微分方程在投影生长轨迹中的应用

S逐渐增加至/abwhentt∞→.双曲分布是下列微分方程的解：1 dSbSS dt=。（36）如果我们将这个方程与方程（31）进行比较，我们可以看到它们是相似的。在这两种情况下，对于0b>，增长率随增长实体的大小线性增加。然而，对于双曲线增长[方程（36）（0b）>]而言，增长率与S成正比，而对于方程（31）所描述的增长而言，线性增长的增长率被参数a所取代。这是一个很小的差异，但对于循环值而言，具有显著的con S等式。对于微分方程（36）及其解（34）所描述的分布，r eciprocal值随时间提前减小，可以用作双曲分布的唯一识别特征（Nielsen，2014）。对于微分方程（31）及其解（29）所描述的分布，以及对于0b>，生长实体大小的倒数值不会随时间线性减小。它们逐渐接近/ba的极限-.罗恩·W·尼尔森·霍弗（RonW.Nielsenhower），广义上，方程式s（29）和（34）给出的溶液s看起来很相似。y在长时间内缓慢增加，在短时间内快速增加，并且在固定时间内都增加到无穷大。因此，方程（2 9）给出的解都是伪双曲分布。方程（31）和（36）的居里差分不能视为方程（36）的推广。这两个方程必须单独求解。方程（31）的解不能用于推导方程（36）的解。虽然求解方程（31）很困难，但求解方程（36）很简单。其解可通过替换1SZ获得-=.3.

数学方法-替换拟合数据和预测增长也可以通过用合适的定义函数替换S或增长率R来执行，然后检查此类替换是否可以用线性近似来描述。表e 2中列出了一些示例。这里的目的是再次寻找增长率的最简单数学描述。如果S增长率的数学描述很复杂，那么（）Fs增长率的数学描述可能会更简单。通过寻找数据的交替表示，可以简化数据分析，总体思路是尽可能将分析简化为最简单的数学表达式——直线。因此，例如，IFLFS≡, 式中，S表示根据经验确定的成长实体的规模，如果1 dFa btF dt=+，（37）则在bt=+，（38）和2EXP exp exp（0.5）S C在bt=+，（38）和2EXP exp exp（0.5）S C= +.                     （39）新的常数现在比等式（3 8）有所不同，但它并不好。这是一个正常的情况，通过将计算的分布与数据进行比较来确定。IflnFS≡i f1 dFa bFF dt=+，（40），然后1atbf Cea--= -,                         （41）和1 Expatbs Cea--= -.                       （42）等式（39）和（42）给出的S的RON W.Nielsen数学表示并不简单，但它们是可以接受的，因为它们基于将数据的数学分析简化为astraight li ne给出的F增长率的最简单表示。我们还可以通过用适当定义的函数（）FR替换增长率R来扩展这些替代表示。

如果S增长率的数学描述变得复杂，那么一个合理定义的函数（）fR可能会简化分析。因此，例如，对S的经验增长率的目视检查可能表明，它在很大程度上取决于时间。我们可以尝试将双曲分布与经验上的最小增长率拟合。通过检查R的倒数值来检查该分布是否确实是双曲线也是一个好主意，如果1/R应遵循直线，则该分布是双曲线的（尼尔森，2014）。所以，如果1（）F R a btR==+，（43）那么11dsrs dt a bt==+。（44）双曲线分布不像直线那么简单，但它可以简化为一条直线，这条直线在标准下更容易接受。这样的精确性使人们相信，这种分布实际上是一种更高的boli cor，因为它可以很好地与双曲线分布相匹配。微分方程（4 4）可以表示为ds dtS a bt=+，（45），当积分d时，给定1ln ln（）S a bt Cb=+。（46）因此，1/（）bS C a bt=+（47）因为EExp（ln）zz=。最后两个方程中的常数C不同，但也没关系。使用它们只是一个标准化常数，它必须通过将计算的S与其相应的理论值进行比较来确定。方程（47）并不简单，但它是通过将数学分析简化为方程（43）给出的最简单的数学表达式而获得的，该表达式确定了R的双曲分布。

有趣的开始步骤是简单的，即使是复杂的操作，也可以通过高可靠性来接受。如果目视检查电磁增长率R表明它遵循指数分布，我们可以尝试将指数函数拟合到R，或使用半对数参考刻度来显示它。I flnR a bt=+，（48）thenRON W.NIELSEN1exp（）dSa btS dt=+（49），该方程的解为expabtesc eb=（50）同样，它不是对S的简单描述，而是使用R vialn R的模拟表达式来实现的复杂表达式。这里给出的S的所有数学描述[等式（10）、（29）、（34）、（39）、（42）、（47）和（50）]都不简单，但它们都是使用相关量的最简单数学表示得出的。构造复杂但可疑的公式是很容易的，但即使是复杂的公式，如果使用简单的假设推导出来，也是可以接受的。如果S的增长率直接由指数分布表示，即if1btdSaeS dt=，（51），那么，使用一般方程（6），我们可以发现=.                 （52）等式（50）和（52）给出的解是相同的。不同之处在于参数s a和b的定义方式。使用等式（48）给出的线性表示的优点是，它可以清楚地证明增长率是否遵循指数分布。例如，数据的指数描述适用于1963年至2017年的增长率，描述世界人口的增长。表2：。

描述复杂分布的线性近似扩展应用示例。行ar Ap pr o ximat ion相应的分布NFS≡;1 dFa btF dt=+2exp exp（0.5）S C在bt= +lnFS公司≡;1 dFa bFF dt=+1expatbS Cea--= -1F a btR≡=+;1 dSRS dt≡1/（）bS C a bt=+ln R a bt=+；1 dSRS dt≡expabteSeb=我们还可以有其他增长率的例子，其描述可以简化为线性近似。例如，对世界国内生产总值（GDP）的分析表明，增长率遵循一种熟悉的数学分布（Nielsen，2015a）。RON W.NIELSEN11（）rtdSR a beS dt--≡=-（53）通过使用以下等式，也可以将此分布减少为线性分布≡ -=-.                （54）这听起来可能会使它变得更复杂，但这并不是因为，如前所述，数据与直线的偏差可以很容易地检测出来，而使用直线可以作为一种方便的测试，来检验我们对增长率数据的数学解释是否正确。在全球经济增长的情况下，由等式（54）给出的线性分布证实了由等式（53）描述增长率的假设是正确的。微分方程（5 3）的解为（）1（）exp lnrttS t C a bea ra-= +-.                  （55）随着1/a的增长率，该分布逐渐变为指数分布。例如，要理解只有增长率的总体趋势才能决定相应增长项目的总体趋势，这一点很重要。

因此，只有增长率的一般趋势才能用于预测增长结构，因为它们不会影响一般增长趋势。此外，在再现增长率的一般趋势时，必须使用不严重依赖于数据范围的函数。合适的函数是直线、指数函数或任何其他可以简化为直线的函数，例如等式（53）所描述的函数。不应使用高阶多项式。它们适用于再现生长轨迹或将其用于梯度多项式插值，但不适用于预测，因为它们的形状严重依赖于数据范围。图1-3说明了差异方程在趋势分析和预测中的应用。图1：。本文基于Maddison（2010）的数据，提出了两组联合王国人均总产值（GDP/cap）增长率的计算方法。R（Direct）是使用等式（2）直接从GDP/cap数据计算的增长率。R（精化）是使用GDP/c ap数据和平滑梯度计算的。它显示了精细的结构，其被R（直接）的流动所掩盖。RON W.NIELSENFigure 1显示了1830年至2008年间，使用Maddison的数据计算得出的英国人均国内生产总值（GDP/cap）的增长率（Maddison，2010）。该图中有两组计算，分别为R（直接）和R（精确）。R（Direct）是使用等式（2）从数据中直接计算的增长率。这种计算结果受到局部梯度的强烈影响。

GDP/cap经验值的微小偏差可能会在大鼠的生长中产生较大的差异。相反，可以预期，增长率的波动仅反映在数据描述增长轨迹的微小变化中。R（精化）是使用多项式互极化产生的梯度计算的增长率。然后过滤掉随机局部梯度产生的噪声，并显示出明显的趋势。我们现在可以看到，增长率实际上是在缓慢振荡。这些温和的振荡被R（直接）的强烈波动所掩盖。我们现在的第一步是直接或通过使用插值梯度和d，使用增长率的离散值，计算数据，来计算增长实体的增长轨迹，在我们的情况下是GDP/cap。为此，我们必须对以下微分方程进行数值积分：1edSRS dt=，（56），其中r表示r（直接）或r（精化）的离散值。这些计算结果如图e 2所示。与方程（56）的数值积分结果相比，这些图的顶部部分显示了完整的数据范围。不幸的是，计算结果在a处被忽略了。为了更好地查看它们，我们必须显示较小的数据部分，如图2的下半部分所示。我们现在可以看到，随着数据的增长率（直接）的大幅波动，GD P/cap ar e Association的增长轨迹出现了小幅度的波动。缓慢变化的增长率R（精确）很好地再现了GDP/cap的一般趋势。图2：。

使用增长率Sr（直接）和R（精炼）对方程（56）进行数值积分的结果如图1所示。人均国内生产总值（GDP/c ap）以1990年国际货币卡米元计算。计算结果被数据所掩盖。为了更清楚地看到它们，图的下半部分显示了数据a范围的较小部分。绿线表示使用R（Direct）波动值计算的曲线。它不是通过数据绘制的线。罗恩·W·尼尔森（RonW.NIELSENOur）下一步是看看增长率的分析表示如何反映在GDP/cap的增长轨迹中。为此，我们必须解析地求解以下微分方程：1（）dSftS dt=，（57），在我们的例子中，（）fts要么是拟合到R（精化）的直线，如图3顶部所示，要么是生成R（精化）的第六或第三多项式。对R（直接）的最佳线性拟合是虚拟的，而对R（精确）的最佳线性拟合也是虚拟的。这些分布由以下方程式给出：（）f t a bt=+（58）和60（）iif t at==∑.                   （59）其参数为：28.964 10a-=-×，55.459 10b-= ×，601.41012a-= ×，314.3318 0a=×，025.5 1051a-= ×，333.78 17 0a-= ×641.45 103a--= ×1052.974 10a-= ×和1462.53 15 0a-×-=.图3：。方程式（57）的分析解显示在该图的下半部分，其中（）ftrepresentedeith er b y a str a right lin e r b y the si xth-order poly-nomial fitted to r（finished），如上半部分所示。直线拟合到R（直接）与直线拟合到R（精确）在虚拟上是相同的。为了显示这两种分析解决方案之间的差异，下面部分的数据以10年为单位显示。

虽然对应于六阶多项式的解在GDP/cap的增长轨迹上再现了温和的振荡，但对应于增长率的直线表示的解再现了经济增长的一般趋势，因此非常适合预测增长轨迹。方程（57）的RON W.Nielse解由方程（6）给出。它们位于图3的下部。与六阶多项式相关的解精确地跟踪数据，并再现生长曲线中的小振荡。不幸的是，由于计算的目标端在数据范围内，因此无法使用高解决方案进行预测，正如我们在图3的op p ar t中所看到的那样。通过六阶多项式计算的增长率仅在速率数据的严格范围内是真实的。因此，我们只剩下e解，它并不严重依赖于增长率数据的范围，该解对应于描述增长率的直线（见图3顶部）。正如我们在图3的下半部分所看到的，该解决方案对增长轨迹进行了很好的描述，可以用于预测。一般来说，只要R（精化）围绕或紧随一条直线或一些其他函数缓慢振荡，而这并不依赖于数据的变化，R（精化）的s u ch简化表示不仅可以成功地用于描述时间依赖性服务，而且可以用于ecast In g的可靠性。然而，对于较大的振荡，对趋势的预测是不可靠的。

趋势必须表现出一定程度的稳定性才能预测。既然我们了解了增长率的哪些特征在预测中很重要，我们就可以开始使用世界增长率的anex。我们可以将我们的计算与联合国最近进行的工业计算相比较（2 0 1 5）。图4的顶部显示了直接根据人口数据计算的世界人口增长率（美国人口普查局，2017年）。在这种情况下，数据的质量非常好，因此没有必要进行梯度插值。图4：。世界人口增长预测。根据美国人口普查局（2017年）的数据，使用增长率的两种表示（指数和线性近似）来生成世界人口增长轨迹。这些计算结果与联合国项目（2015年）一致。联合国出版物没有提供关于22世纪人口增长的信息。RON W.NIELSENIn为了预测增长，我们似乎有两个明显的选择：（1）使用1963年至2016年的各种增长率数据，这可以用指数函数很好地描述，或者（2）假设从2000年左右开始，增长率现在沿着一个早期下降的轨迹稳定下来。基于指数分布与增长率拟合的世界人口增长预测可以被认为是更可靠的，因为它是基于广泛的数据，但仍然有可能增长率现在将遵循alinearly递减轨迹。计算结果如图4的下半部分所示。对应于指数递减增长率的轨迹由等式（52）给出。