银行作为银行：金融清算的连续时间模型

给定模型M=（b，Q，c），除了清除向量满足度p*, i、 e.，最终付款，收到金额向量r*= QTp*, 最终现金头寸c*= c+r*- p*, 未付债务b*= b- p*, 和损失l*= QT（b- p*).我们还有以下平衡条件：Xici=Xic*i、 Xibi=Xi（QTb）i，Xip*i=Xi（QTp*)i、 （2）Xil*i=Xi（bi- p*i） 。由于模型是自包含的，因此前三个方程如下。最后一个等式遵循前面的等式。给定一对（b，Q），引入最小现金头寸向量scm（b，Q）很有用，这是一个最小向量，所有银行都必须能够支付他们的订单。在这种情况下，p*= b、 c类*= （0，…，0）和clearingequation（1）右侧的两项必须重合，即b=c+QTp。假设向量u=（u，…，un）大于向量v=（v，…，vn），如果ui≥ vi，i=1。。。，n表示u v、 使用清算方程，我们立即得到关于最小现金头寸向量的简单但有用的结果。首先，该向量满足度M=（I- QT）b，（3）秒，nXi=1cmi=0。（4） 第三，如果初始现金向量c满足c 厘米，然后是c*= c- C和clearingvector满意度p*= b、 否则，至少会有一家银行违约。如果清除向量p*= b、 我们认为该模型是有效的，否则就是无效的。显然，向量Cm是使模型有效的最小向量。因此，如果参数相同，Q和b模型将对现金向量c有效或无效。这两种情况之间的差异很大：在前一种情况下，成对的相互义务可以取消，而在后一种情况下，它们不能取消。为了回答向量c是有效向量还是无效向量，无需求解清除方程，我们只需将该向量与可使用（3）计算的向量Cm进行比较。示例1。

设n=3，矩阵Q由Q=Q=，Q=，Q=，Q=，Q=，和Q=：Q=0 1/2 1/21/3 0 2/31/4 3/4 0（5） 利用该矩阵，考虑债务向量b=（12、21、20）。对于b，使用公式（3），我们得到cm（Q，b）=（0，0，0）。也就是说，为了偿还所有债务，没有一家银行在最初时刻拥有负现金是足够的。如果现金向量足够，即c cm，然后是清算（支付）向量p*与债务向量b一致。在示例1中，如果b=（12、21、20），则无需进行交易。在这种情况下，清算所的工作只是通知银行，它们的债务相互抵消。一个自然的问题如下：给定矩阵Q，其中EBT向量b的最小现金向量是cm=（0，0，0）？正如我们将看到的，必要且有效的条件是债务向量b应与矩阵Q对应遍历马尔可夫链的不变量分布π成比例。在示例1中，π=（12，21，20）。定理2给出了一般结果。负债的层级结构。满足（3）的最小初始现金向量CMS回答了以下问题。使所有银行最终偿还债务的最小初始现金向量c是什么？现在，给定矩阵Q和向量b，最小的向量c是什么，至少有一家银行会偿还债务？这个问题的答案似乎令人惊讶：对于任何初始现金向量c=（c，…，cn），即使所有ci<0，也存在一家完全偿还债务的银行。实际上，（4）意味着，如果至少一家银行的cmi>0，那么至少另一家银行的cmj<0，即该银行j最终将成为净收款人，并且可以从负现金头寸开始。若cm=（0，…，0），则所有银行的相互义务相互抵消，所以不需要真正的交易。让我们在下一个示例中了解实际的支付机制。示例2。

考虑（5）给出的相同矩阵Q，但债务向量不同，b=（13、22、20）。利用公式（3），我们得到了最小现金向量cm（Q，b）=,, -: 正如我们将看到的那样，即使初始现金头寸为负，第三银行仍有能力全额偿还债务。事实上，让我们证明债务向量b=（13，22，20）与债务向量（1，1，0）等价。假设银行1为银行2准备6笔付款，为银行3准备6笔付款，银行2为银行1准备7笔付款，为银行3准备14笔付款，银行3为银行1准备5笔付款，为银行2准备15笔付款。这些潜在付款满足比例假设（A），但正式违反了假设（B）。然而，这些潜在付款部分地相互抵消：例如，银行1向银行2支付6笔，银行2向银行1支付7笔，导致银行2只欠银行1笔。因此，剩余债务向量为（1，1，0）。给定矩阵Q，银行3没有债务，银行1欠银行3和银行2，银行2欠银行1和银行3。如果初始现金向量是最小向量cm=,, -, 然后，在步骤1，气缸组1发送至气缸组3和气缸组2；在第2步，银行2从其初始持股开始，并在第1步从银行1获得，发送给银行3。所有债务均已偿还，最终现金状况为c=（0，0，0）。如果集合J可以划分为集合（J，J，…，Jm），那么我们将债务和相应支付的结构称为级联结构，或者暗示模型是级联结构，如图1所示：（a）示例2中的相对负债矩阵和初始现金向量。（b） 第1级：转账导致全额还款。

（c） 级联2：导致全额还款的替代级联转移。债务结构有以下形式：有一组银行J没有任何债务，有一组银行J只欠J等国的银行，最后还有一组银行Jm、m≤ n、 这些银行可能对所有其他银行都有债务。为了简化所有示例中的表示，我们考虑每个集合jk只有一个组，然后m=n的情况。示例2中描述的级联如图1（b）所示。令人惊讶的是，即使在这个非常简单的例子中，交易序列也不是唯一的——不仅在支付时间上，而且在级联中的状态顺序上。让我们使用samemodel的另一种债务重组机制和充足的现金向量来获得第二个级联（见图1（c））。对于一个有效的模型，成对债务可以减少为单方面债务：银行1欠=- 5给银行3，银行2欠=-银行1，银行3欠=20- 22至银行2。由于这些债务形成了一个闭合回路，因此可以减去金额，现在债务是：3号银行与第一级一样，没有债务，1号银行负债=-银行3和银行2欠=-至银行1。然后，第二级联在步骤1，气缸组2，已发送至1；在步骤2，气缸组1已添加步骤1中获取的数据，并发送至3。第6节中的定理3规定，任何有效系统都可以通过限制可接受的付款，修改为具有级联结构的等效系统。

在第6.2节中，我们描述了构造级联的递归算法。3设置在我们的模型中，信息由三元组M=（b，Q，c）总结，其中b=（b，…，bn）是债务向量，随机矩阵Q={qij}描述相对负债，初始现金头寸向量c=（c，…，cn）与原始艾森伯格和Noe模型中的含义相同，但有一个重要区别：我们允许ci≤ 对于某些或甚至所有i，为0。负债矩阵B={bij}唯一地确定矩阵q={qij}和债务向量B，反之亦然：对于任何i，j，bij=biqij。根据惯例，如果对于某些银行bi=0，但有k且qki>0，那么我们确定所有j 6=i的qii=1和qij=0。因为我们的目标之一是获得（1）的解p，我们假设条件（A）和（B）总是满的。在我们的模型中，描述每个银行i、bi、ci、pidepend的参数以t=0开始的有限时间间隔运行。银行i的初始位置为xi（0）=（bi，ci）。时间t时银行i的位置由向量xi（t）=（bi（t），ci（t））描述，代表其剩余债务和当前现金状况，系统a整体由2n维向量x（t）=（xi（t），i=1。。。，n） 。银行在t时刻之前支付的金额，pi（t）是这两个参数的函数，pi（t）=bi- 铋（t）。可以将连续时间模型可视化如下。每个银行i都是一个由液体（货币）填充的储罐，初始水平ci=ci（0），可能是正的，也可能是负的。每个储罐通过入口和出口管道连接到所有其他储罐。通过每根管道（i，j）的最大可能流量为其容量qij，该管道为i的出口和j的入口。由于矩阵Q是随机的，储罐i所有出口的总容量为1。

银行i在偿还债务时不使用利率ui（t），即资金从银行i流向其他银行的强度。因此，在任何时候，根据假设（A），银行i向银行j支付的利率应与其总债务成比例。为了充分说明连续时间模型，我们将假设（C1）和（C2）添加到假设（A）和（B）中。（C1）在任何时刻t，所有输出率必须满足0≤ ui（t）≤ 1、有时向量c被解释为外部资产向量（Elsinger，2009；Glasserman and Young，2016）；负分录对应于外部负债。输出速率ui（t）完全指定输入速率ni（t）=Pj∈Juj（t）qji，这使我们能够专注于前者。请注意，由于in率由随机矩阵Q的列定义，因此它们可能小于或大于一。为了对不同银行的利率ui（t）进行假设（C2），我们需要引入另外两个相互关联的概念，这将在我们的分析中发挥关键作用。将所有银行集合J划分为三组，P（t）=（J+（t），J（t），J*（t） ）。分区是时间t的函数；也就是说，银行在每一时刻都属于三个组中的一个≥ 第一组银行J+（t）被称为正银行，由在t时仍有未偿债务且现金价值为正的银行组成。此组中的费率可以有任何值ui（t），0≤ ui（t）≤ 下一组J（t），称为零，是那些债务为正、现金价值为零甚至为负的银行。他们可能仍在用其他银行欠他们的钱来偿还债务。该组中的输出速率必须与输入速率一致，ui（t）=ni（t）。最后一组，J*（t） 被称为“已还清”的银行包括那些已经还清了全部债务，并且仍有可能从其他银行获得资金的银行。

对于它们，速率等于零，ui（t）=0。总之，在每一时刻，我们都将所有银行划分为三组：j+（t）={i:bi（t）>0，ci（t）>0}；J（t）={i:bi（t）>0，ci（t）≤ 0}; （6） J*（t） ={i:bi（t）=0}。属于这些集团之一决定了银行在t时刻的地位。假设（C2）规定了所有银行在t时刻的利率ui（t）≥ 0：（C2）如果i∈ J+（t），然后ui（t）=ai，0<ai≤ 1.如果我∈ J*（t） ，则ui（t）=0。如果我∈ J（t），然后ui（t）=ni（t）=Xj∈J+（t）aiqji+Xj∈J（t）uj（t）qji，（7）我们表示di（t）=ni（t）- ui（t），余额率，因为该系数决定了现金头寸ci（t）是增长、下降还是保持不变。对于零组，输出率必然等于输入率，因此di（t）=0。处于积极和零状态的银行，即继续偿还债务的银行，我们称之为活跃银行，其他银行则不活跃。我们说，如果j银行向i支付债务，即pji（t）>0，那么j银行在t时刻是i银行的发起人。对于任何子集B 所有组J的J={1，2，…，n}，qb将通过删除不在B中的所有行和列来表示从随机矩阵Q获得的矩阵；IB[=I]表示对应维度的单位矩阵。向量vB由n维向量v构成，定义类似。为正组银行选择正常数Ai是一个方便的问题，但我们将只使用两个选项。如果集合J（0）为空，我们假设所有ai=1。我们称之为常规情况，并将此流量称为基本流量。例如，如果每个银行i的ci=ci（0）>0，则我们处理的是常规情况。我们将要使用的其他常数ai的唯一值是ai=πi>0 fori∈ B J、 其中πi由相应马尔可夫链的不变分布给出，如果矩阵QBis遍历。

我们称之为不变率。如果存在组i，则ci=ci（0）≤ 0，则不需要（1）的解。我们在第5节中处理这个案件。定理2描述了存在多个解的参数。此外，对于某些ci=0的银行，In利率可能超过1，因此其中一些银行应立即重新归类为正值，因为它们在某些非零区间（0，δ）上的ci（t）>0。我们将在第A2.4小节中讨论所谓的大爆炸效应。在本节中，我们首先正式说明我们的定理1，该定理侧重于所有银行在初始时刻都有正现金量的情况：所有i的ci>0，即零银行集J（0）=, 基本输出速率ui=1用于正极组。然后，我们描述了连续时间模型的演化如何在有限时间内产生一个Eisenberg-Noe清除向量，并描述了描述演化的离散动态系统，完成了证明。出于类似的原因，大爆炸宇宙学假设宇宙的生命在“普朗克纪元”（一个最短的时间段）之后开始。4.1存在理论当所有管道在时间0打开时会发生什么？假设（A）、（B）、（C1）和（C2）共同确定以下动力学：pi（t）=Ztui（s）ds，bi（t）=bi- pi（t），ci（t）=ci+Xjpj（t）qji- pi（t）=ci+Ztdi（s）ds，（8）di（s）=ni（s）- 用户界面。最后一个等式确定了余额率di（s），其中ni（s）=Pjuj（s）qji在s时刻银行i的利率范围内。资金将准确流动，直到至少有一家银行处于积极状态，即拥有未偿债务和积极现金储备。

在此之前，系统中的债务总额至少以单位汇率单调递减，因此，由于债务总额是有限的，因此该过程在有限的时间内结束*= 最小值{t:J+（t）=}. 定理1描述了正则初始向量c的这一过程的主要特征。定理1。（a） 对于任何正则初始向量c，都存在一个有限时间T*=最小值{t:J+（t，c）=} , 全速率ui（T*) = 每个银行i为0。时间间隔[0，T*) 由一个有限的数字k组成*半间隔的k=【Tk，Tk+1】，k=1，2，…，k*,T=0，Tk+1=T*. 输出速率ui（t）在这些间隔上是恒定的；函数pi（t）、bi（t）、ci（t）、0≤ t型≤ T*, 满足的方程（8）在每个区间上相应地是线性的k、 力矩Tk>0是指至少一个气缸组改变其状态时的力矩，即其中一个函数bi（t），ci（t）从上方达到零。向量p（T*) 求解方程（1），即艾森伯格Noe和连续时间模型中的清算支付向量。（b） 以下单调性属性适用：函数ui（t）是所有i的非递增墨迹∈ J、 即ui（Tk）≥ ui（Tk+1），k=1，2。。。，k*- 1.（c）分区Pk=P（Tk）=（J+，k，J0，k，J*,k） 向量bk=（bi（Tk））和ck=（ci（Tk））包含当前系统的所有信息，并在下一个时间间隔唯一定义输出率ui、k（以及所有其他函数）k、 由于系统的演化本身很有趣，我们将在下一小节中证明定理1的（a）部分和（c）部分，并将（b）部分的更技术性证明委托给附录。4.2当过程结束于T时，动力系统的演化*= 最小值{t:J+（t）=} , 我们有以下图片。正如第一个余额条件（2）所示，所有现金头寸的总和始终保持不变。

因此，在最后时刻T*, 我们有Xici=Xici（T*) =xi∈J*（T*)ci（T*).最后一个等式成立，因为J+（T*) =  和ci（T*) = 0代表所有i∈ J（T*). 这些等式立即意味着集合J*（T*) 即使所有ci bi，和是正的。在这最后一刻之前会发生什么？根据假设（C2），在状态不变的任何时间间隔内，所有出清利率和入息利率都是恒定的，因此所有现金（头寸）、债务和付款都是这些时间间隔上的线性函数。因此，在常规情况下，当所有ci（0）>0时，所有银行都处于积极状态，直到某一时刻，一个债务或现金水平达到零。由于所有债务都以单位速度下降，T<∞. 在不丧失一般性的情况下，如有必要，稍微扰动初始条件，我们可以假设在状态改变的时刻，只有一家银行改变其状态。在任何时刻，只有当某家积极的银行偿还债务，或其现金头寸为零，或某家零银行偿还债务时，状态才会发生变化。在第一种情况下，零利率组保持不变，所有银行的利率，包括零利率组的（7）解决方案，没有增加。等式ci（t）=ci适用于零组中的每个银行。在第二种情况下，当一家正值银行将其状态更改为零时，只有当该银行的余额利率为负值时，这才可能发生，即NI中的利率小于out ui=1。然后将该银行添加到零组，该银行的利率从ui=1下降到新值ni<1，由（7）的新解定义。由于积极赞助者对这一组的总贡献减少，零组中其他银行的利率也有所下降。在第三种情况下，情况类似。因此，所有银行的入息率始终保持不变。