在量子理论中测试歧义和机器偏好

对于效用值u（0）和u（100），行为f、f、fand fare分别由Hermitian操作符表示^f=u（100）PR+u（0）PY+u（0）PB（9）^f=u（0）PR+u（0）PY+u（100）PB（10）^f=u（100）PR+u（100）PY+u（11）f=u（0）PR+u（100）PY+u（100）PB（12）DM实体PVV状态下的相应预期效用为Wv（f）=hv | f | vi=u（100）+u（0）（13）Wv（f）=hv | f | vi=（+ρY）u（0）+(- ρY）u（100）（14）Wv（f）=hv | f | vi=（+ρY）u（100）+(- ρY）u（0）（15）Wv（f）=hv | f | vi=u（0）+u（100）（16）我们注意到，Wv（f）和Wv（f）不依赖于状态pv，因为它们是“无模糊行为”，而Wv（f）和Wv（f）依赖于pv。这意味着可以找到Ww（f）>Ww（f）的状态PW，以及Ww（f）>Ww（f）的状态PW。普华永道州和普华永道州的偏好与模糊厌恶态度一致。我们在第3节的埃尔斯伯格三色实验中发现，偏好fover FWA的参与者的偏好权重为0.815，偏好FOVERFWA的参与者的偏好权重为0.780。例如，可以通过找到两个正交态pw和pw来构建这些数据的量子模型，这两个正交态分别由单位向量wi和wi表示，例如hw^F-^F | wi=0.815（17）hw | F-^F | wi=0.780（18），其中^Fi，i∈ {1、2、3、4}在（9）–（12）中定义。为了简单起见，让我们假设一个风险规避函数u（x）=√x、 因此，u（0）=0，u（100）=10。然后，在C的正则基中，一个解是wi=（0.577，0.644，0.502）（19）| wi=（0.577，0.505ei238.48o, 0.641ei120.46o) （20） 然而，我们注意到，解决方案并非唯一的。由（19）和（20）中的单位向量表示的状态pw和pw分别识别主观概率分布u和uw，再现了实验的歧义厌恶模式。

根据uw，人们平均估计37.3个黄色球和22.7个黑色球，而根据uw，他们平均估计23个黄色球和37个黑色球。然而，一般来说，偏好确实取决于实体的状态。这就完成了埃尔斯伯格三色实验第3节量子表示的构建，该实验遵循了第4.4.2节机器悖论的应用中的规定。第4节中的量子理论框架还允许对第3节中的机器50/51和反射示例进行直接建模，如下所示。”机器50/51示例\'。DM实体是带有50个红色或黄色球和51个黑色或绿色球的瓮，在这两种情况下，比例未知。DM实体与Hilbert空间覆盖复数相关联。我们用（1，0，0，0，0），（0，1，0，0），（0，0，1，0）和（0，0，0，0，1）表示C的标准基的单位向量。现在让我们考虑相互排斥和详尽的基本事件ER：“画一个红色的球”，EY：“画一个黄色的球”，EB：“画一个黑色的球”，和EG：“画一个绿色的球”。事件Sei，i∈ {R、Y、B、G}定义DM实体的颜色测量。该测量有四个结果与四种颜色（红色、黄色、黑色和绿色）对应，它由厄米算子表示，其特征向量为| Ri=（1，0，0，0），| Y i=（0，1，0，0），| Bi=（0，0，1，0）和| Gi=（0，0，0，1），或等效地，由谱族{Pi=| iihi | i表示∈ {R，Y，B，G}}。因此，事件ei由正交投影算子Pi，i表示∈ {R，Y，B，G}。

在C的规范基中，具有认知性质的机器实体的一般状态PVV由单位向量| vi=Xi表示∈{R，Y，B，G}ρieiθi | ii=（ρReiθR，ρYeiθY，ρBeiθB，ρGeiθG）（21）利用Born规则，我们可以写出当DM实体处于由uv（Ei）=hv | Pi | vi=| hi | vi |=ρi（22）给出的状态时，绘制颜色i球的概率uv（Ei）∈ {R，Y，B，G}。Machina 50/51示例要求ρR+ρY=和ρB+ρG=，这允许我们将（21）写成| vi=（ρReiθR，R- ρReiθY，ρBeiθB，r- ρBeiθG）（23）与埃尔斯伯格案例一样，我们假设DM实体的初始状态po完全反映了关于不同颜色的初始信息。因此，pis由单位向量| vi=（q，q，q，q）表示。每当决策者看到Machina 50/51示例时，她/他对所做选择的思考就会产生一个认知语境，这会将DM实体的状态从pto改变为一个通常不同的状态pv，如（21）所示，由单位向量| vi表示。因此，对fand f之间选择的思考将使DM实体的初始状态pof更改为一个状态PW，该状态PW通常不同于DM实体从初始状态更改为状态PW的状态PW。考虑fand f之间的选择。现在让我们来表示f、f、fand fin表2第2节。

对于给定的效用函数u，我们分别关联f，f，用厄米算子F=u（202）（PR+PY）+u（101）（PB+PG）（24）F=u（202）（PR+PB）+u（101）（PY+PG）（25）F=u（303）PR+u（202）PY+u（101）PB+u（0）PG（26）F=u（303）PR+u（101）PY+u（202）PB+u（0）PG（27）状态下相应的预期公用设施pvareWv（F）=hv^F | vi=u（202）+u（101）（28）Wv（F）=hv | F | vi=u（202）ρR+u（101）ρy+u（202）ρB+u（101）ρG（29）Wv（F）=hv | F | vi=u（303）ρR+u（202）ρB+u（101）ρY+u（0）ρG（30）Wv（f）=hv | f | vi=u（303）ρR+u（101）ρB+u（202）ρY+u（0）ρG（31）我们注意到，（28）中的预期效用不依赖于状态pv，而（29）–（31）中的预期效用则依赖于pv，这表明行为是明确的，而f是模糊的。这意味着原则上可以根据第2节中的机器偏好确定DM实体的两个状态PW和PW，例如Ww（f）>Ww（f）和Ww（f）>Ww（f）。最后，我们将在第3节的Machina 50/51示例中收集的数据表示出来。我们发现，偏好fover FW的参与者的参考权重为0.580，而偏好fover FW的参与者的参考权重为0.630。为了构建这些数据的量子理论模型，我们需要找到两个正交态pw和pw，分别由C的单位向量wi和wi表示，例如hw^F-^F | wi=0.580（32）hw | F-^F | wi=0.630（33），其中^Fi，i∈ {1、2、3、4}在（24）–（27）中定义。再次假设风险规避效用函数u（x）=√x、 所以u（202）≈ 14.213和u（101）≈ 10.050，我们得到了（32）和（33）的解，由| wi=（0.487，0.508，0.345，0.621ei90o)= （0.487、0.508、0.345、0.62i）（34）| wi=（0.605ei90o, 0.359，0.530ei180o, 0.474）=（0.605i，0.359，-0.530，0.474）（35）。

然而，我们提醒大家，这样的解决方案并不是唯一的。（34）和（35）中表示的状态pw和pw分别确定了主观概率分布u和uw，再现了50/51实验中的机器偏好。另请考虑其他选项，这些选项通常取决于DM实体的状态pv。这就完成了Machina 50/51实验量子理论模型的构建，该模型遵循了第4节的规定。”机尾位移较低的机器反射示例”。DM实体是带有10个红色或黄色球和10个黑色或绿色球的瓮，这两种情况下的比例未知。PVDM实体的可能（认知）状态由单位向量| vi表示∈ C、 让我们再次考虑基本的、详尽的和相互排斥的事件Ei：“我画了一个彩色球”，i∈ {R，Y，B，G}。它们定义了四种颜色对应的四种结果的颜色测量，并由厄米算子表示，其特征向量为| Ri=（1，0，0，0），| Y i=（0，1，0，0），| Bi=（0，0，1，0）和| Gi=（0，0，0，1），或等效地由光谱族{Pi=| iihi | i∈ {R，Y，B，G}}。因此，事件ei由正交投影算子Pi，i表示∈ {R，Y，B，G}。在C的规范基中，DM实体的状态pv由单位向量| vi=Xi表示∈{R，Y，B，G}ρieiθi | ii=（ρReiθR，ρYeiθY，ρBeiθB，ρGeiθG）（36）绘制颜色球i，i的概率uv（Ei）∈ {R，Y，B，G}，当机器实体处于状态时，根据玻恩规则，由uv（Ei）=hv | Pi | vi=| hi | vi |=ρi（37）给出。具有较低尾移的反射要求ρR+ρY=1/2=ρB+ρG。

因此，状态PVDM实体由单位向量| vi=（ρReiθR，R）表示- ρReiθY，ρBeiθB，r- ρBeiθG）（38）我们假设DM实体的初始状态po表示颜色分布的初始对称性，即，由单位向量| vi=（1，1，1，1）表示的pis。每当决策者面对机器悖论的情况时，她/他对所做选择的思考就会产生认知语境，这会改变DM实体的状态，使其从一个通常不同的状态pw转变为一个由单位向量wi表示的状态pw，如（38）所示。在这个框架中，考虑fand f之间的选择将使DM实体的初始状态pof改变为通常不同于DM实体从初始状态改变的状态PW的状态PW。考虑fand f之间的选择。现在让我们来表示f、f、fand fin表3第2节。对于给定的效用函数u，我们分别关联f，f，用厄米算子F=u（0）PR+u（50）PY+u（25）PB+u（25）PG（39）F=u（0）PR+u（25）PY+u（50）PB+u（25）PG（40）F=u（25）PR+u（50）PY+u（25）PB+u（0）PG（41）F=u（25）PR+u（25）PY+u（50）PB+u（0）PG（42）状态下的相应预期实用程序pvareWv（F）=hv| F | vi=u（0）ρR+u（50）ρY+u（25）（43）Wv（F）=hv | F | vi=u（0）ρR+u（25）ρY+u（50）ρB+u（25）ρG（44）Wv（F）=hv | F | vi=u（25）ρR+u（50）ρY+u（25）ρB+u（0）ρG（45）Wv（f）=hv | f | vi=u（25）+u（50）ρB+u（0）ρG（46）在这种情况下，所有预期的公用设施都取决于状态pv，因此可以找到Ww（f）>Ww（f）的状态pw，以及Ww（f）>Ww（f）的状态pw，与尾移较低的反射示例中的结果一致（第3节）。

我们发现，参与者对fover FW的偏好权重为0.575，而对fover FW的偏好权重为0.550。上述实验数据的量子力学模型可以通过找到两个正交态pw和pw来构建，分别由单位向量| wi和| wi表示，例如hw^F-^F | wi=0.575（47）hw | F-^F | wi=0.550（48），其中^Fi，i∈ {1、2、3、4}在（39）–（42）中定义。我们再次假设风险规避效用u（x）=√x、 sothat u（50）=√50≈ 7.071和u（25）=√25 = 5. 然后，在C的正则基中，通过| wi=（0.333，0.624，0.333，0.624）（49）| wi=（0.342ei180）给出解o, 0.619ei270o, 0.342，0.619ei90o)= (-0.342, -0.619i、0.342、0.619i）（50）在这种情况下，溶液也不是唯一的。（49）和（50）中表示的状态pw和pw分别识别了再现实验模式的主观概率分布uwanduw。但是，一般来说，偏好取决于DM实体的状态PVDM。这就完成了机械反射实验的量子模型的构建，该实验遵循了第4节的规定机尾上移的机器反射示例”。量子理论模型与为具有较低尾移的反射示例构建的theone相同。美国PW和PW再现了fover FAN的参考权重0.670和fover fare的参考权重0.520，分别由单位向量表示| wi=（0.297，0.642，0.297，0.642）（51）| wi=（0.353，0.613ei90o, 0.353ei180o, 0.613ei270o)= （0.353，0.613i，-0.353, -效用值u（50）为0.613i）（52）- u（25）=√50-√25≈ 2.0711，完成了带有上尾位移的机器反射实验的量子表示。5结论在这篇论文中，我们在一个人类参与者的决策实验中测试了埃尔斯伯格和机器悖论的情况。

Ellsberg三色实验证实了文献中已知的典型歧义厌恶模式，Machina 50/51实验证实了Machina根据SEUT的预测及其主要非预期效用扩展得出的典型偏好。相反，机器反射实验揭示了一种对机器所建议的信息对称性不敏感的行为，这与诸如Choquet期望效用等秩相关效用模型的预测是一致的。然后，我们证明，我们中的一些人开发的量子理论框架（Aerts et al.2017）能够在存在不确定性的情况下对各种决策情况进行建模，并能够忠实地表示上述实验。该框架可视为开发基于量子的状态相关EUT的第一步。在本文的结尾，我们考虑了SEUTthrough提出的“事件可分性”属性，该属性通过确定性原则表述，并部分保留在它的一些扩展中，如Choquet expectedutility。根据Machina（Machina 2009），SEUT在Ellsberg类型场景中再现人类决策的困难源于确定性原则所带来的事件可分性属性。类似地，与Choquet期望效用一样，秩相关效用模型的困难可能是由于其公理化所包含的“尾部可分性”。事实上，确定性原则指出，偏好在相互排斥的事件中是可分离的。事件可分性的部分形式由秩相关的效用模型来保持，并在“共单调确定原则”和保证尾可分性中形式化。这在量子理论框架中不会发生，在量子理论框架中，行为之间的偏好总是通过DM实体的状态通过（5）连接起来。

后一种状态还连接相互排斥的事件，通过（2）确定其主观概率。因此，在量子理论框架中，我们不能假设行为在相互排斥的事件中是可分离的。这种“不可分性属性”可能是量子理论框架的灵活性的原因，以适应人类在存在歧义时的决策，这与Machina的考虑一致。6致谢本工作得到了基金会（Funda,cao para a Ci^encia e a Tecnologia，FCT）的支持，参考UID/CEC/50021/2013，并得到了SFRH/BD/92391/2013博士学位授予的支持。资助者在研究设计、数据收集和分析、决定出版或准备手稿方面没有任何作用。基本量子数学在本附录中介绍了量子理论数学形式主义的基本定义和结果，这些定义和结果是表示DM实体所需的，并且有助于掌握第4节中获得的结果。我们的演讲将避免过于繁杂的技术细节，同时力求综合和严谨。当量子力学形式主义用于建模时，每个被考虑的实体（在我们的情况下是认知实体）都与复希尔伯特空间H相关联，即复数域C上的向量空间，配有内积H····i，该内积映射两个向量hA······································。我们使用量子理论先驱之一保罗·阿德里安·狄拉克（PaulAdriendirac，1958）提出的bra-ket符号来表示向量。向量可以是“kets”，用| Ai、| Bi或“bras”表示，用hA、hB表示。

ket向量| Ai和| Bi之间的内积，或bra向量hA和hB之间的内积，是通过将bra向量hA |和ket向量| Bi并置来实现的，hA | Bi也称为“bra-ket”，它满足以下特性：（i）hA | Ai≥ 0;（ii）hA | Bi=hB | Ai*, 其中hB | Ai*是hA | Bi的复共轭；（iii）hA |（z | Bi+t | Ci）=zhA | Bi+thA | Ci，对于z，t∈ C、 其中，和向量z | Bi+t | Ci在量子术语中称为向量| Bi和| Ci的“叠加”。从（ii）和（iii）可以看出，内积h·····i在ket中是线性的，在bra中是反线性的，即（zhA··+thB·）·Ci=z*hA | Ci+t*hB | Ci。我们记得，复数的“绝对值”定义为该复数乘以其复共轭的乘积的平方根，即| z |=√z*z、 此外，复数z可以分解为其笛卡尔形式z=x+iy，或分解为其极性形式z=| z | eiθ=| z |（cosθ+i sinθ）。因此，我们有| hA | Bi |=phA | BihB | Ai。我们将ket（bra）向量| Ai（hA |）的“长度”定义为| | | Ai | |=| hA | |=phA | Ai。单位长度的向量称为“单位向量”。我们说ketvectors | Ai和| Bi是“正交的”，并且写| Ai⊥ |如果hA | Bi=0，则为Bi。现在，我们已经介绍了必要的数学来说明量子理论的第一个建模规则，如下所示。第一条量子建模规则：由量子理论建模的实体（在我们的例子中是认知实体）的状态A由长度为1的ket向量| Ai表示，即hA | Ai=1。正交投影M是Hilbert空间上的线性算子，即映射M:H→H、 | Ai 7→ M | Ai是厄米特的，幂等的。