银行作为银行：金融清算的连续时间模型

附录中给出了零群和所有群中的速率，无论该群是扩张还是缩小，都是非增长的形式证明，即定理1的点（b）。假设定理1的点（b）成立，区间[0，T*) 由一个数字k组成*半间隔的k=【Tk，Tk+1】，k=1，2，…，k*, T=0，其中时间Tk>0是一个银行改变其状态的唯一时间，即函数bi（T），ci（T）之一达到零，之前为正。另外，（b）对于初始时刻后的状态变化，产生了一个重要的不可逆性：对于所有t>0的状态变化，唯一可能的是：从正组到实收组，或到零组，以及从零组到实收组。由于不可逆性，此类力矩的数量不超过2n。为简洁起见，我们将这些间隔称为K状态间隔。请注意，在一般情况下，当时刻t=0时，存在具有ci的银行≤ 0可能会发生持续状态更改。这只是由于一些零银行可能重新分类为正（见A2小节中的Bang-Bang效应）。为了完成定理1中（a）的证明，我们需要以下稍微少一点的traightforward结果。引理4.1。每家银行在T时刻支付的金额*, i、 e.，pi=pi（T*), 我∈ J、 给出清算方程（1）的解。证据T时刻各银行i的状态*为零或已付清。如果已付清，则该银行的总付款与其债务一致，即pi（T*) = bi。如果银行iat T T*状态为零，即ci（T*) = 0，债务BI未全额支付，pi（T*) < bi。由于每家银行j每次向银行i支付的利率t与产能Qji成比例，因此银行i从银行j获得的总付款为pj（t*)qji。

使用equalityci（T*) = 0和第二个平衡等式（2）我们得出，银行i的总付款等于初始现金CIAN和从其他银行获得的资金之和，即pi（T*) = ci+Pjpj（T*)qji<bi。因此，在这两种情况下，每家银行支付的金额满足清算等式。4.3离散动态我们的下一个目标是描述计算每个statusinterval的结束时间所需的所有信息完成定理1第（c）部分的证明。根据我们的定义和定理1的（a）部分，我们在区间[0，t]上定义了连续流量X（t*) 通过向量X（t）=（t，P（t），bi（t），ci（t），i∈ J） 。在每个statusinterval上，所有输出速率都是恒定的，并为模型的所有参数定义一个简单的线性动力学。因此，我们可以利用我们模型的主要计算优势之一：其动力学完全由齐次离散动力系统（Xk）表征，其中时间矩k=1。。。，k*+ 1对应于continuoustime模型中的力矩Tk，矢量Xk包含此时系统的所有信息。该向量为：Xk=（Tk，Pk，bi，k=bi（Tk），ci，k=ci（Tk），i∈ J） ，其中Pk=P（Tk）是下一个间隔开始时系统的一部分k=[Tk，Tk+1）。当清楚哪个间隔时kis认为，为了简化符号，我们抑制了进一步的索引k，表示k=, Tk=T，Tk+1=T，流出率ui，k=ui等。在下一个间隔的时刻Tk选择基本流量的流出率值K根据（C2）和分区Pk=P（Tk）=（J+，J，J*), i、 e.：如果i，则ui=1∈ J+，ui=0如果i∈ J*如果我∈ J、 然后ui=vi，其中向量v=（vi）作为线性非齐次方程组（7）的解获得。因此，我们有bi（t）=bi（Tk-（1）- uit，ci（t）=ci（Tk-1） +（镍- ui）t。

（9） 下一次状态变化的时间T=Tk+1是在T=Tk时刻为正值的其中一个数量bi（T），ci（T）将首次达到零的时间。假设区间（T，T+T）上的out利率等于ui，我们表示银行i偿还债务的潜在时刻T+Si，以及银行i达到零现金头寸的潜在时刻T+tiwhenbank i。方程式（9）立即暗示SI=bi（T）/ui，如果bi（T）>0，且ui>0+∞ 如果ui=0。ti公司=-ci（T）/di，如果ci>0，di<0+∞ 如果ci=0或di≥ 最后，T=T+mini（si，ti）。（10） 请注意，对于i∈ Jwe有ci（t）≡ ci公司≤ 0表示所有t∈ （T，T），因此对于它们，ti=+∞.因此，没有（C2）、（7）规定的速率的状态Xk和一个简单的线性方程系统唯一地确定了下一个状态变化的时刻Tk+1，从而确定了所有值Xk+1。因此，我们证明了定理1的点（c）。我们将此转换称为xkin到Xk+1mapping G。请注意，此映射不依赖于k，这使得SIT易于编程。以下示例说明了系统的动态演化。示例3。设n=3，矩阵Q由（5）给出，债务向量b=（13，22，20）与示例2中相同，但带有现金向量c=,, 0. 对于向量b，公式（3）得出cm=,, -, i、 e.，c cm，所以这个现金向量使得模型失效。从形式上讲，这不是一种常见的情况，因为J（0）={3}，但这是一个可以很容易确定的大爆炸效应的例子，因为n=+>1，因此银行3应被归类为正。因此，在第一个时间间隔, 我们所有ui都为1。然后是d=-,,. 每次状态改变Ti=Ti-1+ti，i=1，2。。，是指某笔债务已付清或某笔现金头寸从上方跌至零的时刻。力矩t=由条件c（t）=c确定- dt=0，这产生t=。

然后c（T）=0,,andb（T）=（bi- uit）i=, 20、18.在第二次间隔上, 我们有J+={2，3}和J={1}；因此，u=u=1，u=n=。然后是d=0，，-. 力矩由条件c（t）确定=- dt=0，然后t=4，t=t+t。然后c（t）=0，+dt=1，0andb（T）=（bi（T）- uit）=（9、16、14）。在第三次间隔时，, 我们有J+={3}和J={1，2}，这产生了u=1，并且由于c（T）=c（T）=0，我们需要用两个方程来求解平衡系统（7），SU=+u，u=+自动查找u=和u=n。这个系统有一个解u=，u=。然后n=1，d=（0，0，0）。因此，c（t）=c（t）=（0，1，0），力矩由其中一个债务9-t、 16个- t、 14-t型命中零。然后T=14，b（T）=0。在T=T+T+T的时刻，我们有b（T）=, 1，0andc（T）=（0，1，0）。在最后一次间隔上, J={1}，J+={2}，和J*= {3} ，因此u=n=、u=1和u=0。然后是d=0，-,. 力矩由条件c（t）=1确定-dt=0，然后t=1。力矩T=T*= t+t+t+t，流量停止，因为气缸组2是最后一个正气缸组。然后现金向量c（T*) = （0，0，1）和b（T*) = 铋（T）- uit）=,, 0, 银行1和2违约。5“沼泽”和解的多重性在正则情况下（正群的所有ci>0，ui=1），动力系统有一个唯一的解，如定理1所述。在本节中，我们将为初始现金头寸为零甚至为负的银行的一般情况制定结果。如果积极集团的银行对这些银行有一些负债，那么在可能的重新分类后，零集团中的所有剩余银行的利率都低于一，这是作为系统（7）的解决方案获得的，因此，在规则情况下，它们可以被视为零集团，没有新的情况发生。新的有趣的情况是，零组中有银行，现金为正的银行对他们没有直接或间接的债务。

这种情况看起来可能很特殊，但它对于理解清除向量的潜在多重性至关重要。正如我们将看到的，多元化的主要原因是一些债务可以在没有任何资金的银行之间解决。非正式地说，沼泽是一个集合，其中t=0的所有成员都没有正现金，没有正集团的直接或间接流动，只有自己有正债务。因此，他们不参与基本流动，但他们有可能“循环运作”，部分偿还债务，同时保持非正面现金头寸。此类交易可被视为部分债务重组，即将初始债务向量转换为新债务向量。我们将在第5.35.1小节多重性理论中给出沼泽的正式定义。我们首先使用初始债务矩阵Q=Q（0），划分所有不属于已缴清债务组J的银行*（0）分成两个不相交的集合。表示A+此时t=0的所有银行的集合，要么是积极的，要么是积极组的发起人，或者是前一组的发起人，等等，即有积极的直接或间接发起人。形式上，A+=J+（0）∪ J+，1∪ J+，2。。。，其中，J+，1是一组有J+（0）发起人的零银行，J+，2是一组有J+，1等发起人的零银行。我们将所有其他不属于缴足款项组的银行定义为a。这些银行在最初时刻没有积极的现金，也没有外部的积极投入，因此永远没有。他们可能对A+和J中的银行负有债务*（0）但反之亦然。由于“大爆炸”效应（我们在A2小节中讨论），在t=0时为一些零银行可能重新分类而预留的A+流的动力学是独特的，如OREM 1所述。

群Ais的演化是定理2的主要主题。重要的是，沼泽可能在最初阶段就存在，但不会在以后出现（引理5.3）。在可能修改“无债务优先权”假设的模型中，沼泽也可能在后期出现。当然，它们确实出现在现实中，正如我们在导言中提到的安然案和最近德国Wirecard的破产案。现在我们可以表述定理2，它将定理1的结果推广到一般流。让我们将集合Aas表示为不相交集合a=J0的并集，*+ U+S，其中J0，*是A中所有已缴清银行的集合，是A中所有临时银行的集合，是A中所有遍历子类的联合。（下一小节5.2给出了正式定义；目前，我们只能说瑞士的银行可以在没有现金的情况下相互支付。）定理2。（a） 对于任何初始现金向量c，存在（1）p的基本流量解，i的pi=0∈ A、 （b）如果在Ais分解中设置为空，则基本流量解决方案为（1）的唯一解决方案，且所有组均为非活动。（c） 如果设置S6=, i、 例如，如果至少有一个沼泽，则存在p=p+Pkskp形式的多个溶液POP*k、 其中p是基本流量溶液，0≤ sk公司≤ 1，andeach向量p*通过不变分布π获得的kis*k对应的遍历子类。请注意，我们的基本流量解对应于最小值，定理2中allsk=1的解对应于Eisenberg和Noe（2001）以及Kabanov、Mokbel和El Bitar（2018）中的最大清算支付向量。

如果没有沼泽，它们就会重合。沼泽的存在使得沼泽中的水流持续时间可能超过*, 这被定义为最后一家积极的银行偿还债务的时刻。5.2马尔可夫链、基本流演化和不变率“沼泽”的分析和定理2的证明要求在金融清算研究中引入一种新的机器，即马尔可夫链。到目前为止，我们在分析确定性模型时没有使用任何随机解释。然而，众所周知，概率论中的许多陈述都有其确定性类比，反之亦然。事实上，马尔可夫链的不变分布是由古斯塔夫·基尔乔夫（Gustav Kirchho fff）在事件发生之前很长一段时间为电网引入的。马尔可夫链的概念已经形成。Kemeny和Snell（1976）是关于有限马尔可夫链的经典著作；我们认为toShiryaev（2019）是对这一主题的出色介绍。如果马尔可夫链Z=（Z（n））具有状态空间S和转移（随机）矩阵Q，并且mk=（mk（i），i∈ S） 是某一时刻Z概率分布的向量k，则mk+1=qtmk是下一时刻的分布向量。给定任意随机矩阵Q，所有状态可分为瞬态和遍历状态。每个遍历状态都是某个遍历子类的一个成员。所有瞬态形成瞬态集。马尔可夫链最终会使瞬态移动到这些子类中的一个子类，从而永远停留在那里。如果子集是这样一个遍历子类，则马尔可夫链可以从每一个状态转到每一个状态（不一定在一次移动中）。一些教科书称这些子集是不可约的，称遍历ifit也是非周期的。在这两种情况下，存在满足质量π=QTBπ的不变分布π。

在后一种情况下，该分布也是极限分布，尤其是QnB→ A、 其中A是一个随机矩阵，其相同行等于π。随机矩阵Q（t）的演化从矩阵Q开始，在t=0的时刻反映了分区P（t），如下所示。如果银行i已付清，我们将i视为吸收状态，即qii（t）=1。为了我们的目标，假设每个遍历子类至少有两个状态，区分吸收andergodic状态更方便。显然，矩阵Q（t）是状态区间上的常数，仅在时刻Tk时变化。在t时刻的吸收态集就是J*（t） 但过渡集和遍历子类中的银行可能具有正或零状态。因此，每家银行每时每刻都有双重分类：按地位和状态。现在我们需要描述一些关于瞬变集和遍历子类的事实。假设B J和B中的状态是瞬态的。然后QBis是一个亚随机矩阵，即某些行中的系数之和小于1，马尔可夫链在某个时刻以概率1离开集合B，或者当n接近完整时，矩阵qnb趋向于零。因此，矩阵NB=（I- QB）-1定义明确。MatrixNb被称为亚随机矩阵QB的基本矩阵，具有自然概率解释。也就是说，nB（x，y）等于退出集合B之前，初始点位于x的马尔可夫链状态y的预期访问次数。我们还将nB=P∞n=0qn，NTB=（I- QTB）-设B=J（t）一段时间t，qbt为相应的（次）随机矩阵。让我们引入向量eB，即正组“发起人”的“输入向量”，其退出率ui=1到零组B。eB的坐标由ei定义，B=Pj∈J+qji，i∈ B、 零组B的输出速率等于其输入速率，表示为vB≡ v

根据（C2）式（7）定义的这些速率满足方程vb=eB+QTBvB，（11）问题是该方程何时有解。下面的引理给出了答案。引理5.1。（a） 如果QBis是次随机矩阵，则（11）的解由公式vb=（I）给出- QTB）-1eB≡ NTBeB，（12）（b）如果QBis是随机矩阵，且eB6=0，则方程（11）没有解；如果eB=0，则（11）的所有解与相应马尔可夫链的不变量分布给出的解成正比，π=QTBπ。（c） 两个解v和vof方程v=e+QTBv，和v=e+QTBv，满足≤ vif e公司≤ e、 引理5.1的（a）点和（b）点的证明来自线性代数的简单事实。点（c）紧跟在点（a）之后，因为矩阵的元素NTBare是非负的。在继续下一步之前，我们需要描述如何使用不变输出率。假设B组的一个子集，比如在时刻0，形成了一个具有不变分布π的遍历子类。根据引理5.1，将所有组划分为集合A+和A（见第5.1小节），如果集合B 如果集为B，则它可能有正的组成员和零的组成员 雅典只有零家集团银行。在这两种情况下，我们都可以使用变化概率π作为输出率ui。根据π的定义，这保证了B中每家银行的出清利率等于in利率。这意味着所有ci（t）都保持等于这些出清利率停止应用时的初始值citill时刻。同时，每个bi（t）=bi- TUIGES下降，阳性率ui。设ti=maxt{t:bi（t）>0}，t=miniti，ibe为达到该最小值的银行。像往常一样，我们假设只有一家这样的银行，比如j。这意味着bj（T）=0，这家银行对B中的所有银行都没有负债，并且由于B是一个封闭的子集，因此对j中的所有银行都没有负债，即其状态变为支付。

对于B中的所有其他银行，bi（T）=bi- T ui=b（1）i>0。因此，我们在不改变B中所有银行的现金头寸的情况下重建了债务和我们的模型。请注意，目前B中的所有银行都是暂时的，因为其中一些银行对j银行负有义务，因为在此之前，通过定义一个参数集，它们与j银行相连。因此，它们将永远是暂时的。我们将在此过程中获得的相应支付向量表示为p*B、 注意，我们可以将速率ui=π改为一些成比例的sπi，其中一些系数s>0。由于最大πi=q<1，我们可以选择任何0<s<1/q，而不违反我们的假设（C1），即保证输出率不能超过1。然后，重组时间T也将与sT成比例变化，但支付向量将是相同的，因为支付率将与支付期的减少（增加）成比例增加（减少），见等式（9）。当然，如果提前停止支付，然后其中一笔债务降到零，则清算向量将更小。这种构造的重要一点是，插入B的每家银行的现金头寸没有发生变化，因此，其中一些银行可能没有现金，甚至有负头寸。特别是，我们得到了以下结果。引理5.2。设集合B是遍历子类，且所有ci≤ 0，i∈ B、 清算方程（1）的所有非平凡解仅限于此集合，可使用变量输出率获得。所有这些解都与向量p成正比*B、 比例系数不超过1。我们通过一个简单的例子来说明这种构造。示例4。设n=3，b=（2，3，4），ci≤ 0，i=1，2，3，矩阵Q由（5）给出。很容易检查相应马尔可夫链的不变分布是π=（12，21，20）。