局部波动模型下亚式期权定价的最可能路径

我们注意到，将指数项模化，结果表明下一个有序项的阶数为t、 这与Europeanoptions的顺序一致，例如参见[19]中的定理2.3。定理2.2。（离散监控亚式期权）在K>到期时间T的情况下，在K点发出的离散监控亚式看涨期权的价格C=C（s，0；K，T），具有以下渐近展开式，即T→ 0+，对于固定的n，C=E“nnXi=1Sti- K+#=ZZ{s：nPni=1sti≥K} nnXi=1sti- Ke-D（s，t）tW（s，t）ds=t型√2πe-D（s）*,t）t型|D（s）*, t） |×”W（s）*, t） ·D（s）*, t） pdettD（s*, t）|D（s）*, t） |+trntW（s）*, t）tD（s*, t）-1o+O(t）, （2.17）亚洲期权定价的最可能路径7其中s*= （s）*t、 ···，s*tn）是最小化问题（2.15）的最小值，受约束1/nPni=1sti≥ K、 2.2。持续监控亚洲电话和最可能的路径。定理2.2中得出的亚洲看涨期权的近似价格取决于解决一个高维约束优化问题，这通常是令人望而生畏的。但是，在限制范围内t接近零时，优化问题收敛到一个变量问题，在某些情况下，如Black-Scholes和CIR，关联的Euler-Lagrange方程具有闭式解。本节给出了启发式计算。第3节使用大偏差对前导顺序进行了严格推导。设{0=t<t<···<tn=t}是区间[0，t]与ti的划分- ti公司-1= t：=t/n，对于i=1，···，n。然后，连续监测的亚洲电话的价格可以写为离散监测的亚洲电话的价格限制，如n→ ∞. 准确地说，E“TZTStdt- K+#= 画→∞E“nnXi=1Sti- K+#（2.18）应用Lebesgue支配收敛定理。

因此，对于较低者来说，通过将离散监控亚洲看涨期权的近似价格限制（2.17）取为t型→ 具体而言，将（2.17）的对数改写为log c=-D（s）*, t）t型-对数（2π）+对数(t）- 日志|D（s）*, t） |+日志”W（s）*, t） ·D（s）*, t） pdettD（s*, t）|D（s）*, t） |+trntW（s）*, t）tD（s*, t）-1o+O(t） #，（2.19）我们回忆起*是（2.15）的最小值。请注意，最后一个表达式中的第一项占主导地位，如t型→ 0、确定限值为t型→ 主导项的0，我们带来t返回目标函数（2.15）as2tnXk=1^1（sti、ti）- ^1（sti-1，ti-1). （2.20）请注意，由于Д（sti，ti）- ^1（sti-1，ti-1） =^1s（sti-1，ti-1)sti+Дt（sti-1，ti-1)t+o(sti，t） ，（2.21）8 L.-P.ARGUIN、N.-L.LIU和t.-H.WANGwheresti=sti- sti公司-1，我们有Limt型→02tnXk=1^1（sti、ti）- ^1（sti-1，ti-1)= lim公司t型→02tnXk=1^1s（sti-1，ti-1)sti公司+ o(sti），t型= lim公司t型→0nXk=1si公司ta（si-1，ti-1)t=ZT˙s（t）a（s（t），t）dt。（2.22）因此当t接近零时，优化问题（2.15）变成路径空间s中的以下变分问题：t 7→ s（t）分钟：t7→s（t）ZT˙s（t）a（s（t），t）dt（2.23）根据ZTS（t）dt=K，s（0）=s.（2.24）定义2.1。变分问题（2.23）：（2.24）的最优路径被称为在K敲打的亚洲看涨期权的最相似路径（MLP）。鉴于上述情况，人们预计，在启发式水平和领先顺序下，货币外亚洲看涨期权价格C的对数近似由约束变分问题（2.23）：（2.24）的解决定，这相当于确定最可能的路径。

为了确定MLP，与约束变分问题（2.23）：（2.24）相关的EulerLagrange方程以及适当的边界条件导出如下。引理2.2。约束变分问题的最优路径（2.23）：（2.24）满足Euler-Lagrange方程Ddt˙sa-ata˙s+λTa=0（2.25），边界条件ss（0）=s，˙s（T）=0，（2.26），其中λ的选择应确保1/TRTs（T）dt=K。我们首先将约束变分问题（2.23）：（2.24）改写为拉格朗日公式（s，λ）=ZT˙s（t）a（s（t），t）dt公司- λTZTs（t）dt- K, （2.27）对于基本解的分析，在[10]中获得了Black-Scholes情况下相同问题的等效公式（见（1.4））。亚洲期权定价中的最可能路径9，其中λ是拉格朗日乘数。设f:[0，T]7→ R是关于最优路径s（t）的扰动，f（0）=0。最优产量的一阶准则0=dd=0升（s+f、 λ）（2.28）=dd=0ZT“˙s+˙fa（s+f、 t）#dt- λTZT{s+f} dt公司- K（2.29）=ZT˙sa（s，t）“˙fa（s，t）-as（s，t）˙sfa（s，t）#dt-λTZTfdt（2.30）=-ZT公司as（s，t）a（s，t）˙s+λtfdt+ZT˙s˙fa（s，t）dt。（2.31）通过对第二个积分应用分部积分，并注意f（0）=0，最后的等式变成0=-ZT公司as（s，t）a（s，t）˙s+λtfdt公司-ZTddt公司˙sa（s，t）fdt+˙s（T）a（s（T），T）f（T）。（2.32）最后，由于f是任意的且a（s，t）>0，我们得到了（s，t）a（s，t）˙s+λt+ddt的Euler-Lagrange方程˙sa（s，t）= 0（2.33），简化了toddt˙sa-ata˙s+λTa=0（2.34），边界条件s（0）=s，˙s（T）=0。我们在下面的定理中总结了最终结果。基于大偏差理论的严格证明被推迟到第3节的定理3.1。定理2.3。

（持续监控亚洲看涨期权的记录价格）持续监控的亚洲看涨期权在K>到期时间t发出的资金中，在时间t的价格C（St，t；K，t）大约等于记录C（St，t；K，t）=-ZTt公司˙s（τ）a（s（τ），τ）dτ+o（T- t）-1（2.35），其中：t 7→ s（t）是约束变分问题（2.23）：（2.24）的解。我们通过求解Bachelier、Black-Scholes和Cox-Ingersoll-Ross（CIR）模型的相应边值问题（2.25）：（2.26），推导出最可能路径的闭合形式表达式，从而结束本节。然而，对于更一般的情况，我们将不得不求助于迭代格式来进行最可能路径的数值计算。数值方案见第4节。10 L.-P.ARGUIN、N.-L.LIU和T.-H.Wang示例2.1。（Bachelier模型）在Bachelier模型中，a（s，t）=σ，a常数。Euler-Lagrange方程（2.25）减少了toddt˙sσ+λTσ=0（2.36），其通解为s（T）=-λσt/（2T）+ct+c。从边界条件（2.26）和1/TRTs（t）dt=K，我们得出λ=3（K- s） /（σT），c=3（K- s） /T，且c=s。因此，在Bachelier模型中，亚洲人呼叫最可能的路径是由s（T）=-3（K- s）tT+ 3（K- s） tT+s.（2.37）我们注意到，这种情况下最可能的路径不取决于σ。此外，（2.35）对于单身汉模型-ZT公司˙s（t）a（s（t），t）dt=-3（K- s） 2σT.（2.38）因此，它在Bachelier模型中捕捉到了亚洲缺钱通话的指数衰减，见下文（2.64）。示例2.2。（Black-Scholes模型）在Black-Scholes模型中，a（s，t）=σs，σ为常数。Euler-Lagrangeequation（2.25）表示-¨ss+˙ss=λσ（2.39），其通解为（t）=c2λσh1- tanh公司c【c】- t]i（2.40）和（t）=-c2λσh1+tanc【c】- t]i、 （2.41）其中cand care（待定）常数。

条件˙s（T）=0表示在任何情况下c=T，条件s（0）=s，RTs（T）dt=T K表示cλσ（1+cosh（cT））=s，ctanhcT= λσKT（2.42）和-cλσ（1+cos（cT））=s，-ctan公司cT= λσKT。（2.43）通过将两个方程除以（2.42）项和重新排列项，由方程CtsInh（cT）=sKif s<K（2.44）在亚式期权定价中最可能路径11或c=f给出的cis-1（s/K）/T，其中f（x）=x/sinh x。另一方面，从（2.43）我们得到，如果K>s（2.45）或c=g，则sin（cT）cT=ks-1（K/s）/T，其中g（x）=x的sin x/x∈ [0, π].因此，0的最可能路径s（t）≤ t型≤ Black-Scholes模型中的T简化后的Becomes（T）=scoshcTcosh公司c（T-t）, （2.46），其中c=f-1（s/K）/T表示s<K；而对于s>Ks（t）=scoscTcos公司c（T-t）（2.47）和c=g-1（K/s）/吨。此外，对于s<K，ZT˙s（t）σs（t）dt=f-1.sK公司σTf-1.sK公司- tanh公司f-1.sK公司, （2.48）和s>KZT˙s（t）σs（t）dt=克-1.堪萨斯州σT棕褐色的g级-1.堪萨斯州-g级-1.堪萨斯州. （2.49）示例2.3。（Cox-Ingersoll-Ross模型）对于CIR模型，a（s，t）=σ√s、 其中σ为常数。Euler-Lagrangeequation（2.25）变为dt˙s（t）ps（t）！+2φps（t）=2ddtps（t）+ 2φps（t）=0（2.50），对于某些常数φ，通解由ps（t）=ccos给出pφ（c- t）（2.51）如果φ>0且ps（t）=ccoshp-φ（c- t）（2.52）如果φ<0。边界条件（2.26）分别表示c=T和c=√scos公司√φT或√嘲笑√-φT. （2.53）Thuss（t）=s（cos√φ（T- t）cos公司√φT)或s（t）=s（cosh√-φ（T- t）cosh公司√-φT). （2.54）12 L.-P.ARGUIN，N.-L.LIU和T.-H.Wang参数φ由方程Tzts（T）dt=K=s的解确定√φThtanpφT+pφT秒pφTi（2.55）如果s<K和byKs=√-φThtanhp-φT+p-φT秒p-φTi（2.56），如果s>K。

最后，根据φ的测定，我们得到了thatZT˙s（t）σps（t）dt=s√φσhpφT- 罪pφTisec公司pφT（2.57）对于s<K和ZT˙s（t）σps（t）dt=s√-φσh-2p级-φT+sinhp-φT伊塞赫p-φT（2.58）如果s>K.2.3。亚洲期权的隐含正常波动率。就隐含波动性而言，我们选择使用Bachelier模型作为基准，而不是传统的Black-Scholes模型，因为Black-Scholes模型中缺乏亚洲期权的分析表达式。欧洲对应方中的这种定义隐含波动率有时被使用，并在实践中被称为隐含正常波动率。对于欧洲电话，只要σ√T很小，至少在货币期权方面是如此，参见示例【33】。我们预计同样的选择也应该适用于forAsian选项，尽管缺乏分析性使其难以检查。特别要注意的是，对于较小的执行价格，近似值可能会有问题，因为/K的比率会很大。回想一下，通过简单的计算，在Bachelier模型下，Dst=σbdWt，（2.59），其中σbis是一个常数，持续监控的到期时间为T的亚洲看涨期权Struck在K的价格具有闭式表达式cb（K，T，σb）=σb√T√6πe-3（s）-K） 2σbT+（s- K） N个√3（s）- K） σb√T（2.60）由于平均价格1/TRTStdt与平均砂方差σbT/3呈正态分布。在（2.60）中，N（·）表示标准正态分布的累积分布函数。另一方面，对于Bachelier模型中到期日为T的离散监控的亚洲看涨期权交易，由于St+········································································································································√T√2Anπe-An（s）-K） 2σbT+（s- K） N个√An（s）- K） σb√T, （2.63）式中，An：=6n/（n+1）（2n+1）。

显然→ 3作为n→ ∞.关于小时间展开式，我们注意到，通过使用渐近展开式N（x）=N（x）[-1/x+1/x+O（1/x）]作为x→ -∞, 我们有cb（st，K）=σb√T- t型√6πe-3（st-K） 2σb（T-t） +（st- K） N个√3（st- K） σb√T- t！=e-3（st-K） 2σb（T-t） “σb（t- t）√6π（K- s） +O（T- t） #（2.64）作为t→ T-. 类似地，在离散情况下，t→ T，Cdb（st，K）=e-An（st-K） 2σb（T-t） “σb（t- t） An√2Anπ（K- s） +O（T- t） #。（2.65）我们注意到，一旦在模型侧建立了一个场外通知价格的小时间渐近，通常会由此导出隐含波动率的小时间渐近。为此，下面对[24]中给出的看涨期权价格的隐含正常波动率进行扩展将很有帮助。提案2.1。对于到期时间为T的固定出清买入期权，letC=C（T）是视为T函数的欧洲买入期权价格。然后作为到期时间T→ 0，隐含正态波动率σNhas渐近σNT=（s- K） 2（日志s- log C（T））+o（log C（T））。（2.66）作为T→ 0.2.3.1. 离散监控亚洲期权的隐含正态波动率。离散监测的亚洲看涨期权的隐含正常波动率通过求解以下方程σbCd（st，K，T）=σb来确定√T√2Anπe-An（s）-K） 2σbT+（s- K） N个√An（s）- K） σb√T, （2.67）式中，An：=6n/（n+1）（2n+1），CDS是通过模型或从市场获得的离散监控的Asiancall的价格。显然，在其他参数中，这种定义的σb依赖于K和T。为了在短时间内推导（2.67）中定义的隐含正态波动率σbde的渐近展开式，如【19】中所述，其思想是比较（2.67）两侧展开式中的相应项。因此，最低阶项由14 L.-P.ARGUIN、N.-L.LIU和T.-H.Wang在（2.67）两侧匹配指数项得到。

准确地说，回想一下定理2.2E“nnXi=1Sti”中离散亚洲看涨期权价格的小时间渐近- K+#=t型√2πe-D（s）*,t）t型|D（s）*, t） |×”W（s）*, t） ·D（s）*, t） pdettD（s*, t）|D（s）*, t） |+trntW（s）*, t）tD（s*, t）-1o+O(t）,哪里t=t/n。通过匹配上述表达式和（2.65）中的指数项，我们得到-An（st-K） 2σbT=e-D（s）*,t）t型==>An（st- K） 2σbT=D（s*, t）t=nD（s*, t） t型==>σb=第二个*, t） An（st- K） =nAn（st- K） nXk=1^1（s）*ti，ti）- ^1（s）*ti公司-1，ti-1).（2.68）因此，隐含正态波动率的最低（零）阶近似值由σb=pAn | st给出- K | nnXk=1^1（s）*ti，ti）- ^1（s）*ti公司-1，ti-1)!-+ o（1），（2.69），其中：*t、 ···，s*tn）是n维约束优化问题的解决方案（2.15）：（2.16）。我们在下面的定理中总结了结果。定理2.4。（离散亚洲看涨期权的隐含正态波动率渐近）对于在K点（即s<K）进行的离散监控的货币外亚洲看涨期权，其中基础是由本地波动率模型（2.1）驱动的，如（2.67）中定义的隐含正态波动率σDb的渐近展开为T→ 0+σdb（K，T）=σdb，0（K）+O（T），（2.70），其中σdb，0（K）=pAn | st- K | nnXk=1^1（s）*ti，ti）- ^1（s）*ti公司-1，ti-1)!-, （2.71），其中An=6n/（n+1）（2n+1）和（s*t、 ···，s*tn）约束优化问题的解决方案（2.15）：（2.16）。2.3.2.

持续监控亚洲期权的隐含正常波动率。对于持续监控的亚洲看涨期权，通过求解σbC（st，K，T）=σb的以下方程，可以确定隐含的正常波动率√T- t型√6πe-3（st-K） 2σb（T-t） +（st- K） N个√3（st- K） σb√T- t！，（2.72）亚洲期权定价的最可能路径15，其中C是通过模型或从市场获得的亚洲看涨期权的价格。请注意，（2.72）的右侧可以视为Bachelier模型中欧式看涨期权的价格，但σ的三分之一是方差（volatilitysquared）参数。换言之，在单身汉的世界里，亚洲愈伤组织的价格与欧洲愈伤组织的价格相等，但差异只有三分之一。通过结合看涨期权价格的渐近性（2.35）和隐含正态波动率的渐近性（2.66），建立了一个货币外亚洲看涨期权隐含正态波动率的小时间渐近性。或者，我们也可以通过直接将极限取为n来获得相同的近似值→ ∞ σdb，0在定理2.4中。我们在下面的定理中总结了结果。定理2.5。（连续亚洲看涨期权的隐含正态波动率渐近）对于在K点进行的持续监控的货币外亚洲看涨期权，即s<K，其中基础是由本地波动率模型（2.1）驱动的，在（2.72）中定义的隐含正态波动率σbde的渐近展开为T→ 0+σb（K，T）=σb，0+o（T），（2.73），其中σb，0=T3（K- s） ZT公司˙s（t）a（˙s（t），t）dt！-, （2.74）和▄s（t）是通过解决变量问题（2.23）：（2.24）确定的亚式期权最可能的路径。证据回顾（2.66），欧洲期权的隐含正态波动率σ具有渐近σT=（s- K） 2（日志s- log C（T））+o（log C（T））。

（2.75）因此，通过将log C（T）替换为（2.35），并利用亚洲方差等于其在Bachelier世界中的欧洲对应变量的三分之一这一事实，我们得到了亚洲调用的隐含正常波动率σBoσbT=（s- K） 2（日志s- 对数C（T））+o（对数C（T））（2.76）=-（K）- s） 2对数C（T）+o（对数C（T））（2.77）=（K- s） “ZT˙s（t）a（˙s（t），t）dt公司#-1+o（T）（2.78），我们在上一个等式中使用了（2.35）。最后，通过重新排列项得到结果。示例2.4。（含时Bachelier模型）最后，我们考虑一个含时Bachelier模型，其中chdst=σθ（t）dWt。（2.79）16 L.-P.ARGUIN、N.-L.LIU和T.-H.Wang注意到，在这种情况下，a（s，T）=σθ（T），Euler-Lagrange方程（2.25）减少了toddt˙sσθ（t）-θ（t）˙sσθ（t）+λtσθ（t）=0（2.80）==>θ（t）滴滴涕˙sθ（t）-θ（t）θ（t）˙sθ（t）+λtσ=0（2.81）根据条件˙s（t）=0积分最后一个方程，得到˙s（t）θ（t）=λtσ（t- t） （2.82）对于某些常数λ集，使用条件tzts（t）dt=K.（2.83），这给出λ=t（K- s） σRT（T- u） θ（u）du。（2.84）此外，从（2.82）中可以很容易地得到一个˙s（t）a（s，t）dt=ZT˙s（t）σθ（t）dt=λσTZT（T-t） θ（t）dt=t（K- s） σRT（T- t） θ（t）dt。（2.85）这给出σb，0=3σTZT（T- t） θ（t）dt。（2.86）另一方面，我们有‘ST=1/TRTStdt，其中ST=s+σZtθ（u）dWu。（2.87）一个简单的计算然后yieldsvar\'\'ST=σTZT（T- u） θ（u）du（2.88），因此，在依赖于时间的Bachelier情况下，确切的Bachelier隐含波动率由σb=3σTZT（T）给出- u） θ（u）du。（2.89）因此，最可能的路径近似在依赖于时间的双椭圆中是精确的。亚洲期权定价中的最可能路径172.4。希腊的近似值。定理2.5中隐含波动率的近似值也适用于希腊人的近似值。例如，我们可以如下计算delta。为了符号简单，用vb表示：=σbT。