利用衍生工具进行动态指数跟踪和风险敞口控制

为了便于比较，这些策略基于图2中使用的参考索引的samplepath。（St<K），则N（d+（t，St））接近于0，这意味着投资者需要持有该看涨期权的许多单位，在这种情况下，其pe r单位价格几乎为零，以获得对指数S的有效直接敞口。因此，随着时间的推移，小的变动可能导致持有量发生很大的变化（见图3中的顶部路径）。对于期货，即使合约价值是随机的，策略也是时间决定的，头寸在无风险利率下随时间呈指数增长。在图3（a）中，我们比较了不同到期日的期货合约对应的头寸，并注意到跟踪短期期货需要投资组合中更多的期货单位。图4显示了风险系数β=- 正如预期的那样，会使用空头头寸，但当期权在资金中的比例最大（K=40）时，期权策略最不稳定（尤其是最不稳定）。期货策略不再是时间决定型的，尽管头寸仍显示出日益成熟的趋势。事实上，股票期货策略现在与S成正比-2，如（3.5）所示，当β=-1、与各到期日相比，最短期（尤其是最长期限）期货的空头头寸最多（最少），但所有到期日的空头头寸均为负值。3.2赫斯顿模型我们现在讨论赫斯顿（1993）模型下股票指数的跟踪问题。在风险中性测度下，参考指数和随机波动率因子的动态由DST=rStdt+pYtStdBQ，0tdYt=eκ（eθ- Yt）dt+νρpYtdBQ，0t+p1- ρpYtdBQ，1t,其中，BQ，0和BQ，1是两个独立的SBM和ρ∈ (-1，1）是瞬时相关参数。

随机波动率因子Y不可交易，由Cox-Ingersoll-Ross（CIR）过程驱动。如果我们假设Feller条件2eκeθ≥ ν（见Feller（1951））和Y>0，则在风险中性度量下，Y始终严格为正。在赫斯顿模型下，跟踪条件（2.12）变为αt=r（1- βt）- eκeθYt- 1.ηt，0≤ t型≤ T、 投资组合受随机漂移αT的影响，只要ηt6=0和βt6=1，该漂移αT就不会消失。因此，无法实现完美的跟踪。让我们将系数设置为b e常数，即对于所有t，βt=β，ηt=η∈ [0，T]。在HestonModel中，一个投资组合通常需要至少d+1=2个衍生工具来控制两个随机性来源的风险敞口。我们从2×2系统中求解指数暴露β和因子暴露η：βη=D（1）tD（2）tE（1）tE（2）t！w（1）tw（2）t！。第二个上标被抑制在因子弹性上，因为只有一个外部因子。

通过简单的反演，投资组合权重为w（1）t=βE（2）t- ηD（2）tD（1）tE（2）t- D（2）tE（1）t，w（2）t=-βE（1）t+ηD（1）tD（1）tE（2）t- D（2）tE（1）t.（3.6）当然，只有当D（1）tE（2）t6=D（2）tE（1）t.（3.7）时，该解决方案才有效。例如，在具有不同行使的S上使用两个欧洲看涨期权（或看跌期权）可以产生与给定系数β和η相关的预期敞口的交易策略。然而，当只使用期货时，可能会出现问题，我们将在下面讨论。例3.1使用S上的两个期货，到期日为T（k）f（k=1，2），相应的组合权重由u（1）T=βH（2）T给出- ηG（2）tG（1）tH（2）t- G（2）tH（1）t和u（2）t=-βH（1）t+ηG（1）tG（1）tH（2）t- G（2）tH（1）t，（3.8），前提是G（1）tH（2）t6=G（2）tH（1）t。因为期货价格为fTkt=Ster（t（k）f-t） ，对于k=1，2，弹性（见（2.29）-（2.30））简化为t=StfT（k）ft英尺（k）fS=1，H（k）t=YtfT（k）ft英尺（k）fY=0。然而，这意味着G（1）tH（2）t=G（2）tH（1）t=0，因此（3.8）中的策略没有很好地定义。因此，对于任何非z-ero系数β和η，通常不可能构建一个期货投资组合，以产生与指数和随机波动率因子相关的预期敞口。如例3.1所示，为了获得S和Y的曝光，导数需要对Y具有非零灵敏度。如果投资者不寻求Y风险敞口（即η=0），那么她只需要S上的一个期货来获得相应的波动中性投资组合。接下来，我们展示了通过包含Y的期货，我们可以获得一个跟踪投资组合，该投资组合可以产生S和Y的任何期望敞口。示例3.2赫斯顿模型可被视为市场指数和波动性指数的联合模型。

由于其共同的均值回复特性，CIR过程也被用于对波动率指数进行建模（见Gr¨u bichler和Longsta off（1996）以及Menc'ia和Sentana（2013）等）。假设市场指数S上存在期货，波动率指数Y上也存在期货，并考虑这两个期货合约的动态投资组合。我们用上标1表示指数（到期Tf）上的期货，用上标2表示方差过程（成熟度）上的期货。S上Tf期货和Y上Ty期货的价格分别由FTFT=Ster（Tf）给出-t） 和gTyt=Yte-eκ（Ty-t） +eθ（1- e-eκ（Ty-t） ）。相关价格弹性为G（1）t=1、H（1）t=0、G（2）t=0和H（2）t=Ytgyte-eκ（Ty-t） 。从系统中可以找到利用系数β和η实现暴露的策略（u（1）t，u（2）t）：βη=G（1）tG（2）tH（1）tH（2）t！u（1）tu（2）t！。系统允许一个唯一的解决方案，产生投资组合权重：u（1）t=β，u（2）t=η+ηeθYteeκ（Ty-t）- 1..有趣的是，投资组合权重u（1）t（分别u（2）t）仅取决于β（分别η）。最后，我们讨论了赫斯顿模型下的滑移过程。应用命题2.2，weobtainZt=r- rβ- eκeθYt- 1.η +β(1 - β） Yt+η（1- η） νYt- βηνρ. （3.9）术语β（1- β） Ytin（3.9）表示当前的s lippage zt取决于指数s的瞬时方差Y。类似地，η（1- η） νy反映了滑移对增益的依赖性，第二个上标被抑制在因子弹性上，因为这里只有一个外生因子。随机波动率Y的瞬时方差。与Black-Scholes案例一样，对于η/∈ [0，1]，这一术语是否定的。最终期限-βηνρ是指数和股市波动率之间的不稳定协方差。由于ν>0，每当βηρ<0时，该项为正。

当（i）三个都是负数，或者（ii）正好1是负数时，就会发生这种情况。由于股票收益率和波动率通常是负相关的（ρ<0），因此长期保持指数和随机波动率（β，η>0）可以产生正回报。由于波动性衰减，该协方差项可能会造成一些损失。4波动率指数跟踪在本节中，我们讨论两个连续时间模型下波动率指数VIX的跟踪。Gr¨ubichler和Longstaff（1996）以及Menc'a和Sentana（2013）等人首次将这些模型应用于波动性期货和期权的定价。我们扩展了他们的分析，以了解VIX衍生品投资组合和VIX ETF的跟踪表现。4.1 CIR模型本节中用S表示的波动率指数遵循CIR过程：dSt=eκeθ- St公司dt+σpStdBQt，（4.1），常数参数eκ、eθ和σ>0。如果我们假设Feller条件2eκeθ≥ σ（见Feller（1951））和S>0，则S几乎可以肯定始终保持严格正。我们省略了SBM B上的seco ndsup erscript，因为此模型中只有一个SBM。在循环模式下，（2.12）的跟踪条件变为αt=r- βteκeθSt- 1.（4.2）对于所有t∈ [0，T]。因此，对于任何给定的风险系数βt，存在一个非零随机漂移，取决于St的倒数。特别是，如果βt=0，则αt=r，我们通过消除波动指数的风险来恢复无风险率。接下来，假设βt=1，表示对波动率指数的100%敞口。然后，随机漂移的形式为αt=（eκ+r）St- 当STI低于（高于）临界水平eκeθeκ+r时，eκeθSt（4.3）为负值（分别为正值）。

此外，如果r=0，则临界值等于toeθ。然后，当Stmean恢复到toeθ时，漂移平均等于0，但仍然是随机的。此外，根据命题2.2，滑移过程存在任何常数β∈ IR模型中的R由zt=R给出- βeκeθSt- 1+β(1 - β） σSt。第二项反映了S的平均回复路径行为。由于eθ是S的长期平均值，该项预计将随时间保持在零附近，尽管与零的偏差与βeκ成比例。最后一项涉及波动率指数σSt的方差，且β严格为负/∈ [0，1]，导致价值流失。最后，我们观察到Zt是St的一个函数-1，这是一个逆CIR过程。这种过程的矩和其他状态是众所周知的（seeAhn和Gao（1999）），因此这种形式将有助于理解Zt的分布和计算期望。这种现象被称为不对称波动，Black（1976）首次观察到这种现象。或Gr¨ubichler和Longsta off（1996）术语中的平方根（SQR）过程。或者，我们可以假设eκ>>r，这样eκeκ+r≈ 临界值约为θ。由于波动率指数之外存在一个d=0的因素，d+1=1的衍生工具允许采用独特的跟踪策略。具体而言，我们研究了S期货组合的动态。对于任何到期日T，期货价格为FTT：=f（T，S，T）=EQ[ST | ST=S]=（S-eθ）e-eκ（T-t） +eθ。（4.4）在图5中，我们显示了两个不同日期的波动率指数期货的两个期限结构，并根据CIRmodel进行了校准。术语结构可以是增加凹面或减少凸面（参见。

Li（2016）和Leung和Li（2016）的第5章。）虽然良好的结果进一步表明，CIR模型是波动率指数的合适模型，但我们注意到，存在形状不规则的波动率指数期限结构和校准模型参数经常随时间变化的例子。这促使我们在下一步行动中，在更复杂的波动率模型下研究跟踪问题。到期日0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200价格363840424448505254期货价格拟合（a）2009年2月23日到期日0 20 40 60 80 100 120 140 160价格21222526272829期货价格拟合（b）2009年12月11日图5：2009年2月23日和2009年12月11日观察到的波动率期货的期限结构。期限结构由凸减到凹增。期货交易策略由ut=β+βeθSt给出eeκ（T-t）- 1..（4.5）当然，可以设置β=1来寻求波动率指数的直接敞口。许多VIXETF/ETN试图通过构建具有时间确定性权重的期货组合，获得对VIX（如VXX）的直接敞口。下面的例子说明了这种交易所交易产品如何以及在多大程度上没有达到这一目标。时间（年）0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08价格0.140.150.160.170.180.190.20.210.22VIXVXXFront MonthSecond MonthFigure 6：模拟VXX以及VIX和VXX持有1个月以上的两份期货合约（T=1/12）。参数为S=0.2、eκ=20、eθ=0.2和ν=0.4.2。与VXXLet相比，我们考虑具有时间确定性策略的期货组合。它的价值是根据todVtVt=u（t）dfTi（t）tfTi（t）t+（1）而演变的- u（t））dfTi（t）+1tfTi（t）+1t+rdt，（4.6），其中i（t）：=min{i:Ti-1<t≤ Ti}，T：=0，Ti期货的投资组合权重isu（T）：=Ti（T）- tTi（t）- Ti（t）-1.（4.7）这是受欢迎的VIX ETN、iPath标准普尔500 VIX短期期货ETN（VXX）所采用的策略。

该策略从100%投资前一个月的波动率指数期货合约开始，并将持有量从100%线性减少到0%，而第二个月合约的权重从0%线性增加到100%。图6显示了这样一个具有模拟指数价格的投资组合。具体而言，我们绘制了一个月内的VIX inred和VXX价格（蓝色）。c组分期货（前一个月和第二个月）分别以绿色和紫色绘制。与VIX相比，VXX的易失性显著降低。这可以通过分析证实，因为dVtVt=u（t）St+eθ（eeκ（Ti（t））-t）- 1)+1 - u（t）St+eθ（eeκ（Ti（t）+1-t）- 1)!（dSt）<dStSt公司,其中不等式是由eκ（Tj）引起的- t） >0，因此eθeeκ（Tj-t）- 1.> 0对于任何j。如图7（a）所示，VXX和动态投资组合都无法随时间完美跟踪VIX。然而，与VXX相比，动态组合对VIX的变化更具反应性。在图7（b）中，我们绘制了动态投资组合和波动率指数（顶部）之间以及波动率指数（底部）和波动率指数（顶部）之间的两个年化收益散点图。在两个图上，坡度为1的实线是比较的基准线。动态投资组合虽然不能完美地跟踪波动率指数，但产生的回报与波动率指数非常相似，而且明显比VXX更接近波动率指数。。Time0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5值（$）60708090100110120130PortfolioVIXVXX（a）投资组合演进VIX Return-100-50 0 50 100PF Return-150-100-50050100150VIX Return-100-50 0 50 100VXX Return-150-100-50050100150（b）回归散点图7：6个月期间（T=0.5）VIX、VXX和β=1的动态投资组合的样本路径。参数为S=0.2、eκ=20、eθ=0.2和ν=0.4。面板（a）显示投资组合价值的时间序列，以及波动率指数（VIX）和波动率指数（VXX）的价格路径，随时间从100美元开始。

面板（b）显示了投资组合和波动率指数（顶部）之间以及VXX和波动率指数（底部）之间的年化收益散点图。在两个图上，绘制一条带slo pe1的so lid直线，以进行视觉比较。给定VXX策略（或任何其他策略），我们可以从投资组合的SDE（见（4.6））推断相应的漂移（dt项）和暴露于S（dSt/St的系数），我们分别用α（V）和β（V）t表示。作为一个参考点，如果一个投资组合完美地一对一跟踪波动率指数，那么我们有β（V）t=1和α（V）t=0。正如我们之前对方程（4.3）的讨论所表明的那样，这种完美的跟踪是不可能的，但我们仍然希望说明在α（V）和β（V）t的隐含值中，VXX偏离VIX的程度。让我们分别表示前一个月和第二个月期货的到期日。利用（4.7）中的投资组合权重，我们从投资组合的SDE（4.6）中发现，α（V）t=r+β（V）teκ1-eθSt！，β（V）t=StfTte-eκ（T-t）-tSteeκtTe-eκTfTt-e-eκTfTt.根据实验，我们没有β（V）t=1和α（V）t=0。事实上，这两个系数都是随机的，并且取决于St的水平。在图7中，我们展示了VIX、VXX的样本路径，以及风险敞口系数β=1的两个期货的动态组合。最后一个投资组合试图将VIXone回归为1，但必须服从随机漂移αt6=0。在图8中，我们根据图7中VXX的样本路径绘制了随时间变化的隐含α和隐含β。VXX的隐含β随时间显著变化，始终远离参考值1（单位暴露于VIX）。在整个6个月期间，平均隐含的β流大约为0.23。回想一下，VXX是一个包含前一个月和第二个月期货的多头投资组合，从每个到期日的前一个月100%分配开始。

有趣的是，随着时间的推移，随着VXX在第二个月期货中的配置量越来越多，投资组合价值在每个合约期的一半左右达到其最大值，这表明专注于短期期货并不意味着最接近基础指数。在图8（b）中，我们以年化基点为单位绘制了VXX和β=1的动态投资组合的随机α。对于这两个投资组合，α都不是预期的0。对于β=1的动态投资组合，随机漂移比VXX更易波动，但与图7（b）中所示的回报相比，两者都相对较小。我们通过讨论与β=1（见（4.5））相关的期货交易策略来总结这个例子，无论是只使用前一个月的期货，还是只使用第二个月的期货。回想一下，在该模型中，只有d+1=1的衍生产品才能实现单位风险敞口（β=1），但衍生产品的选择会导致随着时间的推移，投资组合的权重非常不同。为了看到这一点，我们在图9中绘制了两个投资组合权重的样本路径，对应于两个不同期限的期货合约。一般来说，在每个到期周期中，期货策略往往呈指数下降，在到期时，随着投资组合转入新的期货合约，期货策略变得不连续。在每个周期中，前一个月的期货策略大致从5衰减到1。考虑到期货价格将在到期日前收敛于指数价格，很直观的是，前几个月的策略权重为1。直观地看，期货价格通常比指数波动性小，因此预期杠杆作用（权重大于1）会增加投资组合的波动性，以更好地跟踪指数。