银行作为银行：金融清算的连续时间模型

让我们选择这些分数作为这三家银行的出清利率Ui。根据π的定义，我们得到ui=ni，i=1，2，3，因此ci（t）=ci，i=1，2，3表示所有t>0。然后每隔一段时间 = [0，t）我们有bi（t）=bi- uit，i=1，2，3。然后在T=7的时刻，我们得到b（T）=b- uT=0，b（T）=b- uT=>0，b（T）=b- uT=>0。我们得到了清除向量p=p（T）=, 3.以及未偿还债务的载体, 0，. 1号银行和3号银行分别对2号银行和的剩余债务不可偿还，但其相互剩余债务（分别为和）可以取消。最终，银行2不欠银行3任何款项，银行3欠银行2的金额为。模型无法进一步重组。5.3沼泽当遍历集B中的所有银行都有零现金时，会引起沼泽的重要注意，通常情况下会导致clearingequation解的非唯一性。形式上，我们说沼泽B是在t=0时拥有零现金或负现金的银行的遍历子类。下一个引理5.3从马尔可夫链状态的角度描述了银行的演变。状态变化的不可逆转性伴随着状态变化的不可逆转性。（如上所述，我们假设一次只能有一家银行更改其状态。）第（c）点正式确定沼泽可能在最初存在，但不会在以后出现。回想一下，A+是参与基本流动（常规情况）的银行，A是指在最初时刻没有正现金，也没有来自外部的正投入的银行。他们可能对A+和J中的银行负有债务*（0），但反之亦然。引理5.3。

作为马尔可夫链状态的银行，唯一可能的进化是：（a）缴足款项的银行总是在吸收，向这种状态的过渡是不可逆转的；（b） 正银行和A+中的零银行可能是遍历的或暂时的；由于遍历性，它们可能会变得短暂或吸收，因为短暂，它们可能只会吸收；（c） 阿玛的零银行可能是暂时的或遍历的；如果是瞬态的，则它们总是瞬态和非活动的，即对于它们来说，ui（t）≡ 所有t均为0；如果存在遍历子类，则其成员只能在不变的输出速率下活动，直到其中一个变为吸收，然后所有其他成员变为瞬态和非活动。因此，沼泽可能从一开始就存在，但不会在以后出现。证据（a）部分很简单。正银行可能是遍历的或暂时的。随着遍历或瞬态银行的状态变为已付清，其状态变得吸收。遍历子集中的所有其他状态都变为瞬态，因为现在它们连接到吸收状态。如果A+中的零银行是暂时的，则其出局率为正，因此它可能成为吸收状态或保持暂时状态，直到结束，这意味着该银行将以违约告终。这证明了（b）。如果B是从a开始的所有瞬态组的集合，对于所有力矩t，输入向量eB=0，根据引理5.1的（a）部分，平衡速率的唯一解为零，因此它们永远不起作用。如果B是A中的遍历子类，那么唯一可能的输出速率ai，i∈ B、 byLemma 5.2，必须与不变输出率πi成比例，其中πiis是QB的不变分布。只有这些输出率才能保持ci（t）≡ 每隔一段时间。

当采用可变的出局率π时，在某个区间[0，T]，所有债务将减少到bi级- πiT≥ 0，只有一个组j，bj（T）=0，所有其他bi（T）>0。此时，T银行j将其状态更改为“已缴清”，其状态变为“吸收”。然后，B中的所有其他银行都变为暂时性银行，并变为非活动银行。因此，所有的过渡银行永远都有能力偿还债务，但每个遍历子类中的银行都有能力重组和减少彼此之间的债务。这证明了（c）。现在我们有了所有的东西来完成定理2的证明。定理2的证明。第（a）部分来自定理1和pi=0的事实∈ A明显满足清算方程（1）。引理5.3的（a）部分后面是（b）部分。第（c）部分来自引理5.3和5.2，并且如果它们的不可约子类的数目k大于1，则它们有一个空交集，因此这些解的系数为0的任何线性组合≤ sk公司≤ 1也是坐标为p的（1）的解*我≤ 比福尔一世∈ B和p*i=0表示i/∈ B、 6级联定理和级联算法在介绍该模型时，我们提出了以下问题：使所有银行最终偿还债务的最小初始现金向量c是多少？答案是向量Cm（3）。下一个自然问题如下。

给定矩阵Q和向量b，使至少一家银行能够偿还债务的最小向量c是什么？这个问题的答案似乎令人惊讶：对于任何初始现金向量c=（c，…，cn），即使所有ci<0，也存在一家完全偿还债务的银行。在本节中，我们将展示任何有效模型M=（b、Q、c）都可以重组为等效的级联模型，其中有一组银行可以偿还债务，即使现金头寸为负，还有一组银行只需要向第一组中的银行付款，等等。6.1级联理论给定任何模型M=（b，Q，c），我们说，如果付款p=（p，…，pn）不超过银行的义务，并且与银行的义务成比例，则付款p=（p，…，pn）是可以接受的。我们认为模型M=（b，Q，c）是通过重组模型M=（b，Q，c）获得的，如果第二个模型是通过可接受的付款从第一个模型获得的。请注意，我们并不假设这些比例相等。根据可受理付款，一家银行可以支付其债务的10%，另一家银行可以支付其债务的20%。同时，观察清除向量p*在初始模型中，实际上是可受理付款的最大可能向量，即p* p表示任何可接受的p。该定义尤其意味着bij≥ 对于所有的i，j，我们也说M被减少到M，并表示M→ M、 很容易看出，如果（p*)是新模型中的清除向量，然后是初始模型p中的清除向量*= p+（p*). 我们还可以考虑一系列重组模型M→ M→ M

→ MN获取付款时间表。我们说模型有一个级联结构，或者简单地说模型是一个级联，如果集合J可以划分为集合（J，J，…，Jm），那么债务结构有以下形式：有一组银行J没有任何债务，有一组银行J只欠J中的银行，等等，最后还有一组银行Jm，m≤ n、 没有一家银行欠他的钱，这些银行可能欠所有其他银行的债。层级结构表明，哪些银行是债务的主要来源，以及这一支付链中的最薄弱环节。初始模型有效的假设很重要。否则，由于强假设（a），导致重组为级联的某些银行子集团相互取消债务的过程是不可能的。尽管如此，即使在不充分的情况下，级联也可以用来确定注入现金可以减轻债务负担的地方（见Farthing和Sonin，2021）。我们在第4.3小节中提供了一个完整的级联重组示例，使用方程（9）和（10）确定状态变化的离散时间。定理3。（a） 给定任何模型（b、Q、c），至少有一家银行j能够在没有任何资金的情况下偿还债务，即pj=bj，即使有cj≤ 0；（b） 给定任何有效模型（b、Q、c），可以将其重构为等效的级联模型（b、Q、c）。定理3的证明是基于下一小节中给出的显式构造，通过级联算法给出的。6.2级联算法我们在定理3的证明中提供了算法的形式化描述。示例5演示了证明的基本逻辑。定理3的证明。

如果在时间0时，至少有一家付费银行，（a）基本正确。否则，存在一个遍历子类B，其不变分布πi>0，i∈ B、 然后通过引理5.2，在这个子类中应用不变率ui=π，我们保证所有ci（t）保持等于初始值ci。我们也有所有bi（t）=bi- TUI急剧下降。设ti=maxs{s:bi（s）>0}，T=minitian和iis为达到该最小值的银行。为简单起见，我们假设只有一家银行拥有此属性；否则，银行I将替换为子集J。这意味着bi（T）=0，该银行对B中的所有银行没有负债，因此对J中的所有银行没有负债。B中的分配银行有债务bi（T）=bi- Tui=bi>0，仅适用于B中的银行。让我们表示剩余河岸的集合B\\i=沙表示n- 这些银行剩余债务的一维向量b（1）=b（T），作为两个向量b（1）=f（1）+e（1）的和，其中每个分量f（1）是银行i对银行i的剩余债务，即f（1）i=bi（T）qii，i∈ S、 那么向量e（1）是n- 银行间剩余负债的一维向量。让我们获得n- 一维随机矩阵Q（1）={Q（1）ij}，i，j∈ Sby在Q行和列i中删除，即所有条目qii和qii，i 6=i并规范化新行，即Q（1）ij=qij/Pj6=1qij。如果Ssuch中有银行i或几个银行qii=1，则应将其从集合中排除，然后将其包括在集合J中。在对集合进行此类修改后，所有剩余银行构成遍历子类。事实上，所有剩下的银行都与该集团中的某家银行有联系。下一步是获得不变分布（πi），i∈ SFO矩阵Q（1）。然后是BY引理5.2，对这个子类应用不变利率，在某个时刻，我们获得的银行在不改变现金状况的情况下偿还了债务。

换言之，我们将相同的步骤应用于矩阵Q（1）和债务向量e（1）的银行集合，就像我们将矩阵Q和债务向量b应用于集合J一样。如果每个时刻只有一家银行偿还债务，那么显然在- 1步骤：我们获得一个级联，每个层级有一个组。否则，在较少的步骤中，我们得到了定理3中提到的集合。示例5。设n=4，矩阵Q由Q=Q=Q=Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，和Q=。由Q定义的马尔可夫链的不变分布为π=（84160147117）。考虑债务向量图2：（a）相对负债的初始矩阵，最小现金向量作为初始现金向量c。（b）三步支付的级联。b类=, 56, 55, 20. 利用公式（3），我们得到cm=, 7, 8, -23.Q=0 1/3 1/3 1/31/4 0 1/2 1/41/6 1/2 0 1/31/6 1/2 1/3 0（13） 假设现金向量c cm，所以我们的模型很有效。我们的目标是得到一个等效的级联模型。如例3和引理5.2中的第一个区间，我们将使用ui=πi，i=1。。。，4、然后在这个区间，ci（t）=ci对于所有t，因此当bi（t）中的一个达到零时，时刻t=是第一次。很容易检查，这是银行i=4和t=π。对于i=1，2，3，我们有bi（t）=20πiπ：b（t）=b- 20=19，b（t）=b- 20=29，b（t）=b- 20=30，b（t）=b- 20 = 0.让我们用两个向量之和来表示时间tas时所有银行的剩余债务向量，b（t）=f（1）+e（1），其中向量f（1）表示银行1、2、3对银行4的剩余债务向量，向量e（1）表示银行1、2、3对彼此的剩余债务向量。我们使用矩阵Q找到这些向量。因此，f（1）i=bi（t）qi4，ande（1）i=bi（t）- f（1）i.我们得到f（1）=,, 10e（1）=（13、22、20）。这是示例2中的Debt向量。

因此，我们可以考虑只有三个组1、2、3的子模型，通过删除第4行和第4列，并对新行进行归一化，从Q中获得转移矩阵Q（1）。由于在示例2中分析了向量e（1）=（13、22、20），所以存在以下形式的级联。在步骤1，拥有最低现金7的银行1向银行4、forto银行2和forto银行3发送支票6。在第2步中，银行2拥有最低现金7，并将支票F发送给银行3，7发送给银行4。在第3步中，银行3收到来自银行1的最低现金，并从银行2收到，将10的支票发送给银行4。银行4，现金最低-23，共收到6+7+10=23。图2（b）描述了此级联中的付款。由于有效模型总是如此，付款可以通过反向归纳法唯一识别。所有银行都偿还了债务，如果c=cm，其最终现金头寸为0。如果是c cm，那么就有可能在不到三步的时间内解决所有债务。7扩展虽然我们的设置使用Eisenberg和Noe（2001）的初始设置作为起点，但我们的模型可以自然地进行推广，以使用许多扩展。例如，我们的算法可以处理不同资历或多个到期日的负债或股份。在本节中，我们简要讨论可能的扩展。7.1债务优先级首先，我们可以假设矩阵Q不是通过等式qij=bij/bi获得的，只是表示付款的优先级。当然，我们需要进行以下修改。现在，储罐i的所有出口管道不是同时关闭的，而是在支付相应债务时，一个接一个地关闭，即在支付债务时，（i，j）管道关闭。相应的方程和状态变化时间可以很容易地修改。

如果我们假设一些债务不仅应该更快地偿还，而且应该在其他付款之前偿还，那么在最初的时刻，并非所有（i，j）管道都是开放的，但只有高级（for i）类的j管道是开放的。当这些债务得到偿付时，另一组（i，j）管道打开，等等。同样，虽然我们假设所有“积极”银行的总产能都相同，等于1，但分析很容易扩展到不同的利率（如果监管机构认为对某些付款进行优先排序很重要）。请注意，尽管连续时间模型的动态将发生变化，但如果所有付款的比例相同，则清算向量将相同。当然，如果支付比例的要求发生变化，那么不仅会改变连续时间模型的动态，还会改变清算向量。下一个观察结果是，由于不可逆性，并非所有银行都能在T之前离开群J+（0）*, 我们可以粗略估计T*≤ maxibi。如果总容量从1变为m，那么T*将更改为T*/m、 让我们讨论以下潜在的问题：xi有多少额外资金≥ 应为每个（或某些）银行提供0以避免所有违约？请注意，未付债务的总和，即Pi∈Jki，ki=bi- pi（T*) 可以大大超过X=Pi∈Jxi。让我们考虑以下机制。更改J（T）中所有银行的初始现金头寸*)从cito ci=ci+ki，再次运行连续时间模型。直观地看，很明显并且可以证明，通过这些新的初始头寸，所有债务都将得到偿还，并且这些银行中的一些最终可能会有正现金头寸ci（T*).

直觉是清楚的，可以证明如果现在所有银行的初始现金头寸*)已从cito c更改*i=ci+xi，其中xi=ki- ci（T*), e、 例如，由中央银行或aprivate财团，那么所有这些银行都将以零现金头寸结束，但同时全额偿还债务。显然是0≤ xi≤ ki。这个问题还与“实际违约”与“临时违约”之间的区别有关。7.2多重到期在最近的一篇论文中，Kusnetov和Veraart（2019）分析了多重到期的情况。我们的模型允许一个简单的扩展来包含这种可能性。假设有一个时间刻度[0+∞) 每家银行的债务可能有不同的到期日，即所有负债都有额外的到期时间（盖章）bij（tk），k=1，2。。。，镍。Asin Kusnetsov和Veraart（2019），我们从所有银行的两个到期日开始，短期和长期，t<t。我们修改我们的模型如下。银行系统的所有参数都是“加倍的”，有一个额外的指数1或2，比如bi（s）=Pjbij（s），s=1，2。所有银行都有两种类型的油箱，基本型（1）和休眠型（2），两种现金头寸ci（s），s=1，2，以及两种类型的进出管道，也标记为短（1）和长（2）。银行i的休眠罐代表一个只能从长时间开始使用的账户，该账户从其他对银行i有短期负债的银行积累资金。所有“短”管道都指向短罐，所有“长”管道都指向长罐。为了修改容量，我们必须引入两个新的公理。第一个类似于toKusnetsov和Veraart（2019），源自英国破产规则的要求是：所有到期日不同的债务在相同的债务类别内享有相同的优先权。