清除算法与网络中心性

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英文标题：
《Clearing algorithms and network centrality》
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作者：
Christoph Siebenbrunner
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  I show that the solution of a standard clearing model commonly used in contagion analyses for financial systems can be expressed as a specific form of a generalized Katz centrality measure under conditions that correspond to a system-wide shock. This result provides a formal explanation for earlier empirical results which showed that Katz-type centrality measures are closely related to contagiousness. It also allows assessing the assumptions that one is making when using such centrality measures as systemic risk indicators. I conclude that these assumptions should be considered too strong and that, from a theoretical perspective, clearing models should be given preference over centrality measures in systemic risk analyses.
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中文摘要：
我表明，在与全系统冲击相对应的条件下，金融系统传染分析中常用的标准清算模型的解可以表示为广义卡茨中心性测度的一种特定形式。这一结果为早期的实证结果提供了正式的解释，这些结果表明，卡茨型中心性测度与传染性密切相关。它还允许评估在使用系统性风险指标等中心性指标时所做的假设。我的结论是，这些假设应该被认为过于强大，并且从理论角度来看，在系统性风险分析中，清算模型应该优先于中心性指标。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Risk Management        风险管理
分类描述：Measurement and management of financial risks in trading, banking, insurance, corporate and other applications
衡量和管理贸易、银行、保险、企业和其他应用中的金融风险
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PDF下载：
--> Clearing_algorithms_and_network_centrality.pdf (124.9 KB)

2022-5-31 21:20:57 上传

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关键词：Applications Quantitative Assumptions perspective Theoretical

清算算法和网络中心性（Clearing algorithms and network centralityAugust 28，2018Christoph Siebenbrunnerabstract）表明，金融系统传染分析中常用的标准清算模型的解决方案可以表示为广义卡茨中心性测度在对应于全系统冲击的条件下的特定形式。这一结果为早期的经验结果提供了正式的解释，这些结果表明，卡茨型中心性测度与传染性密切相关。它还允许评估一个人在使用诸如系统icrisk指标等分离性指标时所做的评估。我的结论是，这些假设应该被认为是很强的，并且从理论角度来看，在系统风险分析中，清算模型应该优先于中心性度量。关键词：金融网络；系统性风险；网络中心性。1、导言在2008年金融危机之前，银行间贷款网络对于金融危机和系统性风险动态的重要性已经被发现。这种关系的早期模型可以追溯到toRochet和Tirole（1996）、Freixas等人（2000）、Allen和Gale（2000）以及Kiyotaki和Moore（2002）。Eisenberg和Noe（2001）以及Suzuki（2002）分别为债务网络开发了一个清算模型，该模型已被广泛应用于双边贷款违约传染的建模。该模型原则上与相互暴露的公司的性质无关，但主要应用通常集中在银行间市场。因此，在本文中，我将系统中的实体称为银行。Elsinger等人（2006）提供了集成压力测试系统中的第一个此类应用，Elsinger（2009）、Rogers和Veraart（2013）和Fischer（2014）开发了重要的扩展。

Battiston et al.（2012）和Fur fine（2003）引入了计算传染效应的替代模型，这些模型不依赖于清算模型的固定点参数。Upper（2011）很好地概述了此类模型的不同应用。Barucca等人（2016年）试图通过引入一个通用的框架电子邮件地址来统一文献：christoph。siebenbrunner@maths.ox.ac.uk牛津大学数学研究所和新经济思想研究所。此处表达的所有观点均为作者的观点，不一定反映任何责任组织的观点。这包括许多上述模型作为特例，并将其与默顿（1974）的信用评估模型联系起来。在表明金融网络与稳定性之间关系的理论工作之后，几位作者开始研究经验网络的统计特性（Boss et al.（2004））以及网络结构与传染效应的关系（Iori et al.（200 6），Nier et al.（2007））。最近的一系列文献研究了网络中心性与传染性之间的经验关系。Kuzubas等人（2014年）研究了2000年土耳其金融危机的关键金融机构的特征，并发现在危机爆发之前，几个中心性指标的增长趋势。Puhr等人（2014年）和al-ter等人。（2015）发现Katz中心度及其近亲（Seenwman（2010）），即特征向量中心度，分别对奥地利和德国银行系统的aEisenberg和Noe（2001）型清算模型的传染损失具有最强大的解释力。Kobayashi（2013）和Gauthier等人（2013）在模拟中获得了类似的结果。

这项研究表明，这些结果确实是可以预期的，因为当危机倾向于影响整个金融系统时，清算模型的解决方案会收敛到广义的卡茨中心度量。乍一看，这一结果可能与Emoglu et al.（2015）或Tahbaz Salehi（2015）的推理不一致，他们认为，尽管他们的经验表现，“货架效应”的中心性指标，如Katz中心性，是从理论角度清理模型结果的一个po或代理，因为后者没有通常无法被这些指标捕捉到的n-线性。事实上，我的工作突出了必须做出的非常严格的假设，以便能够将清算模型的解决方案等同于卡茨中心性度量。这使得我能够对这些假设进行批判性的评价，这使我同意上述作者的结论。2、清除模型模型框架建立在艾森伯格和诺伊（200 1）的开创性贡献之上。考虑一个由集合N={1，…，N组成的金融系统- 1} 相互关联的银行。双边贷款矩阵L反映了这些银行之间的联系，其中Li、JR表示银行i对jj的负债。L包括s ink节点的附加行和列，该节点捕获系统外的负债（例如客户存款）。该规范确保银行i的总负债由负债矩阵列和向量的第i项给出。银行还被赋予了外部资产a。表1概述了所使用的变量。定义此模型中的资产负债表方程可以写成：权益=资产- 负债=a+C p- l（1）如果一家银行的资产净值为负，则该银行被称为资不抵债或违约。

如果银行破产，即使是表1：可变定义[计算]描述∈ N N是所考虑的系统中的银行数量加上1（对于汇聚节点）a∈ RN+AIRE是iL银行的外部资产∈ RN×N+Li J银行i欠银行jl的总Li能力∈ RN+li=PjLi JLI是银行ip的名义负债总额∈ RN+f（p）=p p p是实际支付的付款的清算支付向量（与名义责任相反）C∈ [0，1]N×NCi j=Ljiljif lj>00其他情况下，如果Ci j>0，则代表银行i对银行j h的索赔在银行j的总负债中的相对份额。请注意，如果x是每家银行支付的款项的向量，则Cx给出了这些信贷OR的付款价值。D∈ {0，1}N×NDij（x）=1如果i=j∧ 如果i=j=N0，则ai+（Cx）i<li1，否则为默认指标的对角矩阵。D（x）ii=1表示银行i在给定的支付向量x下违约。请注意，Dy将向量y的所有元素（其头寸属于非违约银行）设置为零。请注意，“链接”节点设置为默认约定。o∈ RN+OI是i银行资产在冲击前的价值∈ RNSI对i银行的资产构成冲击∈ [0，1]r是资产的回收率（如果资产的价值低于其名义价值），m∈ （0，1）m是其他银行完全偿还其债务（即ai+（Dl）i<li））的插值系数，则称为基本默认值。请注意，银行间债权的价值以及权益取决于银行间支付的价值。

如果所有银行全部偿还其债务，则p=l，权益可写为a+Cl- l、 然而，艾森伯格（Eisenberg）和诺伊（Noe）（2001）提出的清算模型的基本假设是，必须使用资产来偿还债务，因此内部银行无法全额偿还债务。清算支付向量的直观含义是，所有银行在清算支付向量下偿还其总负债和外部资产的总价值以及对其他银行的债权价值中的最小值。此外，根据Rogers和Veraart（2013）的方法，假设当一家银行进入违约状态时，清算其资产后的回收价值可能低于原始面值。要正式确定上述学费，请考虑以下映射：f（p）=D（p）（rC（D（p）f（p）+（I- D（p））l）+raa）+（I- D（p））l（2）此映射为任何支付向量返回一个新的支付向量，其中给定支付向量下的默认银行返回其资产的剩余价值。清算支付向量p现在是该图的任意固定点：f（p）=p。这对应于罗杰斯和维拉特（201 3）引入的Eisenberg和Noe（2001）原始模型的扩展。解为了解出模型，首先x D（p）=D，然后解出固定点t：f=rDCD f+rDCl- rDCDl+raDa+l- Dl（I- rDCD）（f- l） =D（raa+rCl- l） f=（I- rDCD）-1D（raa+rCl- l） +l（3）如文献中不同作者所示，基本上类似于3 h的方程解的存在性（Eisenberg和Noe（2001）；Rogers和Veraart（2013）），尽管对D的定义略有不同（未将接收器节点设置为默认）。根据定理1的推论（1），这种微小的变化不会影响解的存在。正如Elsinger等人。

（2012）显示，此计算的优势在于，必须对与已默认节点相对应的行和列的子集应用矩阵x反转，这在实际应用中是一个优势。请注意，通过为sink节点设置DNN=1，我假设此节点进行支付，即使它没有任何责任。这对其他银行的解决方案没有影响，因为这些付款不会到达任何地方。如果接收器节点不需要在系统内进行付款（通常不能解释为具有平衡表的实体），则可以安全地忽略其清除付款向量的值。其他作者（如Glasserman和Young（2016））选择完全排除接收器节点，但在本应用程序中，出于计算目的，需要在此处介绍的处理器中使用接收器节点，我们将在后面看到。银行的数量可能很高，但违约的数量往往很低。Eisenberg和No e（2001）表明，在温和条件下，清算支付向量是唯一的，可以从以下迭代中获得，称为实际违约序列，由f=l Eisenberg和Noe（2001）初始化：fn+1=（I- rD（fn）CD（fn））-1D（fn）（raa+Cl- l） +l（4）更进一步，我会将外部资产的回收率设为ra=1，而不会失去一般性。3、网络中心性在本节中，我将展示清算模型的解决方案如何在具有明确经济解释的条件下表示为一个简单的网络中心性度量。考虑到外部冲击的实现会降低外部资产的原始价值：a=o+s（5），在以下步骤中，我将写出si的条件i=1。N- 1.

对于sink节点，我将假设a=o>0。假设i<N：（Cl）i<从间隔si中选择si∈ (-氧指数，-oi+li- （Cl）i）。这意味着ai∈ （0，li- （Cl）i），因此所有银行的外部资产都为正，但ai+（Cl）i<li，因此它们处于基本违约状态。。因此，s可以被解释为使所有银行资不抵债的s典当，同时将保持其外部资产的正价值（从而不违反清算支付向量Eisenberg和No e（2001））的唯一性条件）。让m∈ （0，1）并考虑线性插值：si=m（li- （Cl）i- oi）- （1）- m） oi=mli- m（Cl）i- oi（6）注意，由于ai+（Cl）i<LIF对于除汇节点以外的所有银行，D（l）=i（根据惯例，使用sink节点处于默认状态的事实）。因此，冲击有效地将所有银行推到了艾森伯格和诺伊（2001）模型中出现非线性的违约阈值之外。在这些条件下，条件确定金融系统的某些资产必须具有外部资产的正价值。我将使用ai>0我认为这是一个有效的条件。请注意，此处包含汇节点至关重要，因为Eisenberg和Noe（20 01）表明，对于ai>0我并不是所有的节点都会处于基本违约状态。

在此设置中，汇聚节点具有正权益值，但在任何D（x）下仍被认为是独立的。实际默认序列在第一次迭代后收敛，f（l）=p是清算支付向量，清算模型的解为：p=（I- 钢筋混凝土）-1（a+rCl- l） +l=（I- 钢筋混凝土）-1（（r- m） Cl公司- （1）- m） l）+l（7）定理1。（a） 我- rC是r的反转∈ [0，1）如果系统不包含接收器n节点（b）I- rC是r的反转∈ [0，1]如果系统包含接收器节点防护。注意，当λ和v是C的特征值和-向量时，我们有：（λI- C） v=0<=> （一）-λC）v=0<=> det（λI- C） =0（8）So（I- rC）对于r，λ是可逆的。自r起∈ [0，1]根据定义，我们需要研究是否存在特征值λ≥ 1.=>λ≤ 1、非负矩阵的最大eig值可通过Collatz Wi el and t公式获得：ρ（C）=maxx：xi≥0∧ xi>0g（x，C）（9）g（x，C）=mini：xi，0（xC）ixi（10），没有汇节点，如果所有机构至少有一些索赔，C将是列随机的，henceg（x）i=1i=ρ（C）。这证明了（a）部分适用于所有机构都有一些主张的情况。在这个条件不成立的情况下，C的一个或多个列由零组成，这相当于下面讨论的带有接收器的情况。假设si n k节点向C添加一列全零，则g的m最大特征值为（x：xN=0）。由于列n的剩余和仍然为1，我们得到0<ρ（C）<1，因此λ>1表示所有正特征值。推论1。注意，对于0<D<I，0<ρ（DCD）≤ ρ（C），表明方程3上存在一个解。基于清算模型的系统性风险度量的一种典型形式是考虑总负债和清算支付向量之间的差异（Glass erm an and Young（2016））σ=l- p

因此，基于等式的系统风险度量可以作为中心度量：σ=（I- 钢筋混凝土）-1β（11），βi=（1- m） 李- （r）- m） （Cl）ir、 m级∈ （0，1），i<N（该框架还可以通过将r和m作为对角矩阵来设置银行特定回收率和插值）。rmofσ的函数相当于Katz中心度测度的函数（Newman（2010）；卡茨（1953年））。在标准定义中，C是一个邻接矩阵，β=~ 1，因此在一般情况下，σ可以看作是一个推广。为了使C成为邻接矩阵，我们必须假设每个银行h最多为一个债权人，即s.t.Ci j∈ {0，1}i、 j.如果我们进一步设置r=m，则βs表示βi=（1- r） 李r∈ （0，1），i<，如果每个银行至少有一些负债，则通过归一化可以得到β=~ 1。在这些条件下，清算模型的解是卡茨中心度测度的一种特殊形式。诚然，一个强有力的假设是，一场巨大的系统性冲击会立即导致系统中的所有银行破产。我们可以通过选择si来放松这种假设∈ (-氧指数，-oi+li- （Cp）i），这意味着自Cp以来ALES严重的最小冲击≤ 氯。在此条件下，Al+（Cp）i<lii<N和hencelimn→ND（fn）→ 一、 也就是说，在算法收敛后，所有银行都被推到默认状态（如Eisenberg和Noe（2001）所示，最多N步之后发生）。通过选择一个类似的插值并插入到f（p）中，我们再次获得一个中心度测度（假设- （r）- m） C是可逆的）：si=m（li- （Cp）i- oi）- （1）- m） oi=mli- m（Cp）i- oi（12）p=（I- 钢筋混凝土）-1（a+rCl- l） +l=（I- 钢筋混凝土）-1（m（l- C p+rCl）- l） +lp=（I- （r）- m） C）-1m（l+rCl）（13），对于r=m，简化为p=rl+rCl。4.