利用衍生工具进行动态指数跟踪和风险敞口控制

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英文标题：
《Dynamic Index Tracking and Risk Exposure Control Using Derivatives》
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作者：
Tim Leung and Brian Ward
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  We develop a methodology for index tracking and risk exposure control using financial derivatives. Under a continuous-time diffusion framework for price evolution, we present a pathwise approach to construct dynamic portfolios of derivatives in order to gain exposure to an index and/or market factors that may be not directly tradable. Among our results, we establish a general tracking condition that relates the portfolio drift to the desired exposure coefficients under any given model. We also derive a slippage process that reveals how the portfolio return deviates from the targeted return. In our multi-factor setting, the portfolio\'s realized slippage depends not only on the realized variance of the index, but also the realized covariance among the index and factors. We implement our trading strategies under a number of models, and compare the tracking strategies and performances when using different derivatives, such as futures and options.
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中文摘要：
我们开发了一种利用金融衍生品进行指数跟踪和风险敞口控制的方法。在价格演变的连续时间扩散框架下，我们提出了一种构建动态衍生品投资组合的路径方法，以获得可能无法直接交易的指数和/或市场因素的敞口。在我们的结果中，我们建立了一个一般的跟踪条件，该条件将投资组合漂移与任何给定模型下的期望敞口系数联系起来。我们还推导了一个滑动过程，该过程揭示了投资组合回报如何偏离目标回报。在我们的多因素设置中，投资组合的已实现滑动不仅取决于指数的已实现方差，还取决于指数和因素之间的已实现协方差。我们在许多模型下实施交易策略，并比较使用不同衍生品（如期货和期权）时的跟踪策略和绩效。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Dynamic_Index_Tracking_and_Risk_Exposure_Control_Using_Derivatives.pdf (578.55 KB)

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关键词：动态指数 衍生工具 Quantitative Mathematical Optimization

利用衍生工具进行动态指数跟踪和风险敞口控制*Tim Leung+Brian Ward‐2018年7月7日摘要我们开发了一种利用金融衍生品进行指数跟踪和风险敞口控制的方法。在价格演变的连续时间差异框架下，我们提出了一种构建衍生品动态投资组合的路径方法，以获得可能无法直接交易的指数和/或市场因素的敞口。在我们的结果中，我们建立了一个一般的跟踪条件，该条件将投资组合漂移与任何给定模型下的期望敞口系数联系起来。我们还推导了aslippage过程，该过程揭示了投资组合如何从目标回报中恢复。在我们的多因素环境中，投资组合的实际下滑不仅取决于指数的实际变化，还取决于指数和因素之间的实际共变性。我们在许多模型下实施交易策略，并在使用不同衍生工具（如期货和期权）时比较跟踪策略和绩效。关键词：滑动、指数跟踪、风险控制、已实现协方差、导数分类：G11、G13数学学科分类（2010）：60G99、91G20*au thors感谢KCG Holdings Inc.的支持，2015年年会、2016年暹罗金融数学与工程会议、Thalesians Quantitative Finance研讨会和2016年美国Quant Summit的与会者发表了有益的评论。+华盛顿大学应用数学系，华盛顿州西雅图，邮编98195。电子邮件：timleung@uw.edu.与授权相关。\\8225;纽约哥伦比亚大学工业工程与运筹学（IEOR）系，邮编：10027。

电子邮件：bmw2150@columbia.edu.1简介许多机构投资者和投资者面临的一个共同挑战是有效控制各种市场因素的风险敞口。各种指数旨在提供不同部门和资产类别的不同风险敞口，包括股票、固定收益、商品、货币、信用风险等。其中一些指数可能很难或不可能直接交易，但如果相关金融衍生品在市场上可用，投资者可以进行交易。例如，芝加哥期权交易所波动率指数（VIX），通常被称为恐惧指数，不可直接交易，但投资者可以通过交易VIX上的期货和期权获得指数敞口，并可能对冲市场动荡。为了说明VIX风险敞口的好处，请考虑标准普尔2011年对美国信用评级的降级。2011年4月18日，标准普尔公布了对美国信用评级的负面展望。如图1（a）所示，仅持有SPDR标准普尔500指数ETF（SPY）的投资组合将继续下跌约10%，在2011年8月5日的官方评级之后的几个月内，走势波动较大。相比之下，SPY（90%）和VIX（10%）组合的假设投资组合在降级期间将保持稳定，并最终实现正回报。图1（b）显示了2014年投资组合的相同情况。两者都获得了大致相同的15%回报率，但与SPY和VIX的投资组合相比，SPY Alonew的波动性明显更大。大额提款（例如2014年10月15日）由波动率指数（VIX）的上升所满足，对投资组合的价值产生了稳定作用。时间（天）0 20 40 60 80 100价格859095100105110Spy w/VIXSPY（a）2011年4月-2011年9月时间（天）0 50 100 150 200 250价格95100105110115120Spy w/VIXSPY（b）2014年1月-D ec。

2014年图1：2011年4月至2011年9月20日期间，以及2014年1月至2014年12月期间，SPY以10%的财富投资于VIX的对冲投资组合。该示例推动了对交易策略的调查，以跟踪波动率指数和其他指数，或实现与指数或市场因素相关的任何预先规定的风险敞口。许多ETF或ETN通过维护与指数相关的证券组合（如期货、期权和掉期）来提供指数敞口。然而，一些ETF或ETN往往未达到其设定的目标，而一些ETF或ETN往往会随着时间的推移表现明显低于目标。一个例子是巴克莱的iPath标准普尔500波动率指数短期期货ETN（VXX），这是最受欢迎的波动率指数变动交易产品。VXX未能跟踪VIX的记录已被充分证明（例如Husson和McCann（2011）、Deng等人（2012）、Alexander和Korovilas（2013）以及Whaley（2013））。事实上，这些ETF或ETN中的大多数遵循静态策略或时间确定性分配，无法适应快速变化的市场。跟踪和风险敞口控制问题与所有资产类别相关，衍生工具的使用在其他市场也很常见。例如，许多投资者寻求黄金敞口，以对冲市场动荡。然而，由于储存成本的原因，直接投资金条是困难的。为了获得风险敞口，投资者可以从许多黄金衍生品、ETF及其杠杆交易对手中进行选择。

分析见《纽约时报》文章：http://www.nytimes.com/2011/04/19/business/19markets.html.See: http://www.nytimes.com/2011/08/06/business/us-debt-downgraded-by-sp.htmlAs以截至2017年5月日均成交量超过5700万股计算。http://etfdb.com/etfdb-category/volatility/onLeung和Ward（2015）提供了黄金期货和ETF投资组合的跟踪特性。关于大宗商品杠杆和非杠杆ETF跟踪误差的实证研究，我们参考郭和梁（2015）。在本文中，我们讨论了使用衍生工具进行指数跟踪和风险敞口控制的一般方法。在第2节中，我们描述了连续时间差异框架中的市场，以及衍生工具组合可获得的风险敞口之间的衍生条件（见命题2.1）。在e敞口随时间保持不变的特殊情况下，投资组合价值允许在参考指数中明确表示（见命题2.2）。特别是，我们通过滑动过程量化了投资组合回报率与指数目标回报率及其因素之间的差异。在指数和多个随机因素的影响下，滑动过程不仅是潜在因素实现方差的函数，也是指数和因素之间实现协方差的函数。本文推导的滑动过程揭示了任何给定模型中所有随机性来源之间的相互作用所产生的投资组合价值侵蚀的潜在影响。此外，它还可以作为特例解释杠杆ETF中众所周知的波动性衰减效应（参见amongothers、Avellanda和Zhang（2010）、Jarrow（201 0）以及Leung和Santoli（2016））。指数跟踪或风险敞口控制可被视为衍生工具动态混合的逆问题。

在传统套期保值问题中，目标是交易标的资产，以复制相关衍生工具的价格演变，因此，标的isof的可交易性至关重要。在我们提出的范式中，指数和随机因素可能不是直接分类的，但存在写在其上的交易衍生品。我们使用衍生工具以路径方式跟踪或更普遍地控制风险敞口与指数收益率的关系。因此，我们可以研究各种衍生工具投资组合的路径属性，并量化投资组合与预先指定基准的偏离度（如果为ny）。我们的方法还允许投资者实现与模型中相关固定资产相关的杠杆或非杠杆风险敞口。从其他不同的角度对指数跟踪问题进行了深入研究。Yao等人（2006）利用几何布朗运动（GBM）模型下可用股票的一小部分，解决了一个随机线性二次控制问题，以确定最能跟踪基准回报的最优资产配置。Primbs和Sung（2 008）考虑了该问题的一种变化，包括概率投资组合约束，例如卖空限制，并通过半限定规划找到最优配置。Edirisinghe（2013）研究了类似的问题，他优化了投资组合跟踪误差相对于基准指数的均值和方差的组合。我们的工作与这一行的工作不同，因为我们的方法涉及交易衍生品，我们的分析是路径分析，而不是统计分析。

我们将在此开发的追踪方法应用于第3.1节（BlackScholes）和第3.2节（Heston）中衍生工具定价文献中的两个重要股票指数模型。受VIX的进一步推动，我们在一些VIX模型下探索了我们的方法学的应用和含义。特别是，我们的方法和示例阐明了波动率指数均值回复行为与波动率指数竞争定价和跟踪该指数及其相关因素之间的联系。我们考虑了Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型下的跟踪和风险暴露控制问题（见Cox et al.（1985））；Gr¨ubichler和Long Staff（1996）），以及串联平方根（CSQR）模型（见Me nc'a和Sentana（2013））。在我们的新发现中，我们得出了使用期权或期货跟踪VIXor实现指数和/或其因子敞口的交易策略（见第4.1和4.3节）。此外，在第4.2节中，weillustrate与volatilityETN、VXX相比，我们提出的投资组合具有优异的跟踪性能。这一积极结果有助于突出我们的投资组合利用路径自适应策略的特点，这与VXX和其他ETN使用的时间决定策略相反。此外，我们的战略是完全明确的，可以立即实施。虽然我们选择了波动率指数作为主要例子，但我们的分析适用于其他均值回复价格过程或市场因素。2连续时间跟踪问题我们在一个连续时间多因素差异框架中提出了我们的跟踪方法，该框架封装了许多不同的金融指数和市场因素模型。构建衍生品组合以实现预先规定的风险敞口，并对其价格动态进行检查。

特别是，我们将仅使用期货的策略与使用其他衍生品（如期权）进行跟踪和风险控制的策略进行了比较。2.1价格动态在背景中，我们定义了一个概率空间(Ohm, F、 Q），其中Q是市场衍生品价格的风险中性概率度量。自始至终，我们假设一个恒定的无风险利率r≥ 考虑索引S和d≥ 0外部可观测随机因子{Y（i）；i=1，…，d}，满足以下随机微分方程（SDE）系统：dSt=eγ（0）tdt+σ（0,0）tdBQ，0t+…+σ（0，d）tdBQ，dt，（2.1）dY（i）t=eγ（i）tdt+σ（i，0）tdBQ，0t+…+σ（i，d）tdBQ，dt，i=1。。。，d、 （2.2）此处，BQt：=（BQ，0t，…，BQ，dt），t≥ 0，是a（d+1）-q下的量纲标准布朗运动（SBM）。我们假设状态Y（i）t，i=1。。。，d、 都是非常积极的过程，考虑一个马尔可夫框架，其中系数是t、St和Y（i）t的函数，i=1，d、 定义为γ（i）t：=eγ（i）（t，St，Y（1）t。。。，Y（d）t），i=0。。。，d、 σ（i，j）t：=σ（i，j）（t，St，Y（1）t。。。，Y（d）t），i=0。。。，d、 j=0。。。，d、 等效地，我们可以将SDE更类似地表示为matr ix形式，其中Mt：=（St，Y（1）t。。。，Y（d）t）是一个向量。漂移矢量为eγt：=（eγ（0）t，eγ（1）t。。。，eγ（d）t）和（d+1）×（d+1）波动率矩阵∑t具有条目∑t）i，j=σ（i，j）t对于每个i，j。备注2.1风险中性定价度量，Q是相对于历史概率度量P的等价鞅度量。相关的数值是现金账户，因此所有交易证券都是贴现鞅。在最初的衡量标准P下，市场按照todMt=γtdt+∑tdBPt演变，其中BPtis a（d+1）-P下的多维SBM。度量值P和Q由风险向量λt的市场价格连接：=∑-1t（γt- eγt）。也就是说，dBPt=dBQt- λtdt。

（2.3）虽然我们的框架既包括完整的市场模型，也包括不完整的市场模型，但我们始终认为，阿里斯克中性测度是事先选择的，是令人满意的（2.3）。由于我们的所有结果和策略都是按路径导出和陈述的（见命题2.1和2.2），因此没有必要从measureQ返回到P。让我们用c（k）t表示：=c（k）（t，St，Y（1）t。。。，Y（d）t），对于k=1。。。，N，t∈ [0，Tk]，写在S上的N欧洲风格衍生品的价格过程，在Tk时重新实现相应的终端支付函数h（k）（S，y，…，yd）。在时间t≤ Tk，第k个导数的无ar比特价格由c（k）（t，St，Y（1）t，…）给出。。。，Y（d）t）=等式-r（Tk-t） h（k）（STk，Y（1）Tk。。。，Y（d）Tk）St，Y（1）t。。。，Y（d）ti。（2.4）我们允许支付取决于因素本身。例如，考虑一个股票指数和另一个相关指数Y的利差期权。这相当于设置d=1，将Y视为索引，并指定选项payoffh（s，Y）=（s- y） +。第k阶导数的最小相对收益率可表示为dc（k）tc（k）t=C（k）tdt+D（k）tdStSt+E（k，1）tdY（1）tY（1）t+…+E（k，d）tdY（d）tY（d）t，（2.5）其中我们定义了c（k）t：=r-eγ（0）tc（k）tc（k）S-eγ（1）tc（k）tc（k）Y（1）- ... -eγ（d）tc（k）tc（k）Y（d），（2.6）d（k）t：=Stc（k）tc（k）S、 （2.7）E（k，i）t：=Y（i）tc（k）tc（k）Y（i），i=1。。。，d、 （2.8）第一个系数C（k）t是第k个衍生工具的价格弹性，d（k）是第k个衍生工具相对于基础指数的价格弹性，E（k，i）是第k个衍生工具相对于第i个因素的价格弹性。（2.5）的完整推导可在附录A.1中找到。为了跟踪指数，交易者寻求构建一个投资组合，并精确设置投资组合相对于指数及其驱动因素的漂移和敞口系数。

正如我们接下来将讨论的，这些投资组合特征将被表示为上述价格弹性的线性组合。因此，为了获得所需的曝光，该策略是通过求解随时间变化的线性系统得出的。2.2跟踪投资组合动态确定交易期限[0，T]，T≤ Tk，对于所有k=1。。。，N我们构建了一个自我融资的投资组合，（Xt）0≤t型≤T、 使用N个衍生工具，价格见（2.4）。投资组合策略由向量wt表示：=（w（1）t，w（N）t），对于0≤ t型≤ 因此，对于k=1，…，Xtw（k）是在时间T投资于kthderivative的现金金额，N因此，金额Xt-PNk=1Xtw（k）t在时间t以无风险利率r投资。给定此类策略，X aredXtXt=NXk=1w（k）tdc（k）tc（k）t+r1的动力学-NXk=1w（k）t！dt=r+NXk=1w（k）tC（k）t- r!dt+NXk=1w（k）tD（k）t！dStSt+dXi=1NXk=1w（k）tE（k，i）t！dY（i）tY（i）t.（2.9）（（2.9）中的三个术语分别代表投资组合漂移、指数敞口和d因素敞口。假设投资者选择了（i）漂移过程（αt）0≤t型≤T、 （ii）动态暴露系数（βT）0≤t型≤t关于S的回报，以及（iii）动态暴露系数（η（1）t）0≤t型≤T（η（d）t）0≤t型≤t关于d因子。这些系数必须适应过滤才能达到，但当然，它们可能只是常数。然后，为了匹配所需的系数，我们必须选择策略，以解决以下线性系统：αt- rβtη（1）t。。。η（d）t=C（1）t- rC（N）t- rD（1）t。。。D（N）tE（1,1）t。。。E（N，d）t，1。。。E（1，d）t。。。E（N，d）tw（1）t。。。w（N）t. （2.10）然而，我们从（2.6）-（2.8）中观察到，C（k）t，D（k）和E（k，i）tsatisfyC（k）t- r+eγ（0）tStD（k）t+eγ（1）tY（1）tE（k，1）t++eγ（d）tY（d）tE（k，d）t=0，（2.11）对于每个k。