微分方程在投影生长轨迹中的应用

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英文标题：
《Application of Differential Equations in Projecting Growth Trajectories》
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作者：
Ron W. Nielsen
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Mathematical method based on a direct or indirect analysis of growth rates is described. It is shown how simple assumptions and a relatively easy analysis can be used to describe mathematically complicated trends and to predict growth. Only rudimentary knowledge of calculus is required. Projected trajectories based on such simple initial assumptions are easier to accept and to understand than alternative complicated projections based on more complicated assumptions and on more intricate computational procedures. Examples of the growth of population and of the growth of the Gross Domestic Product are used to illustrate the application of this method of forecasting.
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中文摘要：
描述了基于直接或间接增长率分析的数学方法。本文展示了如何使用简单的假设和相对简单的分析来描述数学上复杂的趋势和预测增长。只需要微积分的基本知识。基于此类简单初始假设的投影轨迹比基于更复杂假设和更复杂计算程序的备选复杂投影更容易接受和理解。用人口增长和国内生产总值增长的例子来说明这种预测方法的应用。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Application_of_Differential_Equations_in_Projecting_Growth_Trajectories.pdf (1.05 MB)

2022-5-31 19:42:54 上传

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关键词：微分方程 Mathematical Quantitative Differential Applications

描述了基于直接或间接增长率分析的微分方程在预测增长轨迹中的应用。它展示了如何使用简单的假设和相对简单的分析来描述数学上复杂的趋势和预测增长。只需要微积分的基本知识。基于此类简单初始假设的投影轨迹比基于更复杂假设和更复杂计算程序的备选复杂投影更容易接受和理解。用人口增长和国内生产总值增长的例子来说明这种预测方法的应用。关键词预测；微分方程；增长率分析；增长趋势1。趋势的数学分析可能很复杂，也可能过于简单。复杂的分析可以基于蒙特卡罗模拟（Rubinstein和Croese，2016）或统计建模（Hyndman和Arthanasopoulos，2014；Makidakis，Wheelwright和Hyndman，1998），而过于简单的分析通常是基于将直线或其他一些分布直接设置为与时间相关的凹痕序列。直接应用于数据的数学模型可以用来描述数据，但它们在预测中的应用有限。特别是，高阶多项式不适用，因为它们的参数强烈依赖于时间序列的范围。

基于蒙特卡罗计算或统计模型的复杂分析可能被认为更可靠，但由于更复杂，它们更不容易获得，甚至可能更不可靠。我想提出另一种分析时间依赖性序列和预测的方法，即基于增长率数学分析的方法。所提出的方法得到了基本观察的支持，即增长率的波动和振荡对相关趋势没有本质影响（尼尔森，2016a，2016b）。增长率的分析可以大大简化。他们，或他们合适的精确替代品，甚至可以用直线来拟合。澳大利亚昆士兰州黄金海岸校区格里菲斯大学环境期货研究所suchAKA Jan Nurzynski使用基本微积分。电子邮件：r。nielsen@griffith.edu.au，则，ronwnielsen@gmail.comHow引用本文：Nielsen，R.W.（2017）《微分方程在预测增长轨迹中的应用》。《经济目录学杂志》，4（3）。即将到来的https://arxiv.org/pdf/1705.06557RON尼尔森（W.NIELSENsimple）对数据的初始描述可以转化为在数学上更复杂的趋势描述，并用于预测。在科学中，与基于复杂假设和复杂数学程序的解释相比，基于简单假设的描述和解释总是更可取、更容易被接受。趋势可能很复杂，但这并不意味着它们的描述必须基于复杂的假设。很容易引入一系列复杂的假设，然后导出tr端的复杂描述。真正的挑战是使用尽可能最简单的假设，同时还要描述最复杂的趋势。

本文的目的是想知道如何做到这一点。通常建议将数据分析简化为直线，原因有三：（1）直线是最简单的数学函数，（2）数据与直线的任何偏差都可以很容易地检测出来，（3）描述直线的参数不严重依赖于数据的范围。数据的直线描述还包括指数表示，因为通过使用分析数据的对数算法，可以将指数函数完全导出为线性函数。我将展示如何将趋势分析简化为时间依赖性事件的简单表示，以及如何使用基于这种简单假设的参数来描述更复杂的数学趋势。2、数学方法——基本增长率由以下方程式定义：1 dSRS dt≡（1） 其中（）是所属实体的大小，t是时间。根据数据进行的直接计算为：1111IIII ISRST t+++-=-.                （2） 例如，可以表示总生产量（GDP）或人口的规模。增长率分析在预测增长中的应用应该是显而易见的，因为增长率决定了我们未来的预期。例如，指数增长以恒定的增长率为特征。这种增长在足够长的时间内是不可持续的。

因此，如果我们能够看到描述经济增长率（例如，经济增长率）的var i和Constan t Value，我们可以将这种模式视为警告信号，因为uc h a增长必然会放缓。因此，很明显，如果增长率不是恒定的，而是随着时间的推移而增加，那么增长会更加糟糕，因为它甚至会变得不可持续。唯一可以长期持续甚至在适当的情况下独立调节的增长是由一个下降的增长率引起的增长特征。如果增长率下降到零，则增长率将达到最大值；如果增长率渐近接近零值，则增长率将达到一定的平衡水平。因此，即使没有进行任何elabora计算，我们也无法预测增长是否可能是可持续的。然而，增长率的数学分析有助于更准确地预测增长。然后，我们不仅可以判断增长可能是可持续的还是不可持续的，还可以更密切地研究公共信息和通信技术的发展轨迹。S u ch S研究可以帮助确定项目经济不可持续的时间，或者如何调节增长率以达到所需的最大值或所需的平衡水平，以及何时。此处描述的Mathemati ca l方法是一种gen-er-al应用，可用于数据的y型，如在足够的深度变量上使用气体，以便使用方程（2）计算生长大鼠的eby。所述方法可用于任何类型的生长。

如果我们有足够多的数据，我们可以使用它们来确定经验增长率，进行数学分析，使用theRON W.NIELSENdi ffer en tia l cal cul t t t t来记录这种分析在趋势描述和预测中使用我称之为确定分布的数学模型。如果使用适当定义的分布（而不是S）来进行数据分析，则起点是计算（F）的增长率：1（）1（）（）dFS FSRFS dt FS t≡≈.                （3） 同样，我们可以使用方程（2）来计算增长率R，但现在我们在这个方程中都使用（）fs，而不是S。无论我们在此类计算中使用的是S还是（）Fs，它们通常都会产生S的强烈波动。如果数据质量非常好，波动S将很小或可以忽略不计。然而，一般来说，它们将非常大，并且它们将沿着生长大鼠e的总体趋势。我们仍然可以根据这种波动的生长率拟合一条直线，并用它来预测生长，但如果我们想揭示生长大鼠e的总体趋势，我们就必须消除局部梯度/St的观察效应或/英尺通过多项式插值。增长率可以表示为时间的函数，也可以表示为增长实体大小的函数。我们现在将讨论这两种可能性。表1总结了在趋势描述和预测中，差异因素在预测中的基础应用。如果经验确定的增长率可以用一个特定的时间相关函数来描述，即if1（）dSftS dt=，（4），那么为了找到数据的数学表示，我们必须求解以下微分方程：（）dSftS dtS=。

（5） 它的解是（）exp（）S t f t dt=∫.                （6） 如果（）f t r const==，（7）等式（4）的解由指数函数（）rtS t Ce=，（8）给出，其中C与积分常数有关。方程（8）描述了指数增长，if0r>或减少if0r<。如果经验确定的增长率可以用一条标准线来表示，即If（）f t a bt=+，（9）其中a和b是常数s，则thenRON W.NIELSEN2（）在bt下的经验t C为0.5S= +.                    （10） 在这种情况下，（）Stis2（）（）exp 0.5dS tC a bt在btdt的梯度=++.                       （11） 对于参数a和b的适当组合，方程（10）给出的分布将在a bt+=时达到最大值，即。at/t ab=-.如果经验上确定的增长率可以用一个与大小相关的函数（）fS来描述，即if1（）dSfSS dt=，（12）我们可以将这个等式表示为（）dSdtS fS=·.                          （13） 我们现在有一个数学上更复杂的问题，因为这类微分方程的解没有单一的公式。在这个例子中，当f s r const==解再次由一个表达式表示时。如果下一个最不复杂的步骤是由直线表示的，即如果f s a bS=+，（14），则我们有以下微分方程：（）dSdtS a bS=+。

（15） 为了找到如何积分等式的左侧h和侧面，我们考虑一个一般情况：（）（）（）dxa bx c ex++，（16）其中a、b、c和e是常数。为了积分这个分数，我们将它分为两个分数：1（）（）（）（）（）ABa bx c ex a bx c ex=+++，（17）其中a和b是常数，我们现在必须确定。方程式（17）的钻机ht-h和sid e可表示为（）（）（）（）（）（）（）（）（）A B c ex A bx Ba bx c ex A bx c ex A bx c ex+++=+++。（18） RON W.Nielsenb通过比较等式（17）和（18），我们可以看到（）（）1c ex A bx B++=，（19）wh ich给我们提供了两个方程组：1cA aB+=，（20a）0eA bB+=。（20b）他们在isbA上的SOL uti=,                                   （21a）eB=-,                             （21b）其中CB ae= -.                            （22）现在，方程（17）可以由1 11（）（）（）（）替换为bea bx c ex a bx c ex=-+ + + +.                 （23）该方程左侧的积分被两个简单fr动作的积分所取代。积分可以通过替换s来完成。因此，例如，如果我们使用a bx=+我们得到1 11ln ln（）dudx u a bxa bx b u b===++∫∫.                 （24）因此，1ln（）（）dx a bxa bx c ex c ex+=+++∫.                      （25）我们得到了一个有用的一般形式的积分。在par ti cul ar中，我们可以看到以下内容：dx a bxx a bx a x+=-+∫,                       （26）因为0c=、1e=和con s eq u entlya=-.我们现在已经开始解方程（15）。方程两边的积分（）dSdtS a bS=+∫∫（27）RON W。

NIELSENgives1lna bStCaS公司+-=+,                         （28）其中C i是整合常数。简单的算术运算可以得到以下等式（15）的解：1atbS Cea--= -.                         （29）常数C可以通过对特定时间0t，001atbCeSa的数据进行标准化计算来确定= +,                         （30）其中，是所选时间段内增长实体（如GDP）的经验大小。如果b s r const+=，即如果增长率为constant t，则等式（29）表示单一增长。Ifa bS const+≠我们有两种可能性：由bS+表示的增长率可以随增长实体的大小增加或减少：1 dSa bSS dt=+。（31）如果0b<，则等式（29）表示增长的逻辑类型。这类增长的特征是其线性下降的增长率。增长实体的相应大小S在符号上接近ASB的最大值∞=.                              （32）等式（32）定义了生长的数学极限，通常将其错误地描述为承载能力，但只有当参数a和b与定义明确且充分探索的生态极限明确且令人信服地相关时，它才是承载能力；否则，计算的限值∞只是计算出的增长极限，它可能代表也可能不代表承载能力。例如，如果我们考虑GDP的增长，如果我们根据经验确定参数a和增长率的经验值，那么计算结果将是正确的∞因为过去的经济增长可能是在不安全的情况下发生的，甚至在达到计算极限之前，经济崩溃也可能发生∞.

因此，将物流限制描述为承载能力可能很难，最好不要这样描述。使用等式（10）时，同样的注释也适用于计算的最大值。calculatedmaximum，即使基于经验确定的参数a和b，也只是calculatedmaximum。它也没有描述承载能力。在资源有限的情况下，甚至在使用emp ir ICAL确定的所有参数计算出最大值之前，增长可能会持续。如果0b>那么，根据等式（29），增长在时间上接近奇点（逃逸到i nfinity）a Ron W.NIELSEN1lnsbtta aC==-.                        （33）这种类型的增长类似于双曲线增长，其特征是历史经济增长和人口增长（von F oe r st er，Mor a&Ami ot，1960；Nielsen，2014，2016c，2016d，2016e）。超bolicgrowt h（或更精确地说，一阶超bolic生长）由以下简单等式给出：1（）S C bt-= -,                           （34）其中0b>。当Tttb===时，双曲线i c增长es cap es至无穷大。（35）表1。基金在预测趋势时使用增长率的线性近似值的基本方程。Lini ar A ppr o x im at ion相应的分配建议1DSA btS dt=+2exp 0.5S C at bt= +当a bt+=1 dSbSS dt=1（）S C bt时，S达到最大值-= -If0b>，双曲线增长。/st处的奇点Cb=。倒数值，1/S，d随时间递减。1 dSa bSS dt=+1atbS Cea--= -If0b>：伪超曲线增长。奇点at1lnsbta aC=-. 倒数值在li n早期下降至/ba-whentt公司∞→.If0b<：物流增长。