具有交易费用的分数Black-Scholes模型的套期保值

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Hedging in fractional Black-Scholes model with transaction costs》
---
作者：
Foad Shokrollahi and Tommi Sottinen
---
最新提交年份：
2017
---
英文摘要：
  We consider conditional-mean hedging in a fractional Black-Scholes pricing model in the presence of proportional transaction costs. We develop an explicit formula for the conditional-mean hedging portfolio in terms of the recently discovered explicit conditional law of the fractional Brownian motion.
---
中文摘要：
我们考虑了存在比例交易成本的分数Black-Scholes定价模型中的条件平均套期保值。根据最近发现的分数布朗运动的显式条件定律，我们发展了条件均值对冲投资组合的显式公式。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：Applied, computational and theoretical statistics: e.g. statistical inference, regression, time series, multivariate analysis, data analysis, Markov chain Monte Carlo, design of experiments, case studies
应用统计、计算统计和理论统计：例如统计推断、回归、时间序列、多元分析、数据分析、马尔可夫链蒙特卡罗、实验设计、案例研究
--
一级分类：Statistics        统计学
二级分类：Statistics Theory        统计理论
分类描述：stat.TH is an alias for math.ST. Asymptotics, Bayesian Inference, Decision Theory, Estimation, Foundations, Inference, Testing.
Stat.Th是Math.St的别名。渐近，贝叶斯推论，决策理论，估计，基础，推论，检验。
--

---
PDF下载：
--> Hedging_in_fractional_Black-Scholes_model_with_transaction_costs.pdf (135.63 KB)

2022-5-31 21:36:24 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：SCHOLES choles Holes Black 套期保值

分数BLACK-SCHOLES模型中的对冲交易成本Vaasa大学数学与统计系Foad SHOKROLLAHIDepartment of Mathematics and Statistics，P.O.Box 700，FIN-65101 Vaasa，FINLANDTOMMI Sottinedepartment of Mathematics and Statistics，University of Vaasa，P.O.Box 700，FIN-65101 Vaasa，FINLANDAbstract。我们考虑存在比例交易成本的分数Black-Scholespricing模型中的条件平均套期保值。根据最近发现的分数布朗运动的显式条件定律，我们发展了条件均值套期保值组合的显式公式。引言我们考虑分数Black-Scholes模型中的离散套期保值，其中资产价格由长期依赖的分数布朗运动驱动。对于凸凹的欧洲香草型期权，我们构造了所谓的条件均值对冲。这意味着在每个交易时间，离散对冲策略的条件均值的值与无摩擦价格一致。摩擦是指无交易成本的连续交易套期保值。构造条件平均h边策略的关键因素是[12]中给出的分数布朗运动正则条件定律的重新集中表示。让我们注意到，有些套利策略具有连续交易且无交易成本，但不具有离散交易策略，即使在没有交易成本的情况下。有关分数布朗运动在金融中的使用和套利讨论的详细信息，请参见【3】。对于布朗运动驱动的经典Black-Scholes模型，交易成本下套期保值的研究可以追溯到Leland[7]。

另请参见丹尼斯和卡巴诺夫[4]以及d卡巴诺夫和萨法利安[6]，了解数学上严格的处理方法。电子邮件地址：foad。shokrollahi@uva.fi，tommi。sottinen@iki.fi.Date：2017年7月28日。2010年数学学科分类。91G20；91G80；关键词和短语。Delta对冲；分数Black-Scholes模型；交易费用；期权定价。F、 Shokrollahi由瓦萨大学研究生院资助。我们感谢裁判的宝贵意见。2 SHOKROLLAHI和Sottinen在长期相关分数布朗运动驱动的分数Black-Scholes模型中，Azmoodeh研究了交易成本下的套期保值[1]。在系列文章【11、13、14、15、16】中，分数Black-Scholes模型中的离散对冲是通过使用经济上可疑的Wick-It^o-Skorohod对自我融资条件的解释来研究的。实际上，对于经济上可靠的正向路径解释自融资条件，这些对冲策略是有效的，不是针对几何分数布朗运动，而是针对几何高斯过程，这里的驱动噪声是具有与相应分数布朗运动相同方差函数的阿高斯鞅，参见[5、8、9、10]。2、前期工作我们对单一标的资产S=（ST）t的欧洲普通期权f（ST）的定价感兴趣∈[0，T]，其中T>0是期权的固定到期时间。我们考虑折扣分数Black-S-choles定价模型，其中“无风险”投资或债券被视为数字，风险资产=（St）t∈[0，T]由动力学（2.1）dStSt=udt+σdBt给出，其中B是具有Hur-st指数H的分数布朗运动∈ (, 1).

重申，从定性上讲，分数布朗运动是（直到一个乘法常数）唯一的高斯过程，具有平稳成分和自相似指数H。定量地说，分数布朗运动是由其协方差函数（t，s）定义的=t2H+s2H- |t型- s | 2H.指数为H的分数布朗运动∈ （，1）具有零二次变化，适用经典变量变化规则。因此，随机微分方程（2.1）的路径解为（2.2）St=Seut+σBt。此外，根据经典变量变化规则，（2.3）f（St）=f（S）+ZTf′（St）dSt，其中f是凸或凹f函数，f′是其左导数。详情请参考toAzmoodeh等人【2】。（2.3）的经济解释是，不连续交易且无交易成本，欧式普通期权f（ST）的复制价格为f（S），复制策略由πt=f′（ST）给出，其中πt表示投资方时间t持有的风险资产S的股份数。此外，我们注意到，套期保值策略的值Vπ=f′（S·）在时间t为Vπt=Vπ+ZtπudSu=f（S）+Ztf′（Su）dSu=f（St）。分数布朗运动对冲3事实上，第一个等式只是自我融资条件，其余等式紧随（2.3）之后。请注意，这与经典的Black-Scholes模型中的值非常不同，其中的值由Black-Scholes部分微分方程确定，该方程最终得出It^o的变量规则。我们假设交易仅在固定的预设时间点0=t<t<···<tN=t进行。

我们通过πN离散交易策略πNt=πN{0}（t）+NXi=1πNti来决定-1（ti-1，ti]（t）。策略πNis的值由（2.4）VπN，kt=VπN，k+ZtπNudSu给出-ZtkSu | dπNu |，其中k∈ [0，1）是比例交易成本。在交易成本下，完美对冲是不可能的。在这种情况下，自然会尝试在以下定义的意义上进行平均对冲：定义2.1（传统平均对冲上的C）。设f（ST）为欧洲香草型期权，具有凸或凹支付函数f。设π为其马尔可夫复制策略：πt=f′（ST）。我们称之为离散时间策略πNa条件均值对冲，如果对于所有交易时间ti，（2.5）EhVπN，kti+1 | Ftii=EhVπti+1 | Ftii。此处FTI是资产价格过程截至时间ti生成的信息。备注2.1（作为跟踪条件的条件平均对冲）。标准（2.5）实际上是一项跟踪要求。我们不仅要求条件平均值在到期前的最后一个交易时间有效，而且要求在所有交易时间有效。从这个意义上讲，这一标准有一种“美国”的味道。从纯粹的“欧洲”对冲角度来看，除了第一个和最后一个交易时间外，可以简单地删除所有交易时间。备注2.2（条件平均对冲的套利和不唯一性）。条件均值套期保值策略π与连续时间套期保值策略π无关。由于分数Black-Scholesmodel中存在强套利（零可以在初始财富为负的情况下完美复制），复制策略π不是唯一的。然而，强套利策略非常复杂。

事实上，直接从变量变化公式可以看出，在马尔可夫策略类πt=g（t，St）中，选择πt=f′（St）是声明f（St）的唯一复制策略。我们强调（2.5）中的期望是针对真实概率测量的；不在任何等价鞅测度下。事实上，分数阶Black-S-choles模型中不存在等价鞅测度。要找到（2.5）的解决方案，必须能够计算所涉及的条件期望。这可以通过使用[12，定理3.1]来实现，为了方便读者，我们在下面将其称为引理2.1。4 SHOKROLLAHI和Sottinellemma 2.1（条件分数布朗运动）。指数为H的分数布朗运动B∈ （，1）根据其自身过去的fbui，高斯过程B（u）=B | FBu，FBu可测量平均值^Bt（u）=Bu-Zuψ（t，s | u）dBs，其中ψ（t，s | u）=-sin（π（H-))πs-H（u- s）-HZtuzH公司-（z）- u） H类-z- sdz和确定性协方差函数^r（t，s | u）=r（t，s）-Zuk（t，v）k（s，v）dv，其中k（t，s）=H-s2HΓ- HΓH-Γ (2 - 2H）秒-HZTSHH公司-（z）- s） H类-dz；Γ是欧拉伽马函数。备注2.3（C关于附加资产流程）。通过（2.2），我们得到了过滤的等式：FBt=FSt=Ft，对于t∈ [0，T]。因此，条件过程S（u）=S | Fuis非正式地由t（u）=Seut+σBt（u）=Sueut给出-u） +σ（Bt（u）-Bu）。更正式地说，这意味着，特别是对于t>u，Ef（St）FSu= EfSeut+σBtFBu=Z∞-∞fSeut+σ^Bt（u）+σ√^r（t | u）zφ（z）dz=z∞-∞fSueu（t-u） +σ（^Bt（u）-Bu）+σ√^r（t | u）zφ（z）dz，其中表示^r（t | u）=^r（t，t | u），φ是标准正态密度函数。3.

条件平均对冲策略注释^Bti+1（ti）=^Bti+1（ti）- Bti。分数布朗运动套期保值5在定理3.1中，我们将根据以下条件收益计算条件平均套期保值策略：^Sti+1（ti）=^Sti+1（ti）- Sti=ESti+1 | Fti- Sti，^Vπti+1（ti）=^Vπti+1（ti）- Vπti=超高压πti+1 | Ftii-Vπti，^VπN，kti+1（ti）=^VπN，kti+1（ti）- Vπti=超高压πN，kti+1 | Ftii- VπN，kti。下面的引理3.1指出，所有这些条件增益都可以使用分数布朗运动的预测定律来明确计算。引理3.1（条件增益）。^Sti+1（ti）=StiZ∞-∞euti+1+σ^Bti+1（ti）+σ√^r（ti+1 | ti）zφ（z）dz- 1.,^Vπti+1（ti）=Z∞-∞fStieuti+1+σ^Bti+1（ti）+σ√^r（ti+1 | ti）zφ（z）dz- f（Sti），^VπN，kti+1（ti）=πNti^Sti+1（ti）- kSti公司|πNti |。证据让g：R→ R应确保Eg（Bti+1）< ∞. 然后，通过引理2.1，Eg（Bti+1）| Fti=Z∞-∞g级^Bti+1（ti）+p^r（ti+1 | ti）zφ（z）dz。考虑^Sti+1（ti）。通过选择g（x）=Seut+σx，我们得到^Sti+1（ti）=ESti+1Fti公司= Eg级Bti+1Fti公司=Z∞-∞Seuti+1+σ^Bti+1（ti）+√^r（ti+1 | ti）zφ（z）dz。公式^Sti+1（ti）由此得出。那么考虑一下Vπti+1（ti）。通过选择G（x）=fSeut+σx我们得到^Vπti+1（ti）=EhVπti+1 | Ftii=Ef（Sti+1）| Fti= Eg（Bti+1）| Fti=Z∞-∞g级^Bti+1（ti）+p^r（ti+1 | ti）zφ（z）dz=z∞-∞fSeuti+1+σ^Bti+1（ti）+√^r（ti+1 | ti）zφ（z）dz。6 SHOKROLLAHI和Sottinenth公式^Vπti+1（ti）由此得出。最后，我们计算了^VπN，kti+1（ti）=超高压πN，kti+1Ftii=VπN，kti+EZti+1tiπNudSu-Zti+1tikSu | dπNu|Fti公司= VπN，kti+πNtiESti+1Fti公司- Sti公司- kSti公司|πNti |=VπN，kti+πNti^Sti+1（ti）- kSti公司|πNti |。公式^VπN，kti+1（ti）由此得出。现在我们准备陈述并证明我们的主要结果。我们注意到，原则上，我们的结果是一般性的：在期权f（ST）可以复制的任何定价模型中都是如此。

在实践中，我们的结果通过引理3.1特别适用于分数Black-Scholes模型。定理3.1（关于传统均值对冲策略的C）。具有凸或凹正支付函数F和比例交易成本k的欧式香草型期权的条件平均套期保值由递归方程（3.1）πNti给出=^Vπti+1（ti）+（Vπti- VπN，kti）+kSti|πNti|^Sti+1（ti），其中VπN，ktii由（2.4）确定。证据让我们首先考虑（2.5）的左侧。我们有超高压πN，kti+1Ftii=EVπN，kti+Zti+1tiπNudSu- kZti+1tiSu | dπNu|Fti公司= VπN，kti+πNtiESti+1（ti）- Sti公司Fti公司- kSti公司|πNti |=VπN，kti+πNti^Sti+1（ti）- kSti公司|πNti |。对于（2.5）的右侧，我们使用写HVπti+1Ftii=^Vπti+1（ti）+Vπti。在简单代数的基础上，我们将得到（3.1）的边相等。备注3.1。取得预期收益^Sti+1（ti）为数值，在对冲公式（3.1）中有三个部分。首先，投资于期权时间价值的预期收益。这种“条件平均增量对冲”恰恰是最明显的部分。事实上，对条件均值对冲（conditional meanshedge）采用一种天真的方法只会给出这一部分，而忘记了纠正已经出现的跟踪错误，这是（3.1）中的第二部分。（3.1）中的第三部分显然是由于交易成本。备注3.2。条件平均混合策略的方程（3.1）是递归的：除了过滤Fti，位置πNti-1需要确定位置πNti。因此，要使用（3.1）确定条件均值和混合策略，必须确定初始位置πn。然而，分数布朗运动7的初始头寸对冲并不是唯一定义的。事实上，让βNbe在无风险资产集中的位置。

那么条件平均值准则（2.5）只要求βN+πNE[St]处的th- kS |πN |=E[f（St）]。当然，有一定数量的p air（βN，πN）解这个方程。对条件平均对冲感兴趣的投资者确定初始头寸（βN，πN）的自然方法是成本最低的方法。如果允许卖空，投资者就会面临最小化问题minπN∈Rv（πN），其中初始财富v是分段线性函数v（πN）=βN+πNS=E【f（St）】-^St（0）-堪萨斯州πN，如果πN≥ 0，E【f（St）】-^St（0）+kSπN，如果πN<0。显然，最小解π与E[f（St）]无关，因此与要复制的选项无关。此外，最小化问题是有界的当且仅当ifk≥^St（0）S,i、 e.比例交易成本大于股票[0，t]的预期回报。在这种情况下，最小成本条件均值对冲策略首先将所有财富投入无风险资产。最后，我们将定理3.1应用于欧式看涨期权。推论3.1（欧洲看涨期权）。表示^d+ti+1（ti）=lnStiK- uti+1- σ^Bti+1（ti）σp^r（ti+1 | ti）-σp^r（ti+1 | ti），^d-ti+1（ti）=lnStiK- uti+1- σ^Bti+1（ti）σp^r（ti+1 | ti），^Xti+1（ti）=uti+1+σ^Bti+1（ti）+σ^r（ti+1 | ti），设Φ为标准正态律的累积分布函数。然后，具有执行价格k的欧式看涨期权的条件平均对冲策略由（3.2）πNti=Stie^Xti+1（ti）Φ（^d+ti+1（ti））给出- KΦ（^d-ti+1（ti））- VπN，kti+kSti|πNti|^Sti+1（ti）。证据首先，我们注意到^Vcallti+1（ti）=Z∞-∞Stieuti+1+σ^Bti+1（ti）+σ√^r（ti+1 | ti）z- K+φ（z）dz=Stie^Xti+1（ti）Φ^d+ti+1（ti）- KΦ^d-ti+1（ti）.8 SHOKROLLAHI和SOTTINENNext我们注意到vCallti=（Sti- K） +。所以^Vcallti+1（ti）=Stie^Xti+1（ti）Φ（^d+ti+1（ti））- KΦ（^d-ti+1（ti））- （Sti- K） +，和（3.2）如下所示。参考文献[1]E。

Azmoodeh，《关于分数布莱克-斯科尔斯交易成本市场》，数学金融通信，2（2013），第21-40页。[2] E.Azmoodeh、Y.Mishura和E.Valkeila，关于几何分数布朗运动市场模型中的欧洲期权套期保值，统计学家。《决定》，27（2009），第129-143页。[3] C.Bender、T.Sottinen和E.Valkeila，《分数过程作为随机金融中的模型》，《金融高级数学方法》，斯普林格，海德堡，2011年，第75-103页。[4] E.Denis和Y.Kabanov，《Leland Lott套期保值策略的均方误差：convexpay-o-offs，Finance Stoch》。，14（2010），第625-667页。[5] P.V.Gapeev、T.Sottinen和E.Valkeila，《不确定条件下H自相似高斯市场模型中的稳健复制》，统计学家。《决定》，28（2011），第37-50页。[6] Y.Kabanov和M.Safarian，《有交易成本的市场》，Springer Finance，SpringerFlag，柏林，2009年。数学理论。[7] H.E.Leland，《期权定价和交易成本复制》，《金融杂志》，40（1985），第1283-1301页。[8] F.Shokrollahi和A.Kilic,man，带跳跃环境的混合分数布朗运动中的货币期权定价，数学。问题。《工程》（2014），第页，艺术。ID 858210，13。[9] ，带跳跃的混合分数布朗运动中的精算方法，用于货币期权定价，Adv。差异等式。，（2015），pp.2015:257，8。[10] F.Shokrollahi、A.Kilic,man、N.A.Ibrahim和F.Ismail，希腊语和一些定价货币期权模型的偏微分方程，马来语。J、 数学。Sci。，9（2015），第417-442页。[11] F.Shokrollahi、A.Kilic,man和M.Magdziarz，《利用带交易成本的时变混合分数布朗运动对欧式期权和货币期权定价》，国际金融杂志。Eng.，3（2016），第1650003、22页。[12] T.Sottinen和L。