h仅依赖于参数t。通过应用连续映射exppP∧ρ，我们获得沿测地线γ的权函数K：K（p，t）=ηp（p）d（p，p）-1Γπ-1月21日-td（p，p））！=1.471.- 1.47吨7、模型风险度量在本节中，我们将介绍模型风险量化的主题定义，将其与迄今为止引入的概念联系起来，并研究一些实际应用。回想一下，到目前为止，我们主要关注加权黎曼流形（M，I，ζ），其中I为Fisher-Rao度量，ζ为等式4。前几节中的模型假设为某种分布p∈ M、 更有可能的是，实践者将模型定义为某种映射f:M→ R带p 7→ f（p），即模型输出一些量。我们将正式引入赋范空间（F，k·k），例如∈ F、 虽然在这个信息阶段并不是严格必要的，但我们应该假设（F，k·k）是一个Banach空间。定义5。利用上述符号a s，设（F，k·k）是关于ζ的可测函数的Banach空间。f的模型风险Z∈ F和dπ由z（F，p）=kf给出-f（p）k.（7）注意，度量值表示标准距离。所有结果都受到模型本身中使用的假设的约束，因此，模型风险与输出的变化有关，同时放松它们。

因此，相关的模型风险是两个模型之间的差异，而不是一个模型与事实真相之间的假设差异。模型风险本身的量化可被视为一个具有准备金计算或建模方法比较等目的的模型。可能性是无限的，所以我们可以从一些T:F开始→ F和setZ（F，p）=kTo fk；然而，我们认为等式7对于我们目前的目的来说已经足够普遍了。在下面的内容中，我们将讨论Def的四个示例。5、其适用性在很大程度上取决于量化目的的其他因素，如下所示。1.Z（f，p）表示f∈ L（M）表示所有相关模型输出的总相对变化：Z（f，p）=kf- f（p）k=ZMf-f（p）dζ2。Z（f，p）表示f∈ L（M）更重视输出的大变化（大变小）。它允许与一些校准过程保持一致，例如最大似然或最小二乘算法：Z（f，p）=kf-f（p）k=ZM公司f-f（p）dζ1/2的体积（n- 1） –尺寸球S（0，1）为2π1/2Γ. 因此，我们有1=cZ【0,1】×Sn-1.1.- t型dt×du=> c=Γnπ-π/2情况并非总是如此，但我们可以根据量化本身的用途沿着这些路线前进。例如，波动率面上的内部（额外）极化方法是一个模型，其输出是另一个波动率面，而不是一个数字。如果我们想量化百慕大人特定方法的模型风险，我们可能会考虑其对其定价的影响。例如，另一种可能性是使用f） f（p）或f-f（p）f（p）. 这些函数形式将允许我们获得一个无量纲数，这可能是一个理想的性质。3.

Z∞（f，p）表示f∈ L∞（M） 找出与p:Z相关的相对最坏情况误差∞（f，p）=kf- f（p）k∞= e ss supMf-f（p）此外，它可以指出最大偏差的来源：使用exp-1我们可以检测到潜在假设中相应的变化方向和大小。4.Zs，p（f，p）表示f∈ Ws，p（M）是一个Sobolev范数，当f不仅相关而且其变化率为Zs，p（f，p）=kf时，它在这些情况下可能是有用的- f（p）ks，p=X | k|≤sZM公司kf-f（p）pdζ！1/P用于模型风险量化的pSound方法至少应考虑用于构建模型的数据、模型基础、IT基础设施、总体性能、模型敏感性、场景分析，以及最重要的使用情况。在我们的框架内，我们添加了ress，并测量了与上述ar EA相关的不确定性以及模型中包含的信息。给定模型的嵌入和适当邻域的选择考虑了基础假设、数据和模型基础的知识和不确定性。赋予邻里内不同模型相对相关性的权重函数考虑了模型敏感性、情景分析、与决策相关的结果的重要性、业务、预期目的，并解决了模型基础的不确定性问题。此外，规范的每个特定选择都提供了模型的不同信息。最后也是最重要的一点，模型风险度量考虑了映射f.8表示的模型的使用。结论和进一步研究在本文中，我们介绍了使用微分几何和信息论对模型风险进行量化的一般框架。

我们还使用加权黎曼流形上的Banach空间对模型风险进行了严格的数学定义，适用于以统计学为起点的大多数建模技术。我们提出的数学定义在某种程度上是全面的，有两种完整的方式。首先，它能够处理模型风险管理的相关方面，如模型使用、性能、数学基础、模型校准或数据。其次，它有潜力评估金融机构目前使用的许多数学方法：信用风险、市场风险、衍生品定价和对冲、运营风险或XVA（估值调整）。值得注意的是，据我们所知，文献中的方法es在以下两个方面都很特殊：它们考虑非常特殊的数学技术，通常非常关注模型风险管理的选定方面。有许多进一步研究的方向，我们发现所有这些都具有理论和实际意义。最后，我们将仅列举其中的几个：巴拿赫空间是众所周知的，并且在函数分析等领域进行了深入研究。另一方面，weig-hted黎曼流形是黎曼流形的非平凡扩展，黎曼流形是微分几何的组成部分之一。对加权黎曼流形上的Banach空间的研究将拓宽我们对这些空间的性质及其在模型风险量化中的应用的理解。我们的框架可以通过研究样本上定义的扰动和度量来包含数据不确定性，然后通过校准过程将其传输到加权黎曼流形。通用方法可以根据具体风险和方法进行调整，使其更加有效。

例如，可以将衍生品定价的局部波动率模型解释为分布族中certa的隐含定义，扩展Black–Scholes随机微分方程（这将是定义对数正态族的一种方法）。与上一段相关，尽管有关于该主题的文献，但Fisher-Rao度量本身的计算值得进一步的数值研究，以得出更有效的算法。例如，衍生品模型不仅用于定价，还用于对冲。或者通过任何可能的变换T:F→ F、 9。附录在附录中，我们给出了引理1和定理4的证明。引理1的证明。为了证明等价性，我们需要证明在引理中定义的函数h？？在连续映射exppP∧ρ下保持K的必要性质。首先，我们证明了由三个不同映射组成的组合是明确的。作为第一步，我们定义一个n维圆柱体CN：=[0，1]×Sn-1={（t，ν）：t∈ [0，1]，ν∈ 序号-1} Rn+1，其中Sn-1： ={ν∈ Rn：| |ν| |=ν+····+νn=1}表示（n- 1)-在Rn中标注l单位球体。圆柱Cn是Rn+1有边界的可微子流形Cn：={（0，ν）：ν∈ 序号-1} ，则，Cn：={（1，ν）：ν∈ 序号-1} 通过Rn+1中的欧氏度量对Cn的限制，给出了Cn上的黎曼结构。因此，Cn是一个紧黎曼函数。

Cn上的标准度量由产品度量dt×du（ν）给出，其中u表示Sn上的标准表面度量-1、我们将ρ（v）定义为长度d（p，p）≥ 点p与边界点p相连的测地线γ的0∈ U方向v∈ S（p，1），其中S（p，1）表示（n-1)-切线空间TpM中的标注单位球体。注意，由于U是关于p的正规邻域的子集，指数映射是等距的。从现在开始，我们假设U是黎曼流形M的一个紧星形子集，距离函数ρ是S（p，1）上的Lipschitz连续 TpM。ρ（v）的Lipschitz连续性等价于U现在，我们定义了-CnbyCn的维数子集ρ：={（t，v）：t∈ [0，ρ（v）]，v∈ 序号-1} [0，1]×序号-1带边界Cnρ：={（0，v）：v∈ 序号-1} ，则，Cnρ：={（ρ（v），v）：v∈ 序号-1} 新的集合Cnρ是Cn的一个紧子集。为了将CNO映射到Cnρ，我们定义了以下坐标变换：∧ρ：Cn→ Cnρ，（t，v）→ρ（v）t，v.由于距离函数v 7→ ρ（v）在S（p，1）上严格为正且Lipschitz连续，因此它是反函数v 7→ρ（v）。因此，映射∧ρ定义了从CNO到Cnρ的bi–L ipschitz映射。Cn上几乎所有地方的雅可比矩阵∧ρ等于ρ。接下来，我们考虑由方程式5定义的极性变换P，其由TpM中的连续性很好地定义，并将Cnρ映射到U TpM。此外，变换定义了与Cnρ不同的同胚性\\{Cnρ，Cnρ}到开集U \\{0，U} 。将P与指数映射exp相结合，我们得到了exppp（Cnρ）=u的复合表达式o定义Cnρ的微分同胚性\\{Cnρ，Cnρ}到U \\{p，U} 。此外，边界Cnρ被映射到{p}和边界上Cnρ在边界上U

然后点（t，v）∈ Cnρ在Rn上诱导测地极坐标。当p∈ U，边界Cnρ映射到我们引入了三个映射Cn∧ρ--→ CnρP-→ Uexpp---→ U m合成exppP∧ρ是从CNO到U的连续映射。此外，exppP∧ρ映射了边界yC气缸C到达点和边界Cnonto公司U现在我们证明了在一致函数满足的性质（H1）下-（H5）唯一确定满足（K1）的权重函数- （K3）：o显而易见，属性（K1）-（K2）满足施工要求。合成exppP∧ρ保持连通性和紧性，它是从Cnonto到M的连续映射。此外，exppP∧ρ映射左侧边界C到点和右侧边界CNO到U的边界。因此，M上的连续函数f的图像f（expp（ρ（v）tv））在圆柱体Cn上也是连续的，并且每个函数g在满足一致性属性（i）的Cn上定义-（ii）Def。3是M上拉回算子∧下连续函数的图像-1ρP-1exp-1便士。应用于在Cn上连续且满足一致性条件（i）的函数h的成分exppP∧ρ- （ii）Def。3将给出M上的连续函数K，通过构造，该函数沿测地线从pand开始，到边界y的点为止是连续的。这意味着，性质（K1）是满足的。相同的公式适用于Cn上的任何非负函数h。因此，属性（H1）- （H2）确保（K1）- （K2）在成分expp0P∧ρ（v）下此外，还需要证明权重函数K确实是M上相对于测量值dv（p）的概率密度，即rmdζ=1。ZMdζ=ZMK（p，t）dv（p）=ZTpMK（expp（v），t）η（v）dξ，其中dξ是欧氏空间TpM上的标准勒贝格测度，ηp（v）=det（（d expp）v）是指数映射的雅可比行列式。

注意，η（v）表示密度函数，密度函数是U上的正连续可微函数 TpM和η的零点位于M的边界。此外，我们有ztpmk（expp（v），t）η（v）dξ=ZS（p，1）Zρ（v）tn-1K（expp（tv），t）ηp（tv）dtdu（v），其中tn-1是极坐标变换的雅可比行列式，du（v）是单位球面S（p，1）上的标准黎曼测度。最后一步是从Cρ到Cn:ZS（p，1）Zρ（v）tn的映射-1K（expp（tv））ηp（tv）dtdu（v）=ZSn-1Zρ（v）Kexpp（ρ（v）tv）ρ（v）tn-1ηp（ρ（v）tv）dtdu（v），其中雅可比常数为ρ（v）。然后使用K的表达式，我们得到上面的表达式等于：ZSn-1Zρ（v）ηp（ρ（v）tv）t1-nρ（v）-nhtρ（v），v！ρ（v）tn-1ηp（ρ（v）tv）dtdu（v）=ZSn-1Zhtρ（v），v！dtdu（v）=1定理4的证明。注意，成分exppP∧ρ引起可积函数f的变量变化，其产生以下公式：ZMf（p）dζ=ZUf（p）dζ=ZUf（expp（v））ηp（v）dv=ZS（p，1）Zρ（v）f（expp（tv））t1-nηp（t，v）dtdv=ZSn-1Zf（expp（ρ（ν）ν））ρ（ν）ηp（tρ（ν），ν）dtdν体积密度ηpis a我们定义了非负函数，在点p的切割轨迹上有零。此外，ηpis是M上的连续可微函数。距离函数ρ是S（p，1）上定义良好的严格正Lipschitz连续函数，因此是逆1/ρ（v）。因此，映射∧ρ定义了从Cnto Cnρ的双李氏映射。此外，成分表示与CNρ不同的同胚性{Cnρ，Cnρ}。利用点集{p}与tν子集的边界-测度为零，我们可以得出映射exppP∧ρ是同构的结论。然后，对于满足条件（i）的条件下定义的任何h-（ii）Def。3、相关weig-ht函数K在U上定义良好。在指定满足性质（H1）的函数h后，K的唯一性出现- （H5）。

注意，当M是Rnwith正则度量时，则ηp（p）=1表示所有p∈ 注册护士。参考文献[1]Amar i、S-i、OE Barndorff Nielsen、RE Kass、SL Lauritzen和CR Rao（1987），“统计参考中的差异几何”课堂讲稿专著系列，i–240。[2] Azzalini，Adelchi（1985），“一类包含正态分布的分布。”斯堪的纳维亚统计杂志，171–178。[3] Boucher、Christophe M、Jón Daníelsson、Patrick S Kouontcho u和Bertrand B Maillet（2014），“风险模型风险”《银行与金融杂志》，44，72–92。[4] Branger、Nicole和Christian Schlag（2004），“模型风险：风险度量和对冲的概念框架。”在EFMA 2004年巴塞尔会议文件中。[5] Chavel，Isaac（2006），《黎曼几何：现代导论》，第98卷。剑桥大学出版社。[6] Christod oulakis、George和Stephen Satchell（2008），“信用风险模型验证方法的有效性。”风险模式l验证分析，27–44。[7] Cont，Rama（2006），“模型不确定性及其对衍生工具定价的影响。”MathematicalFinance，16519-547。[8] Feder al Reserve（SR 11–7）（2011），“mod e l风险管理监管指南”联邦储备系统理事会，货币主计长办公室，SR Letter，11-7。[9] 费德·埃尔赫伯特（2014），《几何测度理论》。斯普林格。[10] Gib son，Rajna（2000年），《模型风险：成本、校准和定价》。风险账簿。[11] 霍普夫，H。和W.Rinow（1931），“vollstandigen DifferenticationGeometricschen fleach en的初始阶段。”你好。

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