银行作为银行：金融清算的连续时间模型

引入第二种不同于Kusnetsov和Veraart（2019）的假设可能是合理的，即“根据破产规则进行清算的银行不再存在，即使清算人收回足够的资产以充分补偿所有债权人，也无法收回。”具体而言，可以要求所有“短期破产”的银行必须从外部银行借入固定利息的资金，以支付短期债务，前提是他们从其他银行的长期债务将允许他们在长期内避免破产。这将允许我们将分析扩展到具有多重成熟度的环境。7.3清除方程作为Bellman最优性方程在我们的连续时间模型中，我们使用马尔可夫链的数学技术来分析确定性动力系统中解的多重性。事实上，艾森伯格和诺伊问题与马尔可夫链理论中的一些经典问题之间有着更深层的关系。清除方程（1）与许多使用Bellman优化的应用程序中使用的非线性方程v=max（c+Qv，b），（14）非常相似。大多数线性模型，例如具有额外约束的lontief闭合和开放模型将满足（14）。考虑具有转移矩阵Q的马尔可夫链的最优停止的经典问题，其中观察链的决策者在每个时刻都有两个选择，要么继续，要么停止（Puterman，2014）。在这种情况下，Bellman（最优性）原则采用方程（14）的形式，其中向量v=（vi）是值函数，即，如果马尔可夫链从状态i开始，则v是所有可能停止时间内的最大可能预期回报，c=（c，…，cn）是由状态i中的当前回报Ci组成的向量，b=（b，…，bn）是终端回报向量，其中，BI是马尔可夫链在状态i停止时的最终报酬。

请注意，在Bellman方程中，取最大值而不是最小值，并使用直矩阵Q而不是转换矩阵。Sonin（1999，2006）提出了一种简单的递归算法，即状态消除算法，用于求解Bellman方程（14），并对其进行了修改，以计算Sonin（2008）中的经典和广义Gittins指数。Kabanov、Mokbel和El-Bitar（2018）讨论了theEisenberg和Noe基本方程（1）与（14）定义的最优停止问题之间的关系。8结论在本文中，我们建立了金融网络清算的连续时间模型。该方法为Eisenberg和Noe（2001）提出的经典静态财务清算模型提供了直观、简单的递归解决方案。同样的方法为解决涉及线性系统和最大-最小操作的非线性方程提供了有用的工具，类似于马尔可夫链最优停止的Bellman方程和其他优化问题。允许财政拮据的银行在没有任何流动性注入或担保的情况下以最大可用速度偿还债务，将产生一个巨大的支付向量。我们的结果表明，至少在理论上，如果同时支付的解决机制设置正确，那么在财务困境的情况下，就不需要进行详细的监管。另一方面，我们的模型提供了一个方便的工具来研究中央机构的最优策略，以最小化一些银行倒闭引发的潜在传染效应。最后，我们的方法允许将瞬间“拉伸”到有限的时间间隔，从而在财务困难时解决同时或几乎同时支付的问题。参考Acemoglu、Daron、Asuman Ozdaglar和Alireza Tahbaz Salehi。2015

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我们知道，通常J（t）组在时间上是变化的，可以增加、减少、变为空集并再次出现。当k=1，ui=1时，对于所有i，正如我们在第4.2小节中所解释的，在组J第一次出现时，该组成员J的出局率值，vj=uj<1。假设此语句在状态间隔上为truek、 k>0。和前面一样，我们跳过进一步的指示到k，表示ui，k=ui，k=, Tk=T，Tk+1=T。我们表示状态更改之前的其他向量、坐标、分区元素和矩阵，即在区间上k、 当J=J0时，变化后的值为J=J0，k+1等。我们表示区间上平衡方程的解kas（vi）和间隔k+1as（wi）。因此，我们的归纳陈述是0<vi<1，i∈ J、 我们的目标是证明vi≥ wifor all i公司∈ J、 当br（T）=0或cr（T）=0时，在Tk=T时刻发生状态变化，其中∈ J+∪ J、 如果br（T）=0表示r∈ J+，这意味着零组保持不变，但如果银行r是零组的发起人，则前一个输入向量（ei）可以减少。然后根据引理5.1的（c）点，平衡方程的新解只能严格减少。更困难的情况是r的cr（T）=0∈ J+和whenbr（T）=0表示r∈ J、 在第一种情况下，J=J∪ r、 如果| J |=m，新系统有m+1个变量，值ur=1变为（额外未知）值wr。在第二种情况下，新的平衡系统只有m- 1变量。我们只证明了第一个病例，第二个病例可以以类似的方式处理。对于包括第一种情况在内的以下情况，我们考虑更一般（稍微）的陈述：假设我们有两个分区：初始P=（J+，J，J*), 使得正组有一个子集lw，ni<1，i∈ L和新分区P=（J+=J+\\L，J=J∪ 五十、 J*).引理A1.1。

在上述假设下，设vi=nibe分区P的平衡系统解，wi=nibe分区P的平衡系统解。然后vi≥ wifor all i公司∈ J、 和ni≥ nifor all i.启发式证明如下。当L中的银行被归类为正值时，其出超率等于1，即最大可能出超率；当它们作为零组的成员包含时，零组的输入向量会减少，并且由于所有义务都是相同的，因此，新零组中的输入率（输出率）会降低。那么所有的纽因利率都更低。严格证明的技术难点在于，我们必须比较两个大小不同的平衡系统的解。只有当| L |=1时，才有必要考虑这种情况。设L={r}，nr<1。证据J=J的wi平衡系统（7）∪ r、 iswi=ei+Xj∈Jwjqji+wrqri，i∈ J、 wr=er+Xj∈Jwjqjr，（A1），其中ei=Pj∈（J+\\r）qji=Pj∈J+qji- qri=ei- Q和er=Pj∈J+qjr=er。vi、i系统∈ Jis：vi=ei+Pj∈Jvjqji。我们可以重写此系统，使其类似于（A1），使用人工变量vr=1，等式ei=ei- qriand er=年代：vi=ei+Xj∈Jvjqji+vrqri，i∈ J1=vr=er+ar+Xj∈Jvjqjr，（A2），其中ar=1- （er+Pj∈Jvjqjr）。我们知道这个系统有一个解vi<1，i∈J、 vr=1。现在我们要比较系统（A1）和（A2）的解，以显示vi≥ wi，i∈ （J）∪ r） 和wr<1。要使用引理5.1的点（c），我们只需要显示ar≡ 1.- （Pj∈J+qjr+Pj∈Jvjqjr）>0。我们假设nr=nr（T-) < 1、丁腈橡胶（T-) =Pj公司∈J+qjr+Pj∈Jvjqjr=1- ar<1，因此ar>0。然后，利用引理5.1的点（c），我们得到了vi≥ wifor all i公司∈ Jand表示1>wr，即所有i的wi<1∈ J

由于正组中的输出率保持不变，而新零组（包括新成员r）中的输出率较低，则全入率较低。第二种情况，当br（T）=0时，r∈ J、 而新的平衡系统只有较小的变量可以得到类似的证明。因此，我们证明了定理1的（b）部分，或者等价地证明了输入速率和输出速率的单调性。A2大爆炸效应如果此时集合J（0）不为空，则初始时刻t=0是例外情况。原因如下。如果在时间t=0时，所有银行都有正现金，然后ui（t）=1，对于所有银行，在某个区间[0，t]，其中时刻是其中一家银行偿还债务或其现金头寸达到零水平的第一个时刻。之后，我们可以应用单调性属性，即（b）部分定理1。然而，如果在timezero有一些零银行，那么非正式地说，就会出现第二十二条军规。如果某些零银行的输入利率超过一，则在t=0时，应将其归类为正。这意味着在“零点后的下一刻”，它们立即变为正值。等价地，对于这些银行，余额率di（0）>0，或等价地ci（t）t=0>0。按钮通过解方程（7）找到所有银行的输入利率，我们需要知道哪些银行为正，哪些银行为零。在某些情况下，例如在我们的示例1中，只有一家银行的初始现金等于零，并且输入利率不止一个，很容易将这家银行重新归类为正。如果有两个或两个以上的零银行，那么重新分类就不那么容易了。规避此问题的一种方法如下。假设所有零组在零动量之前收到一个小的正值ε，然后在小的“探测”时间间隔内= [0，tm），具有ε阶长度，我们在第4小节中分析了一个常规情况。

然后在这段时间内，每个最初为零的银行都将“揭示”其真实状态：“真正为零”的银行的现金价值，其余额率di（t）为负值，很快在一系列收盘时刻达到零水平。。。，tm，m可能等于零。“真正积极”的银行将在小区间（0，tm）保持积极，并至少在更遥远的时刻保持积极。这意味着在很短的时间间隔内，我们可能有时刻t，t。。。，tmof faststatus会发生变化，在天猫，真实的状态会显示出来。