局部波动模型下亚式期权定价的最可能路径

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英文标题：
《Most-likely-path in Asian option pricing under local volatility models》
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作者：
Louis-Pierre Arguin, Nien-Lin Liu, and Tai-Ho Wang
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  This article addresses the problem of approximating the price of options on discrete and continuous arithmetic average of the underlying, i.e. discretely and continuously monitored Asian options, in local volatility models. A path-integral-type expression for option prices is obtained using a Brownian bridge representation for the transition density between consecutive sampling times and a Laplace asymptotic formula. In the limit where the sampling time window approaches zero, the option price is found to be approximated by a constrained variational problem on paths in time-price space. We refer to the optimizing path as the most-likely path (MLP). Approximation for the implied normal volatility follows accordingly. The small-time asymptotics and the existence of the MLP are also recovered rigorously using large deviation theory.
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中文摘要：
本文讨论了在局部波动率模型中，基于基础的离散和连续算术平均值（即离散和连续监测的亚洲期权）近似期权价格的问题。利用连续采样时间间转移密度的布朗桥表示和拉普拉斯渐近公式，得到了期权价格的路径积分型表达式。在采样时间窗接近零的极限下，期权价格被发现近似为时间-价格空间中路径上的约束变分问题。我们将优化路径称为最可能路径（MLP）。隐含正常波动率的近似值如下所示。利用大偏差理论严格地恢复了小时间渐近性和MLP的存在性。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Most-likely-path_in_Asian_option_pricing_under_local_volatility_models.pdf (593.76 KB)

2022-5-31 22:13:40 上传

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关键词：亚式期权定价 亚式期权 期权定价 波动模型 Presentation

本地波动模型下亚洲期权定价的最可能路径路易·皮埃尔·阿金（louis Pierre Arguin）纽约市伯纳德·巴鲁克路1号巴鲁克学院数学系，NY10010电子邮件：louis Pierre。arguin@baruch.cuny.eduNien-Lin LuDepartment of Mathematic Sciences，Ritsumeikan University，日本志贺县草松县东野治大学1-1-1，邮编525-8577，日本邮政：nienlin1126@gmail.comTai-Ho Wang纽约市伯纳德·巴鲁克路1号巴鲁克学院数学系，NY10010电子邮件：tai Ho。wang@baruch.cuny.eduAbstractThis本文讨论了在局部波动率模型中，基于基础（即离散和连续监测的亚洲期权）的离散和连续算术平均值近似期权价格的问题。利用连续采样时间间传递度的布朗桥表示和拉普拉斯渐近公式，得到了期权价格的“路径积分”型表达式。在采样时间窗接近零的极限条件下，期权价格被发现近似为时间-价格空间路径上的约束变分问题。我们将优化路径称为最可能路径（MLP）。相应地，隐含正常波动率的近似值如下。利用大偏差理论严格地恢复了小时间渐近性和MLP的存在性。关键词：亚式期权定价、渐近展开、奇异期权、大偏差理论、最可能路径亚式期权定价的最可能路径基于局部波动率模型Louis-PIERRE ARGUIN、NIEN-LIN LIU和TAI-HO WANGAbstract。本文讨论了在局部波动率模型中，基于基础的离散和连续算术平均值（即离散和连续监测的亚洲期权）近似期权价格的问题。

利用连续采样时间间转移密度的布朗桥表示和拉普拉斯渐近公式，得到了期权价格的“路径积分”型表达式。在采样时间窗接近零的极限下，期权价格被发现近似为时间-价格空间中路径上的约束变分问题。我们将优化路径称为最可能路径（MLP）。相应地，隐含正态波动率的近似值如下。利用大偏差理论严格地恢复了小时间渐近性和MLP区域的存在性。亚式期权定价；渐近展开；奇异期权；大偏差理论；最可能的路径。简介亚洲期权，也称为平均价格期权，是农产品、能源和固定收入市场等商品中流动性最强的奇异期权之一。如今，平均价格期权在石油期权中所占比例很高；一些直接涉及石油期货合约，而另一些则涉及两种石油期货之间的价差。亚洲期权也常用作风险管理工具，因为其具有平均特征，a）基本平均价格更难操纵；b） 平均价格对突然冲击不太敏感；c）此类选项比类似的普通选项更便宜。关于亚式期权定价问题的文献很多，部分原因是很难找到分析解决方案，即使是像BlackScholes模型这样的简单案例。我们仅提及以下几点，并请感兴趣的读者参阅其中的参考文献。据我们所知，[25]是第一部在Black-Scholes模型中解决亚式期权定价问题的著作。

考虑到蒙特卡罗模拟对亚式期权进行数值定价，[25]还引入了一种前卫缩减技术，即使用几何平均期权的价格作为控制变量，很容易获得其分析形式。关于条件反射技术的投资组合期权的进一步分析和扩展，请参见【11】。此后，蒙特卡罗方案的进一步发展和改进得到了【6】（关于通过蒙特卡罗模拟估算亚式期权希腊人的直接方法，请参见第275页的第4.2节）、【36】（结合控制变量和2 L.-P.ARGUIN、N.-L.LIU和T.-H.WangMeasures/似然比的变化）和【23】（重要性抽样），等。首次尝试在Black-Scholes模型中找到亚式期权定价的封闭或半封闭形式表达式出现在[22]的开创性工作中。在[22]中的其他有趣结果中，推导了亚式期权价格相对于到期时间的拉普拉斯变换，并被称为著名的杰曼-约尔公式。可以在[7]中找到Geman-Yor方法对跳跃扩散模型的扩展。然而，Geman-Yor公式的数值反演速度很慢，需要谨慎处理，例如参见[15]和[17]中的讨论。Black-Scholes模型下，平均价格的风险中性密度的分析近似值，这反过来又使亚式期权的近似值更接近于[35]和[31]的工作。这两篇论文都将Edgeworth展开应用于对数正态分布周围离散监测平均价格的密度，得到了亚式期权价格的Black-Scholes型公式（直至修正项）。这种分析近似在实践中比蒙特卡洛解析更具吸引力，因为希腊人的明确表达方式很容易理解。

最后，在巧妙地选择变量变化后，[32]和[37]采用了PDE方法（参见[38]了解最新发展）。与Black-Scholes模型相比，在更一般的基础证券动力学（如局部波动率或随机波动率模型）下，关于亚式期权定价的文献相对较少。亚式期权定价的不太雄心勃勃的方法包括[1]和[32]中的无套利界限，以及[12]、[18]和[28]中的近似解和渐近解。采用渐近展开的近似方法大多是基于[26]的工作的It^o-Taylor型展开，有关这条线的最新发展，请参见[8]。尽管这种扩展很简单但很繁琐，但为了达到令人满意的精度，通常需要重新计算到三阶或四阶。最后，尽管与本文没有直接关系，但[16]和[34]讨论了股票波动率模型下的亚式期权定价。在本文中，我们讨论了在离散算术平均值及其连续时间限制上近似期权价格的问题，其基础遵循局部波动模型。对于离散监控的亚洲期权，我们假设平均值在到期前超过一组等距离散时间样本。应用[40]中获得的连续采样时间点之间的传递度的布朗桥表示（见下面的定理2.1），得出了亚式期权价格的“路径积分”型表达式，见（2.12）。直接应用拉普拉斯渐近公式（在这种情况下是高维的，见引理2.1）得出期权价格的近似值（见定理2.2）。

在采样时间窗口接近于零的极限情况下，前序项（到期时间很短）可以表示为在时间-价格空间中寻找最优路径的约束变分问题，称为最可能路径（MLP）。在变分问题解决后，可获得连续监测的亚式期权价格的近似值，见定义2.1和定理2.3。MLP近似值与基于Freidlin-Wentzell定理对一大类模型的最新扩展的领先阶的严格推导一致，参见亚洲期权定价中的TheoremMOST-Probable PATH 33.1。至于隐含波动率，我们选择使用Bachelier模型作为基准，而不是Black-Scholes模型，因为Black-Scholes模型中缺乏亚洲期权的分析表达式。在Europeanoption案例中，这种定义的隐含波动率在实践中有时被称为隐含正常波动率。通过比较基准Bachelier模型和局部波动率模型的相应展开式，我们得到了定理2.5中亚式期权隐含正态波动率的最低阶近似，这是本文的主要结果。本文的组织结构如下。第2节列出了模型，并提供了离散监控亚洲看涨期权的拉普拉斯型近似和连续监控亚洲看涨期权的最可能路径近似的推导。第3节基于大偏差理论对第2节中得到的渐近行为进行了严格推导。我们注意到，在[29]中，已经独立地用大偏差理论对连续监控亚式期权价格的最可能路径近似进行了严格的证明。

最后，我们给出了最可能路径近似的数值测试。在整个文本中，（Wt，t≥ 0）表示过滤概率空间上定义的标准布朗运动(Ohm, （Ft）t≥0，P）满足通常条件。dot总是指对时间变量的偏导数，prime是指对空间变量s.2的偏导数。局部波动模型中的亚式期权定价在本节中，我们推导了局部波动模型中离散和连续监测的亚式看涨期权价格的渐近展开式。首先，离散情况下最可能的路径近似是在定理2.2中获得的，它使用了[40]中获得的过渡密度的布朗桥表示（见下面的定理2.1）和高维拉普拉斯渐近公式（引理2.1）。其次，在定理2.3中，通过在离散情况下取近似的形式极限，导出了连续情况下最可能路径近似的表达式。这为连续监视的亚洲调用的最可能路径近似的前导顺序提供了启发式推导。我们假设标的资产S遵循局部波动率模型dst=Stσ`（St，t）dWt=a（St，t）dWtS=S>0。（2.1）我们假设扩散函数a（s，t）是严格正的（s=0时可能为0的情况除外），并且在s中最多线性增长：存在C>0，使得0≤ a（s，t）≤ C（1+| s |）适用于所有t∈ [0，T]和所有s∈ R（2.2）并且是局部Lipschitz：对于每一个R>0，都存在CRsuch，对于所有t∈ [0，T]对于每x，y∈ R带| s |，| s |<R | a（s，t）- a（s，t）|≤ CR | s- s |。（2.3）4 L.-P.ARGUIN、N.-L.LIU和T.-H.Wang这些假设足以暗示SDE强解的存在性和唯一性（2.1）。

此类解决方案还将满足第3节所述的基于[9]中工作的大偏差原则。设p（T，sT | T，sT），T<T，是局部波动模型（2.1）从（T，sT）到（T，sT）的转移概率密度。考虑s>0时，s toxx=Д（s，t）=Zssdξa（ξ，t）的Lamperti变换。（2.4）由于a是局部Lipschitz假设的，并且除s=0外，a是严格正的，因此对于所有s>0的情况，转换都是明确的，除非s=0。【40】中导出了过渡密度p的以下表示形式。定理2.1。设S=（St，t≥ 0）是（2.1）中给出的扩散过程。用h（x，t）=νt（s，t）定义函数h-as（s，t）/2，s=Д-1（x，t），其中ν是Lamperti变换（2.4），子指数是指相应的偏导数。那么，从（t，st）到（t，st）的S的跃迁密度p有如下表示：p（t，st | t，st）=g（t- t、 ^1（sT，t）- Д（st，t））a（st，t）~EД（st，t），Д（st，t）赫兹（Xs，s）dXs-RTth（Xs，s）dsi（2.5），其中g表示中心高斯密度，方差t:g（t，ξ）=exp(-ξ/2t）/√2πtandEx，y[·]是从x到y的布朗桥测度下的期望。等价地，如果H是H相对于x的反导数，即，xH（x，t）=h（x，t），对于所有x和t，则p（t，sT | t，sT）=g（t- t、 ^1（sT，t）- Д（st，t））a（st，t）eH（Д（st，t），t）-H（Д（st，t），t）×~E（st，t），Д（st，t）he-RTth（Xs，s）+hx（Xs，s）+2Ht（Xs，s）dsi。（2.6）为了符号的简单性，下文中我们将（2.5）中的期望项表示为ψ（st，st）=EИ（st，t），Д（st，t）赫兹（Xs，s）dXs-RTth（Xs，s）dsi。（2.7）使用此符号，我们还将（2.6）ψ（st，st）=eH（Д（st，T），T）中的项-H（Д（st，t），t）×~E（st，t），Д（st，t）he-RTth（Xs，s）+hx（Xs，s）+2Ht（Xs，s）dsi。(2.8)2.1. 离散监测亚洲呼叫的小时间渐近。假设在t<t<···<tn且t=0和tn=t的时间点对（算术）亚洲呼叫进行离散采样。

换言之，这种亚洲电话的支付是NNXI=1Sti- K！+，（2.9）亚洲期权定价中的最可能路径5，其中假设采样点之间的时间间隔相等，即ti-ti公司-1个=对于i=1，···，n，t=t/n。通过使用布朗桥表示法（2.5）或（2.6），St，····，stnca的接缝密度可以写成asp（t，St | t，St）p（t，St | t，St）···p（tn，stn | tn-1，stn-1） （2.10）=nYi=1g(t、 ^1（sti、ti）- ^1（sti-1，ti-1） ）ψ（sti，sti-1） a（sti，ti）。（2.11）在这种表示法中，在K处发出的离散监控亚洲赎回的价格C=C（s，0；K，T）可以写为asC=E“nnXi=1Sti- K+#=ZZnnXi=1sti- K+nYi=1p（ti，sti | ti-1，sti-1） dst···dstn=（2πt） NZZNXI=1sti- K+e-D（s，t）tW（s，t）ds，（2.12），其中d（s，t）=nXi=1^1（sti、ti）- ^1（sti-1，ti-1), W（s，t）=nYi=1ψ（sti-1，sti）a（sti，ti），（2.13）表示t=（t，···，tn），s=（st，··，stn）和ds=dst···dstn。因此，亚洲买入价C的计算变成了多维积分（2.12）的计算。以下拉普拉斯渐近公式将用于估计（2.12）中的n维积分t、 引理2.1。（Laplace渐近公式）设R是RN中具有非空光滑边界的闭集R、 假设θ是R中的连续函数，并且在x处唯一地达到其最小值*∈ R和，givenany > 0，存在δ>0，使得θ（x）≥ θ（x*) + 所有x的δ∈ R\\B（十）*), 其中b（十）*) = {x：| x-x个*| < } 是半径的开放球 以x为中心*.

假设fis在R中可积，即RR | f（x）| dx<∞ f在Rc和边界上完全消失R但f在x处的内向法向导数*为非零。然后我们得到了渐近展开式τ→ 0+ZRe-θ（x）τf（x）dx（2.14）=（2π）n-1τn+3e-θ（x*)τpdettθ（x*)|θ（x*)|f（x*) · θ（x*)|θ（x*)|+trn公司tf（x*)tθ（x*)-1o+O（τ）,哪里tf（x*) 和tθ（x*) 是f和θ的Hessian矩阵，分别在x处与R的切向上*.6 L.-P.ARGUIN、N.-L.LIU和T.-H.Wang引理的证明是标准而直接的。例如，参见【4】中的第8.3节。现在我们将拉普拉斯渐近公式（2.14）应用于多维积分（2.12），取θ=D（s，t），f=nPni=1sti- KW（s，t），R作为半空间R：={s:1/nPni=1sti≥ K} 。应用拉普拉斯渐近公式（2.14）的关键步骤是确定半间隔棒中D的最小点，这归结为解决约束优化问题：minsnXi=1^1（sti、ti）- ^1（sti-1，ti-1)（2.15）受试者tonnXi=1sti≥ K、 （2.16）备注2.1。对于if s，我们将在下面假设s<K≥ K、 约束优化问题（2.15）：（2.16）的值为0，因为可以简单地取st=st=···=stn=s，然后取s+···+sn=ns≥ 对于所有1，nK和Д（sti，ti）=Д（st，ti）=0≤ 我≤ n、 因此，（2.15）中的目标函数达到其全局最小值0。备注2.2。我们在第6节附录I中表明t足够小，则（2.15）中的目标函数实际上是凸的，这反过来意味着，如果存在极小值，则它是唯一的，因为约束是一个线性不等式。我们总结了定理2.2中一个离散监控亚洲呼叫的价格结果，其在时间齐次情况下的证明只是拉普拉斯渐近公式（2.14）的直接应用，因为函数D和W与t无关。