局部波动模型下亚式期权定价的最可能路径

抑制并保持其他固定参数，因为Bachelier隐含波动率通过HC（s）=Cb（s，vb），（2.90）delta来确定 满意度 :=Cs=Cb公司s+Cb公司vbvbs、 （2.91），其中Cb是（2.72）中定义的功能。请注意，通过简单的计算Cb公司s=N√3（s）- K）√vb！和Cb公司vb=√6πvbe-3（s）-K） 2vb。（2.92）因此，使用vb≈ vb，0：=σb，0T，如下所示 ≈ N√3（s）- K）√vb，0+p6πvb，0e-3（s）-K） 2vb，0vb，0s、 （2.93）（2.93）右侧的表达式可以很容易地计算，但最后一项可以如下计算。回想一下Vb，0=3（K- s） “ZT˙s（t）a（˙s（t），t）dt公司#-1、（2.94）我们有vb，0s=6（s- K） “ZT˙s（t）a（˙s（t），t）dt公司#-1.-3（K- s） “ZT˙s（t）a（˙s（t），t）dt公司#-2.sZT˙s（t）a（˙s（t），t）dt=2vb，0s- K-vb，03（K- s）sZT公司˙s（t）a（˙s（t），t）dt。（2.95）一般情况下，（2.95）中的积分需要进行数值计算。同样，由于伽玛满意度：=s=Cb公司s+2Cb公司svbvbs+Cb公司vbvbs+Cb公司vbvbs、 （2.96）根据衍生工具的数值评估，用vb，0代替vb，得出Γ的近似值svb，0和svb，0。然而，我们注意到，在BlackScholes（例2.2）和CIR（例2.3）模型中，由于σb，0有闭合形式的表达式，希腊语的闭合表达式可用。我们请读者参考[30]，以了解Black Scholesmodel中关于希腊人亚洲期权的更详细讨论。18 L.-P.ARGUIN、N.-L.LIU和T.-H.WANG3。大偏差原则在本节中，我们证明了定理3.1，它是对第2.3条连续监控期权的大偏差重新表述。需要更精细的工具来超越离散近似所建议的定理2.2中渐近展开的前导阶。然而，在特定情况下，这些术语是通过Girsanov测度变化给出的。我们将在本节末尾使用Bachelier模型来说明这一点。

对于更一般的过程，更明确的扩展似乎不适用于当前的方法。定理3.1（连续监测亚洲通话的对数价格偏差较大）。在价格过程（St，T）的到期时间为T时，在K>swith发出的moneyAsian看涨期权中，在T=0时的价格C（s，0；K，T）≥ （2.1）中的0）允许TC（s，0；K，T）=exp-J（K）T+oT-1.（3.1）其中j（K）=infI（f）：f∈ C（[0，T]）和ztf（u）=K. （3.2）此外，如果f（t）=x+Rta（f（s），对于某些g∈ L（[0，T]），则i（f）=ZT˙f（T）a（f（T），0）！dt，（3.3）和I（f）为∞ 否则证明该定理的想法是将ε=T视为一个小参数，并围绕ε=0展开。我们做一个简单的时间变化t=uT，并写出简单度Sε：=（Sεu，u∈ [0，1]=（SuT，u∈ [0, 1]) . （3.4）注意，使用此符号：TZTStdt=ZSεudu。（3.5）利用布朗运动的标度性质，得到了Sεu，u∈ [0，1]）满足dedsεu=aε（Sεu，u）√εdWu，（3.6），其中aε（x，u）：=a（x，uε）。由于假设a（x，·）在x上均匀连续，我们可以写出a（x，uε）=a（x，0）+O（ε）。（3.7）过程的大偏差原则意味着存在一个速率函数i:C（[0，T]）→ [0, ∞] 它是下半连续的，并且具有紧凑的水平集，对于C（[0，1]）中的任何Borel子集A，- infs公司∈int（A）I（s）≤ lim infε→0εlog P（Sε∈ （A）≤ lim supε→0εlog P（Sε∈ （A）≤ - infs公司∈cl（A）I（s）（3.8）亚洲期权定价中的最可能路径19，其中int（A）表示A的内部，cl（A）表示其闭包。粗略地说，大偏差原理利用速率函数在指数尺度上量化非典型路径的概率。定理3.1的证明基于Freidlin-Wentzell定理的扩展，参见例[14]。

该定理的标准陈述适用于Lipschitz和有界假设下的时间齐次漂移和波动性。这里我们将使用[9]的最新结果。请注意，CIR模型中不满足局部Lipschitz条件（2.3）。然而，在这种情况下，波动率是时间均匀的，需要较弱的假设才能保持较大的偏差。这是文献[9]中定理4的内容。定理3.2（定理2、定理4和[9]中的示例1））。微分族（3.6）满足率函数i（f）=inf{g的大偏差原则∈L（[0,1]）：f（t）=x+Rta（f（s），0）g（s）ds}ZT | g（t）| dt，（3.9）每当集合{g∈ L（[0，1]）：f（t）=x+Rta（f（s），0）g（s）ds}为非空，i（f）为∞ 否则从形式上讲，考虑集合{g∈ L（[0，T]）：f（T）=x+Rta（f（s），0）g（s）ds}作为“白噪声路径”T 7的集合→˙重量。地图g 7→ 其中，f是f（t）=x+Rt'a（f（s），s）g（s）ds的解，可以认为是将基础布朗路径发送到相应扩散路径的映射。在路径f的波动率非零的情况下，可以反转映射，速率函数减少到最简单的情况i（f）=Z˙f（t）a（f（t），0）！dt。（3.10）对于几何布朗运动和CIR模型，情况确实如此。读者可参考【9】中的定理1和【3】中的命题3.11，了解（3.10）的一般有效条件。定理3.1的证明。注意，对于任何随机变量X和K>0，我们都有恒等式[（X- K） +]=Z∞KP（X>X）dx。（3.11）为了简单起见，请为函数T:C（[0，1]）编写T→ R，T（f）=Rf（u）du。注意，T在具有一致收敛拓扑的C（[0，1]）上是连续的。根据收缩原理（参见。

[14] ）和定理3.2，随机变量族（T（Sε），ε>0）满足率函数j:R的大偏差原则→ [0, ∞] 其中j（y）=inf{I（f）：T（f）=y，f∈ C（[0，1]）}，y∈ R（3.12）到（3.11），我们有日志E（T（Sε）- K）+= logZ公司∞KP（T（Sε）>x）dx。（3.13）20 L.-P.ARGUIN、N.-L.LIU和T.-H.Wang一方面，我们对任何M>KlogZ∞KP（T（Sε）>x）dx=logZMKP（T（Sε）>x）dx+ log1+logR∞MP（T（Sε）>x）dxlogRMKP（T（Sε）>x）dx！。（3.14）对于足够大的M（可能取决于ε），第二个括号中的项小于2。拾取M=ε-1、对于ε足够小，我们得到logz∞KP（T（Sε）>x）dx≤ 对数2+对数（ε-1.- K） +对数P（T（Sε）>K）。（3.15）这证明LIM supε→0εlogZ∞KP（T（Sε）>x）dx≤ limε→0εlog P（T（Sε）>K）=-J（K），（3.16），因为（T（Sε），ε>0）与速率函数J存在较大偏差。另一方面，对于δ>0Z∞KP（T（Sε）>x）dx≥ZK+δKP（T（Sε）>x）dx≥ δP（T（Sε）>K+δ）。（3.17）因此，对于任何δ>0的情况，使用（3.8）将上述值变为infε→0εlogZ∞KP（T（Sε）>x）dx≥ -J（K+δ）。（3.18）仍需证明limδ→0J（K+δ）=J（K）。首先，注意lim infδ→0J（K+δ）≥ J（K），因为J是下半连续的（它是一个速率函数）。因此，可以证明lim supδ→0J（K+δ）≤ J（K）。根据定义，J（K+δ）=inf{I（x）：x∈ C（[0，1]）和rx（u）du=K+δ}。选择序列（yn）∈ C（[0，1]），使得i（yn）→ J（K）andRyn（u）du=K。通过定义最小值，可以选择该序列，使I（yn）<J（K）- 1/n.在[0，1]上选取一个可微函数，使rz=1，z（0）=0。则r（yn（u）+δz（u））du=K+δ。MoreoverJ（K+δ）<I（yn+δz）。（3.19）很容易检查固定n，limδ→0I（yn+δz）=I（yn）。因此，限制supδ→0J（K+δ）<I（yn）<J（K）- 1/n。（3.20）由于n是任意的，这证明了该主张。

渐近展开式（2.35）表明，（3.1）的低阶修正远小于T-1、我们希望更准确地说TZTSudu- K+#= 经验值-J（K）T+对数T+O（1）. （3.21）对于Bachelier模型（例1），可以使用Girsanovchange度量来严格验证这一点，Girsanovchange度量的设计目的是向最可能路径倾斜，最小化给定K的亚洲期权定价函数21J中的利率最可能路径。对于其他模型以及其他类型的期权，预计修正的顺序相同。对于Bachelier模型，[0，1]上的差异为dSεu=√εdwu和在[0，1]iss（u）=-3（K- s） u+3（K- s） u+s，u∈ [0, 1] . （3.22）到（3.11），买入期权的价格为“ZSεudu- K+#=Z∞KP公司ZSεudu>xdx。（3.23）用dQ/dP=exp为测量值写入Qε-1/2R˙s（u）dWu-ε-1R˙s（u）du.在Q下，过程（Wu，u∈ [0，1]）是漂移ε的布朗运动-1/2秒（u）。使用此符号，（3.23）变为-ε-1R˙s（u）duZ∞科赫-ε-1/2R˙s（u）dfWu{Rε1/2fWudu+K>x}idx（3.24），其中（fWu，u∈ [0，1]）是Q下的标准布朗运动，我们通过定义最可能路径使用rs（u）du=K这一事实。通过改变变量y=x- K、 这会减少脚趾”ZSεudu- K+#= e-ε-1R˙s（u）duZ∞EQhe-ε-1/2R˙s（u）dfWu{Rε1/2fWudu>x}idx。（3.25）第一学期为e-ε-1J（K）并给出了第一个顺序。为了评估第二项，首先将x积分到eq“e”是很方便的-ε-1/2R˙s（u）dfWuZε1/2武都+#. （3.26）注意˙s（u）=3（K- s） （1）- u） 因此，s（u）dfWu=3（K- s） ZfWudu。（3.27）为均值为0、方差为1/3的高斯随机变量RfWudu写X。我们有ε1/2EQhX+e-ε-1/23（K-s） Xi=ε3/2Z∞ye公司-3（K-s） ye公司-3εyp2π/3dy。（3.28）积分的阶数为1。我们的结论是E“TZTSudu- K+#= 经验值- T-1J（K）+对数T+O（1）. （3.29）22 L.-P.ARGUIN、N.-L.LIU和T.-H.WANG4。

数值测试从定理2.5开始，我们得到了亚洲Bacelierimplied波动率的以下近似公式：σb，0=T3（K- s） ZT公司˙s（t）a（˙s（t），t）dt！-, （4.1）式中，s（t）是通过求解变分问题确定的亚式期权的最可能路径：t7→s（t）ZT˙s（t）a（s（t），t）dt（4.2）根据zts（t）dt=K，s（0）=s.（4.3），我们现在开始对局部波动率模型（2.1）中局部波动率函数a（s，t）=sσ`（s，t）的各种定义的近似隐含波动率公式（4.1）进行数值测试。在每种情况下，为了评估（4.1），我们需要计算最可能的路径▄s（t）。为此，我们利用以下迭代方案。引理4.1。最可能的路径s（t）满足递归公式s（t）=s+I（t）~I（t）[K- s] （4.4）式中，i（t）=ZtZTra（▄s（r），r）a（▄s（u），u）e-Rutat（▄s（v），v）a（▄s（v），v）dvdudr，▄I（T）=TZTI（u）du。证据从引理2.2中，~s（t）满足Euler-Lagrange方程（2.25），为方便起见，其如下所示˙sa-ata˙s+λTa=0（4.5），边界条件ss（0）=s，˙s（T）=0，（4.6），其中λ的选择应确保1/TRTs（T）dt=K。为便于记法，定义a（T）：=a（s（T），T）和f（s，T）=at/a=tlog a.同时，~f（t）=f（~s（t），t）。应用积分因子exp-Rtf（u）du将（4.5）与边界条件˙s（T）=0积分得到-e-Rt▄f（v）dv▄s（t）▄a（t）=-λtztta（u）e-Ruf（v）dvdu。（4.7）亚洲期权定价的最可能路径23如下˙s（t）~a（t）=λTZTt ~a（u）e-车辙f（v）dvdu。（4.8）重新排列和整合givess（t）- s=λTI（t），（4.9），其中I（t）=RtRTr▄a（r）▄a（u）exp-车辙f（v）dv杜德。现在将边界条件1/TRTs（t）dt=K应用于getK- s=λT'I（T）（4.10），结果如下。引理4.1给出了一种有效的定点算法，用于求解最可能路径。第一种猜测的自然选择是单身汉最可能的路径（2.37）：s（t）=s+3（K- s） tT-3（K- s）tT.

（4.11）生成的算法通常在三次或四次迭代后有效收敛。4.1. 与时间相关的CIR模型。我们认为模型DST=e-λtσpStdWt（4.12），其中S=1，σ=0.2，λ=1。Thusa（s，t）=e-λtσ√s、 （4.13）虽然我们在例2.3中计算了时间均匀情况下最可能路径的准闭合形式，但在这种时间不均匀情况下，我们选择将我们的近似隐含波动率公式（4.1）与1000个时间步和200万个样本路径生成的蒙特卡罗模拟进行比较，该公式使用执行点迭代算法进行评估。结果如图4.1所示。我们注意到，本例中最可能的路径近似值略微低估了从模拟中推断出的亚式期权的正常隐含波动率。4.2。依赖时间的二次局部波动率。接下来，我们考虑以下二次局部波动率模型：dSt=e-λtσh1+ψ（St- 1） +γ（St- 1） idWt（4.14），σ=0.2，ψ=-0.5，γ=0.1，λ=1。我们注意到，虽然在本例中，函数a以二次方增长为| x |→ ∞ 这违反了理论论证所需的线性生长条件（2.2），我们进行了数值实验来测试最可能路径方法的适用性。虽然[2]中给出了具有这些参数的欧式期权的封闭式解，但我们再次借助蒙特卡罗模拟来估计亚洲期权的价值24 L.-P.ARGUIN、N.-L.LIU和T.-H.Wang图4.1。1年期Bachelier亚洲隐含波动率微笑对应于时间依赖的CIR局部波动率函数（4.13）。蓝色虚线来自带误差条的蒙特卡罗模拟；红色实线是近似值σb，0。在此模型中。同样，使用1000个时间步和200万个采样路径生成模拟。结果如图4.2所示。

类似地，本例中最可能的路径近似值也低估了通过模拟推断出的亚洲期权的正常隐含波动率。4.3。Black-Scholes和CIR模型中的基准情景。在本小节中，对于Black-Scholes和CIR模型，我们将最可能路径近似值与一些现有近似值与[21]和[17]中提出的基准情景进行比较，这些基准情景通常用于亚式期权定价的文献中，例如参见[12]、[15]、[18]、[27]、[39]。利用定理2.5中给出的Bachelier隐含波动率σb的近似值0，我们可以计算在K点发出的亚洲看涨期权和到期的atT bye的近似价格-rT公司rv2πe-（A）-K） 2v+（A- K） N个A.- K√v（4.15），其中A=S（euT- 1） uT，v=σb，0uT3.- 4euT+e2uT2u+T（4.16）亚洲期权定价的最可能路径25图4.2。1年期Bachelier亚洲隐含波动率微笑对应于时间依赖的二次局部波动率函数（4.14）。蓝色虚线来自带有误差条的蒙特卡罗模拟；红色实线是近似值σb，0。和u=r-q、 请注意，（4.15）实际上是在Bachelier模型下，在K和T进行的亚洲看涨期权的价格DST=（r- q） Stdt+σdWt（4.17），无风险利率r和股息率q均假定为常数。我们注意到，由于许多基准场景都是ATM，所以ATM近似隐含可用性是通过取σb的极限，当K接近S时，得到的。明确地说，Black-Scholes和CIR情况下的极限由imk 1给出→Sσb，0=σs对于Black-Scholes模型，σ√用于CIR模型。（4.18）表1展示了从（4.15）中获得的[17]中所考虑情景下的亚洲期权渐近近似值的数值结果。

根据[27]中的结果，在所有七种基准情景下，近似价格的相对差异均小于1.5%，对于一年内到期的期权，近似价格的相对差异在1%以内。表2显示了[12]中提出的七种情况下CIR模型中亚洲期权定价的数值测试。数据引用自【18】中的表5。根据[18]中的结果，在所有七种基准情景下，近似价格的相对差异均小于1%，对于一年内到期的期权，近似价格的相对差异在0.6%以内。因此，我们可以有争议地得出结论，26 L.-P.ARGUIN、N.-L.LIU和T.-H.WANGTable 1的短期到期近似结果。基准情景下Black-Scholes模型中的亚洲看涨期权价格。最后四列对应于（4.15）中的近似价格（ALW），第[18]中的三阶近似值（FPP3），第[27]中的精确评估值（Linetsky），以及ALW与Linetsky的相对一致性。案例SK rσT ALW FPP3 Linetsky rel。配电盘。1 2 0.02 0.1 1 0.056042 0.055986 0.055986 0.10%2 2 0.18 0.3 1 0.219607 0.218387 0.218387 0.56%3 2 0.0125 0.25 2 0.172939 0.172267 0.172269 0.39%4 1.9 2 0.05 0.5 1 0.195034 0.193164 0.193174 0.96%5 2 0.05 0.5 1 0.248277 0.246416 0.246416 0.73%6 2.1 2 0.05 0.5 1 0.308029 0.306210 0.306220 0.59%7 2 0.05 0.5 2 0.355167 0.350040.350095 1.45%。参考文献[12]中考虑的基准Cenarios中CIR模型中的亚洲看涨期权价格。最后四列对应于（4.15）中的近似价格（ALW），来自【12】（DN），来自【18】（FPP3）的三阶近似值，以及ALWto FPP3的相对差异。案例SK rσT ALW DN FPP3 rel。

配电盘。1 2 0.02 0.14 1 0.055591 0.0197 0.055562 0.05%2 2 0.18 0.42 1 0.218521 0.2189 0.217874 0.30%3 2 0.0125 0.35 2 0.171331 0.1725 0.170926 0.24%4 1.9 2 0.05 0.69 1 0.191950 0.1902 0.190834 0.58%5 2 0.05 0.72 1 0.252333 NA 0.251211 0.48%6 2 0.05 0.72 1 0.309864 0.3098 0.308715 0.37%7 2 0.05 0.71 2 0.356411 0.3339 0.353197 0.91%当前论文为亚洲这些模型中的期权价格。结论我们得出了一阶离散监控亚洲期权价格的小时间渐近。通过从离散监测情况中取相应项的极限，启发式地导出了连续监测亚洲呼叫的最可能路径近似，并使用大偏差理论进行了严格证明。在时间相关CIR和时间相关二次局部波动率模型中的数值实验表明，最可能路径近似的性能还有改进的空间。一种可能性是包含更高的订单条款。大偏差理论通常不能提供指数衰减项以外的见解。另一方面，可以想象的是，从离散监控的情况中获得相应条款的限制可能会产生亚洲期权定价的最可能路径27用于数值评估的表达式。高阶项的计算要复杂得多，因此需要进一步研究。感谢匿名裁判的仔细阅读和宝贵评论。我们要感谢Jim Gatheral的数值结果和DanPirjol的宝贵而有趣的讨论，并向我们发送了他们的早期版本的论文。五十、 -获得美国国家科学基金会职业1653602、美国国家科学基金会拨款DMS-1513441和尤金·M·朗初级教师研究奖学金的支持。N、 -L.L。