利用衍生工具进行动态指数跟踪和风险敞口控制

因此，（2.1 0）右侧的系数矩阵行是线性相关的。我们得出以下命题：命题2.1（2.9）中的衍生品组合具有漂移αt和暴露系数（βt，η（1）t，…）的必要条件。。。，η（d）t）相对于（St，Y（1）t。。。，（2.1）和（2.2）中定义的Y（d）t，用于0≤ t型≤ T是αT- r+eγ（0）tStβt+eγ（1）tY（1）tη（1）t++eγ（d）tY（d）tη（d）t=0，（2.12）对于所有t∈ [0，T]。我们称条件（2.12）为跟踪条件。对于上面的一般差异框架，f（2.12）的左手侧随时间变化是随机的。如果（2.12）保持路径不变，则几乎可以按照预期准确控制曝光。在某些特殊情况下，跟踪条件（2.12）是一个与因子（可实现）暴露系数和指数相关的确定性方程。然而，一般来说，人们无法预测这一点。相反，假设动态位移系数（βt，η（1）t。。。，η（d）t）由tradera priori预先规定，则跟踪条件（2.12）表明相关投资组合必须服从随机投资组合漂移αt=r-eγ（0）tStβt-eγ（1）tY（1）tη（1）t- ... -eγ（d）tY（d）tη（d）t.（2.13）换言之，投资者无法在此一般差异框架中同时自由控制目标漂移和所有市场风险。事实上，我们在我们的示例中采用这一观点，并在以下章节中讨论，并研究受控暴露对portfoliodynamics的影响。

更一般地说，跟踪条件告诉我们，在投资组合的d+2演化来源（漂移和d+1市场变量）中，我们只能选择其中d+1的系数（除非上述条件恰好适用于该特定模型）跟踪条件（2.12）意味着跟踪策略的线性系统（至少）有一个冗余方程。我们有效地有一个（d+1）-乘以N的系统，因此使用N>d+1的激励是不必要的，并且在许多具有相同期望路径属性的投资组合中产生收益。然而，精确地使用N=d+1导数会导致一种独特的策略，并给出所需的路径属性。备注2.2我们已经解释了存在于任何差异模型中的一种重复性来源。然而，根据衍生工具类型及其对指数和因素的依赖性，可能会出现其他潜在冗余。事实上，所选的导数集可能不允许结果系统具有唯一的解。为了了解这一点，我们在第3.2节的赫斯顿模型中提供了一个示例（见示例3.1）。这可以通过在投资组合中加入新的衍生工具类型来弥补（参见示例3.2）。考虑到指数和因子敞口系数是常数，且跟踪条件成立，我们可以明确描述投资组合动力学，并说明投资组合收益率和目标收益率之间的随机差异。命题2.2给定恒定暴露系数，即βt=β，η（1）t=η，η（d）t=ηd，t型∈[0，T]和一个策略（w（1）T。

，w（N）t）0≤t型≤t解决了系统（2.10），然后投资组合价值定义（2.9）接受表达式xUxt=SuSt公司βdYi=1Y（i）uY（i）t！ηieRutZvdv，（2.14）对于所有0≤ t型≤ u≤ T，其中S和（Y（1）。。。，Y（d））满足（2.1）和（2.2），且zt：=αt+β（1- β） dXj=0σ（0，j）tSt+dXi=1dXj=0ηi（1- ηi）σ（i，j）tY（i）t！(2.15)- βdXi=1dXj=0ηiσ（i，j）tY（i）tσ（0，j）tSt-dXi=1dXl=i+1dXj=0ηiηlσ（i，j）tY（i）tσ（l，j）tY（l）t证明。应用Ito的公式，我们写下d log（St）和d log（Y（i）t）的SDE，对于每个i:d log（St）=dStSt-dXj=0σ（0，j）tSt！dt，（2.16）d log（Y（i）t）=dY（i）tY（i）t-dXj=0σ（i，j）tY（i）t！dt。（2.17）接下来，我们将d log（St）乘以β，将每个d log（Y（i）t）分别乘以ηi，并将这些与αtdt相加，得到αtdt+dXj=1ηjd log（Y（j）t）+βd log（St）=dXtXt-dXi=1dXj=0ηiσ（i，j）tY（i）t！dt公司-βdXj=0σ（0，j）tSt！dt。（2.18）现在，将伊藤公式应用于log（Xt），我们得到dxtxt=d log（Xt）+dXtXt文件.将其应用于（2.18），我们得到αtdt+dXj=1ηjd log（Y（j）t）+βd log（St）=d lo g（Xt）+dXtXt文件-dXi=1dXj=0ηiσ（i，j）tY（i）t！dt公司-βdXj=0σ（0，j）tSt！dt。（2.19）由于存在战略（wt）0≤t型≤t通过平方（2.20），解出（2.10），（2.9）中的投资组合满足SDEdXtXt=αtdt+βdsst+dXi=1ηidY（i）tY（i）t.（2.20），我们得到dXtXt文件=βdStSt公司+dXi=1ηidY（i）tY（i）t+dXi=1βηidY（i）tY（i）tdStSt+dXi=1dXl=i+1ηiηldY（i）tY（i）tdY（l）tY（l）t=βdXj=0σ（0，j）tSt！dt+dXi=1dXj=0ηiσ（i，j）tY（i）t！dt+βdXi=1dXj=0ηiσ（i，j）tY（i）tσ（0，j）tStdt+dXi=1dXl=i+1dXj=0ηiηlσ（i，j）tY（i）tσ（l，j）tY（l）tdt=αtdt+βdXj=0σ（0，j）tSt！dt+dXi=1dXj=0ηiσ（i，j）tY（i）t！dt公司- Ztdt，（2.21），其中ZT在（2.15）中定义。接下来，将（2.21）代入（2.19）并重新排列，我们得到投资组合的对数收益与指数和因子的对数收益之间的联系：d log（Xt）=dXj=1ηjd log（Y（j）t）+βd log（St）+Ztdt。

（2.22）Upo n积分（2.22）和指数运算，我们得到了期望的结果。我们将随机过程Ztin（2.15）称为滑动过程，因为它通常是负的，并且描述了投资组合收益与目标收益的偏差。特别是，利用（2.14）中的对数，我们可以得到投资组合的对数收益率和指数的对数收益率之间的关系，以及任何给定时期内的每个因素，即对数XuXt公司= β对数SuSt公司+dXj=1ηilogY（i）uY（i）t+ZutZvdv。前两项表明，投资组合的对数回报率与指数及其驱动因素的对数回报率成比例，比例系数等于所需的风险敞口。然而，投资组合的对数回报受综合滑移过程的影响。对指数波动率的平方进行积分，得出已实现的方差。因此，投资组合价值X类似于LETF的价格过程（参见Avellaneda和Zhang（2010））不连续时间，除了X还控制各种因素的敞口，除了保持固定的杠杆率βw.r.t.S。我们的框架允许多维模型，因此，投资组合价值和实际滑移不仅取决于潜在因素的实际方差，还取决于指数和因素之间的实际协方差。备注2.3如果我们使用符号，Y（0）t≡ 支架η≡ β、 然后，投资组合价值简化为toXTXt=dYi=0Y（i）TY（i）t！ηjeRTtZudu，滑移过程允许更紧凑的表达式zt=αt+dXi=0dXj=0ηi（1- ηi）σ（i，j）tY（i）t！-dXi=0dXl=i+1dXj=0ηiηlσ（i，j）tY（i）tσ（l，j）tY（l）t。示例2.1如果没有额外的随机因子（d=0），则我们有xtxt=STSt公司βeRTtZudu，and zt：=αt+β（1- β） σ（0,0）tSt！，（2.23）其中σ（0,0）tcan取决于一般局部波动性框架中的t和Stas。

因此，滑动过程不涉及协方差项，但它反映了波动率衰减，这对于具有整数β的杠杆ETF来说是有充分证明的（参见Avellanda和Zhang（2010）以及Leung和Santoli（2016））。如（2.23）所示，当β/∈ [0, 1].示例2.2如果d=1，即一个外生市场因子Y和指数S，则我们有Xtxt=STSt公司β年初至今ηeRTtZudu，and zt：=α+β（1- β） σ（S）tSt+η(1 - η） σ（Y）tYt！- βησ（S，Y）tStYt，（2.24），其中σ（S）t：=rσ（0,0）t+σ（0,1）t,σ（Y）t：=rσ（1,0）t+σ（1,1）t,σ（S，Y）t：=σ（1,0）tσ（0,0）t+σ（1,1）tσ（0,1）t。这里，σ（S）t、σ（Y）t和σ（S，Y）t是t、St和Yt的函数，就像在局部随机波动性框架中一样。除了与指数的实际方差成比例的值侵蚀（第二项在（2.24）中），还有另一个外部因素的实际方差衰减项（第三项在（2.24）中）。实际上，只要Y暴露系数η/∈ [0，1]。除了指数和因子的实际方差外，滑动过程中还有一个术语，用于解释指数和因子之间的实际协方差（最终术语见（2.24））。如果σ（S，Y）t、β和η均为正值，则为负值，这反映了与预期测井回报相关的另一个价值侵蚀源。2.3具有未来期货合约的投资组合也是指数跟踪的有用工具。成熟度期货合约的价格≤ Tkis由f（k）t给出：=f（k）（t，St，Y（1）t。。。，Y（d）t）=EQhSTkSt，Y（1）t。。。，Y（d）ti。（2.25）Feynman-Kac公式意味着价格必须满足f（k）t+eγ（0）tf（k）S+eγ（1）tf（k）Y（1）+…+eγ（d）tf（k）Y（d）+Trh∑f（k）∑i=0，（2.26），对于所有具有严格正分量的向量（s，y，…，yd），终端条件f（Tk，s，y，…，yd）=s。

通过（2.26）和Ito的公式，我们得到df（k）t=-eγ（0）tf（k）S- eγ（1）tf（k）Y（1）- ... - eγ（d）tf（k）Y（d）dt公司+f（k）SdSt公司+f（k）Y（1）dY（1）t++f（k）Y（d）dY（d）t。现在考虑一个自我融资投资组合（Xt）t≥0利用到期日为T，T，…，的N个期货。。。，TNovera交易期限T≤ tk对于所有k.用（u（k）t）0表示≤t型≤T、 k=1。。。，N一种通用的适应策略，以便在时间t时，将现金金额投资于第k个期货合约。假设期货合约持续按市价计价，投资组合价值按照XTXT=NXk=1u（k）tdfTktf（k）t+rdt演变=r+NXk=1u（k）tF（k）t！dt+NXk=1u（k）tG（k）tdStSt+dXi=1NXk=1u（k）tH（k，i）tdY（i）tY（i）t，（2.27），其中系数由f（k）t定义：-eγ（0）tf（k）tf（k）S-eγ（1）tf（k）tf（k）Y（1）- ... -eγ（d）tf（k）tf（k）Y（d），（2.28）G（k）t：=Stf（k）tf（k）S、 （2.29）H（k，i）t：=Y（i）tf（k）tf（k）Y（i），i=1。。。，d、 （2.30）比较（2.28）和（2.6），我们注意到F（k）thas没有r项。再次假设交易员选择动态风险敞口系数（βt）0≤t型≤t关于S的回报，以及每个因子回报的动态暴露系数，（η（1）t，η（d）t）0≤t型≤T、 参见Alexander和Barbosa（2008）等，了解使用指数ETF期货合约的最小方差策略的经验表现。尽管符号相同，但期货的到期日可能不同于第2.2节中的到期日。建立期货头寸是无成本的，因此不涉及借款。进一步假设交易者选择目标动态漂移（αt）0≤t型≤T、 为了使Portfolio获得这些期望的路径特性，我们必须求解以下线性系统αt- rβtη（1）t。。。η（d）t=F（1）t。。。F（N）tG（1）t。。。G（N）tH（1,1）t。。。H（N，1）t。。。H（1，d）t。。。H（N，d）tu（1）t。。。u（N）t.F（k）t、G（k）t和H（k，i）tin（2.28）-（2.30）的定义意味着F（k）t+eγ（0）tStG（k）t+eγ（1）tY（1）tH（k，1）t+。。。

+eγ（d）tY（d）tH（k，d）t=0，（2.31）对于每个k。因此，线性系统的行是线性相关的。因此，为了使系统一致，我们必须要求αt- r+eγ（0）tStβt+eγ（1）tY（1）tη（1）t++eγ（d）tY（d）tη（d）t=0，（2.32）对于所有t∈ [0，T]。事实证明，这与命题2.1中的跟踪条件相同，因此后续讨论也适用于当前的期货案例。然而，与期货相关的跟踪策略可能与其他衍生品的跟踪策略有很大不同。3股票指数跟踪在本节中，我们讨论了我们的框架中捕获的两个主要股票衍生品定价模型，并给出了跟踪条件和策略。3.1 Black-Scholes模型我们考虑在Black-Scholes模型下使用基础指数S的衍生工具进行跟踪，因此没有额外的外部因素（d=0）。在ris k-中性度量下，指数遵循DST=rStdt+σStdBQt，（3.1），其中BQtis是SBM，σ>0是波动性参数。然后，应用命题2.1，Black-Scholes模型下的跟踪条件为αt=r（1- βt），0≤ t型≤ T、 （3.2）下面是几句话。首先，零风险敞口（βt=0）意味着投资组合以风险增长率（αt=r）增长。如果βt=1，则αt=0，这意味着S的完美跟踪是可能的，并且不会出现偏移。该投资组合是通过一些衍生工具对指数的全面投资。根据追踪条件（3.2），如果βt>1，则αt<0。这表明需要借款才能实现基本收益的平均化。此外，只要a sβt<0，我们就有αt>r。因此，通过做空指数，可以实现高于ris无k利率的漂移。

对于0和1之间的任何βt值，策略是交易货币市场账户和基础指数的投资（通过衍生证券）。现在假设本小节其余部分的漂移和曝光系数为常数，即αt≡ α和βt≡ β。更具体地说，交易者通过设置β的值来指定S的风险敞口，因此条件（3.2）意味着固定漂移α=r（1- β） 。通过将提议2.2与条件（3.2）相结合，投资组合价值可以明确表示为xt=XStS公司βe（r+βσ）（1-β） t，（3.3）或等效值校正矩阵= β对数StS公司+ （r+βσ）（1- β） 特别是，滑移过程是一个常数，由zt=（r+βσ）（1）给出- β).它在β中也是二次凹的。因此，β的滑移率为非负∈ [-2rσ-2，1]，否则严格为负。因此，对于间隔外部（和内部）的恒定暴露系数β[-2rσ-2，1]，跟踪投资组合的对数回报率低于（或高于）指数对数回报率的校正倍数（β）。为了更好地理解滑移，我们取r=0.05，σ=0.2。那么，对于任何β/∈ [-2.5，1]，追踪投资组合的对数收益率低于指数对数收益率的相应倍数。为了说明这一点，我们在图2中显示了投资组合值的模拟样本，以及它们各自的基准（其对数回报率等于指数对数回报率的各自倍数），用于β∈ {-1, 2, 3}. 正如所料，当β=2或3时，投资组合的表现低于基准。相反，当β=-1.∈ [-2.5 , 1].实现此类路径属性的相关策略需要使用至少d+1=1导数。仅使用1可获得独特的策略。

为了找到独特的策略，我们可以（在不失去一般性的情况下）求解（2.10）中的相应方程，得到wt=β/Dt。让我们比较一下使用c all期权和期货合约的跟踪策略。首先，考虑一个到期日为tc并敲入K的指数看涨期权。其价格由Black and Scholes（1973）公式给出：=c（t，St）=StN（d+（t，St））- Ke公司-r（Tc-t） N（d）-（t，St）），其中d±（t，St）=对数（St/K）+（r±σ）（Tc- t） σ√Tc公司- t、 N（x）=Zx-∞√2πe-udu。因此，要获得指数回报的β敞口系数，需要保持WTXTCT=βXSStS公司β-1e（r+βσ）（1-β） tN（d+（t，St））（3.4）t时的看涨期权单位。到期时间为Tf的S上期货的价格由ft给出：=f（t，St）=Ster（Tf-t） 堡垒≤ Tf。因此，为了获得系数为β的曝光，需要保持wtxtft=βXSStS公司β-1e（r+βσ）（1-β） t型-r（Tf-t） 。（3.5）时间t的合约。为了获得进一步的直觉，让我们将投资者寻求单位风险敞口（β=1）时的上述策略与预期S进行比较。相应的期货和期权持有量分别为XSe-r（Tf-t） andXSN（d+（t，St））。首先，这些策略可以被视为相关三角洲对冲的互惠。在这个模型下，看涨期权和期货都允许完美跟踪S，因为β=1意味着α=0。然而，这两种策略非常不同。对于看涨期权，策略是随机的，主要取决于指数动态。在图3（a）中，我们展示了K点看涨期权的对冲策略∈ {40、50、60}，共同到期日等于交易结束日（6个月）。每种策略的效果取决于期权的货币性。当St>>K，N（d+（t，St））接近1时，赎回价格的变动与基础股票指数的变动相似。因此，该策略在一段时间内保持不变，如图3（a）中的底部路径所示。

相反，如果使用的期权深度超出货币单位y0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5时间（年）80859095100105美元（$）投资组合平均基准（a）β=-10 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5时间（年）90100110120130140150Dollar（$）PortfolioLeveraged Benchmark（b）β=20 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.5时间（年）801001201601080美元（$）PortfolioLeveraged Benchmark（c）β=3图2：与（a）β=-在Black-Scholes模型下，（b）β=2，（c）β=3。参数：X=100，S，r=0.05，σ=0.2，T=0.5。b enchmark的定义使得其对数回报率等于指数对数回报率的β倍，初始值为100美元。时间（年）0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5股份05101520253600-Strike Call50 Strike Call40 Strike Call（a）期权时间（年）0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.51.81.821.841.861.881.91.921.941.961.9826个月未来1年未来2年期货（b）未来图3：使用（a）不同strikeK的看涨期权时的跟踪策略模拟∈ {40,50,60}a和Tc=0.5，以及（b）到期Tf的期货∈ BlackScholes模型下的{0.5，1，2}。参数：S=50，X=100，r=0.05，σ=0.2，T=0.5。时间（年）0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5股-9-8-7-6-5-4-3-2-160-行使调用50行使调用40行使调用（a）期权时间（年）0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5股-2.1-2-1.9-1.8-1.7-1.6-1.5-1.46个月未来1年未来2年期货URESFigure 4：模拟（a）各种罢工（K）的看涨期权的跟踪策略∈{40、50、6 0}和Tc=0.5）和（b）不同期限的期货合约（Tf∈ {0.5, 1, 2}).这些策略的目标是β=-1超过交易水平，直到T=0.5。参数为S=50、X=100、r=0.05和σ=0.2。