基于市盈率的股票交易：一个动态贝叶斯网络模型

此外，我们必须为给定父节点的每个节点建立条件概率分布函数。我们将所有节点的条件概率分布函数定义如下：转移概率分布函数：Let i，m∈ {1，…，M}，t∈ {2, 3, ...}p（zt=ai | zt-1=am），wim。（8） 请注意，0≤ wim公司≤ 1，PMm=1wim=1。矩阵W=（wim）M×Mis称为转移矩阵，即{zt}是马尔可夫链。排放概率分布函数：对于所有m∈ {1，…，M}，n∈ {1，…，N}，t∈ {1, 2, ...}p（yt | zt=am，p E*= 式（6）中的φmn（yt）（9），φmn（yt）=N（ln（bn（1+am）），σ）。矩阵Φt=（φmn）M×Nis称为周期t的发射矩阵。初始概率分布函数：对于每个M∈ {1，…，M}，um，p（z=am）（10），其中0≤ 嗯≤ 1和PMM=1um=1。对于每个n∈ {1，…，N}，vn，p（p E*= bn）（11），其中0≤ 越南≤ 1和PNN=1vn=1。向量u=（um）和v=（vn）称为初始向量。因此，在这个贝叶斯框架中，模型参数集是θ={W，u，v，σ}，我们的参数空间是Θ={θ| 0≤ 嗯≤ 1，MXm=1um=1，0≤ 越南≤ 1，NXn=1vn=1，0≤ wim公司≤ 1，MXm=1wim=1，σ>0}。（12） 如果我们知道所有参数，我们可以根据前向-后向算法推导推理方程，如第3.1小节所示。如果参数未知，我们必须首先对其进行估计。本文推导了基于最大后验概率（MAP）和期望最大化（EM）算法的估计过程。在下一节中，我们将展示如何推导推理和参数估计算法。3关于股票价格动态DBN的贝叶斯推断在前面的章节中解释过，我们的目标是对PE*进行推断，以便我们能够估计股票的基本价格。在第4节中，我们将表明{zt}的估计在投资中也是有用的。

为了推断这两个潜在变量的值，类似于隐马尔可夫模型（HMM）和线性状态空间模型（LSSM）[7，15]，我们需要分两步推导方程。首先是参数已知的推理算法，其次是参数未知的参数估计算法。然而，由于有两种类型的潜在状态，如前一节所述，图2所示的图形模型比HMM和LSSM更复杂。在本节中，我们将展示两种推理任务的新方程。为了简化符号，我们使用符号xT来表示{x，…，xT}。3.1已知参数假设θ与观测数据yT相对应的推断是已知的。与HMM类似，用于估计ZT和P E的潜在状态*, 我们需要找到递归公式来计算数量：过滤概率p（zT，p E*|yT，θ）和平滑概率P（zt，P E*|yT，θ），t∈ 1.T- 1.为了保持公式的简单，在本节中，我们将省略概率符号中的θ，例如，我们只写p（zT，pe*|yT）用于过滤。过滤公式，用于估计最新中期效应的条件联合概率zT=amand P e*= bn给定所有观测变量，由以下递推公式给出：p（zT=am，p E*= bn | yT）=p（zT=am，p E*= bn年至今-1，yT）∝ p（yT | yT-1，zT=am，P E*= bn）p（zT=am，p E*= bn年至今-1） =φmn（yT）PMi=1p（zT=am，zT-1=ai，P E*= bn年至今-1） =φmn（yT）PMi=1p（zT-1=ai，P E*= bn年至今-1） p（zT=am | zT-1=ai）=φmn（yT）PMi=1p（zT-1=ai，P E*= bn年至今-1） wmi（13）在上述推导中，连续应用Bayes规则、图2所示DBN的条件独立属性[15]和求和规则，以获得上述结果，类似于HMM的过滤方程。

递推公式的初始方程可以类似地导出：p（z=am，p E* = bn | y）=φmn（y）umvn。接下来是平滑公式，用于估计任何日期t<t中期噪声影响zt=amand P e的条件联合概率*= bn给定所有观测变量，由式（14）中的所谓前向-后向公式给出：对于所有t∈ {1，…，T- 1} ，（注意，yT=ytSyTt+1）p（zt=am，p E*= bn（年初至今，年初至今+1）∝ p（yTt+1 | yt，zt=am，p E*= bn）p（zt=am，p E*= bn | yt）=p（yTt+1 | zt=am，p E*= bn）p（zt=am，p E*= bn | yt）。（14） 请注意，我们的DBN的条件独立属性在第一项中应用。另请注意，第二项实际上是过滤概率。因此，我们只需要关注第一项，它具有以下循环关系：p（yTt+1 | zt=am，p E*= bn）=PMi=1p（yTt+1，zt+1=ai | zt=am，P E*= bn）=PMi=1p（yTt+1 | zt+1=ai，zt=am，P E*= bn）p（zt+1=ai | zt=am，p E*= bn）=PMi=1p（yTt+1 | zt+1=ai，P E*= bn）p（zt+1=ai | zt=am）=PMi=1p（yTt+1 | zt+1=ai，p E*= bn）wim=PMi=1p（yt+1，yTt+2 | zt+1=ai，P E*= bn）wim=PMi=1p（yTt+2 | yt+1，zt+1=ai，P E*= bn）p（yt+1 | zt+1=ai，p E*= bn）wim=PMi=1p（yTt+2 | zt+1=ai，P E*= bn）φin（yt+1）wim。（15） 结束条件可以用类似的方法求解p（yT | zT-1=am，P E*= bn）=PMi=1φin（yT）wim。利用导出的递推公式，我们可以得到Wanted潜变量P E的最可能值*每个ZT都使用边缘化，例如P e*= arg maxbnp（P E*= bn | yT），其中p（p E*= bn | yT）=PMm=1p（zt=am，P E*= bn | yT）。为了在计算机程序中实现滤波和平滑，我们还需要求解上述推导中出现的常数公式。为了完成这项任务，使用上述递归方程的矩阵重新表述是最方便和有效的方法。下面，我们只给出最终结果，因为细节超出了空间限制。

推导细节可以在本文的完整版本中找到【30】。为了得到矩阵公式，首先将过滤密度表示为αtmn=p（zt=am，p E*=bn | yt）。当t>2时，确定αtmn=φmn（yt）PMi=1wmiαt-1，i定义α1mn=φmn（y）umvn。根据等式（13），我们得到αtmn∝ αtmn，t、 定义ct=PMm=1PNn=1αtmn。可以看出，αtmn=αtmn/ct。表示矩阵At=（αtmn）M×N，我们可以表示At=ctΦto （瓦特-1） ，t>2（16），其中o 表示矩阵的entrywise（或Hadamard）乘积。Φtand W分别表示发射矩阵和转换矩阵，如第2节所述。对于初始情况，我们有a=cΦo （uvT）（17），其中u和v如第2节所定义。为了获得平滑密度的矩阵公式，我们首先定义βtmn=p（yTt+1 | zt=am，p E*= bn）p（yTt+1 | yt）。（18） 根据公式（14），我们得到t<Tp（zt=am，P E）的平滑密度*= bn | yT）=αtmnβtmn。（19） 表示矩阵Bt=（βtmn）M×N，t<t，我们可以显示Bt-1=cTWTΦT，（20）和BT=ct+1WT（ΦT+1o Bt+1），t∈ {1，…，T- 2}. （21）3.2未知参数的推断在一般情况下，θ未知，因此只有观测数据yTis可用。在这种情况下，必须首先估计θ。期望最大化（EM）是一种通用方法，能够估计具有潜在变量的概率模型的最大似然和最大后验概率（MAP）问题设置中的参数θ[31]。在这里，我们在MAP设置中公式化参数估计，以便将专家的先验知识应用到模型中。形式上，我们想解决以下问题，即最大化θ的后验pdf。θMAP=arg maxθ∈Θ（θ| yT）。（22）通过使用初始参数θ（1）和先验p（θ）的任意集迭代求解以下两个步骤，找到等式（22）的解。

从j=1，2。。。，doE步骤：计算平滑概率p（zt=am，p E*= bn | yT，θ（j）），t、 m，nM步骤：解决约束最大化问题，θ（j+1）=arg maxθ∈Θ[Q（θ；θ（j））+ln p（θ）]（23），其中Q（θ；θ（j））=EzT，p E*|yT，θ（j）[ln p（yT，zT，p E*|θ） ]（24）EM重复这两个步骤，直到θ（j）收敛。请注意，EM保证找到公式（22）[7]的局部最大值。公式（24）中的参数只是模型的对数似然：lnp（yT，zT，pe*|θ） =TXt=1ln p（yt | zt，p E*, θ） +TXt=2ln p（zt | zt-1，θ）+lnp（z |θ）+lnp（pe*|θ） 。（25）根据DBN，它们分别是排放pdf、过渡pdf和初始pdf的对数。通过方程处理，可以通过使用E步骤中已经完成的平滑概率来计算期望公式（24）。因此，我们得到了式（24）的闭合形式。结合下面描述的ln p（θ）项，可以很好地定义约束最大化方程（24），并且可以使用拉格朗日乘子法轻松求解。所有推导细节都很长，可以在本文的完整版本中找到，它们的数学结构与HMM的简单情况相同【7】。专家可以通过p（θ）inEq将其知识应用到参数估计过程中。（23）。这里，我们假设所有参数都是独立的，p（θ）=p（σ）p（u）p（v）p（W）。根据我们的经验，投资专家通常有两种类型的知识可用于估计θ。第一类知识是关于体育*. 通常，专家可能能够估计适当的P E范围*通过分析企业的业务战略及其行业竞争情况来达到这一水平。第二类知识是关于中期噪音效应的持续程度，如第2节所述，中期噪音效应使股票价格在相当长的时间内偏离其基本面。

对于一些公司，例如没有投资者关系部门的公司，当存在一些未经证实的谣言时，其价格可能会长期偏离其基本面。相反，一些拥有强大公共和投资者关系部门的公司可以很快澄清未经证实的谣言，因此这种谣言影响不会持续太久。这两类专家信息可以分别编码在p（v）和p（W）上。向量v=（vn）N×1的先验（v）可以通过狄里克莱分布表示：p（v）=τ（k+k+…+kN）τ（k）τ（k）。。。τ（kN）NYn=1vkn-1n（26）直观，kn，n∈ {1，…，N}是每个可能P E的置信度*价值bn。专家可以利用他们的观点，认为体育的某些价值*, e、 g.Bi相对而言比其他值更有可能，因为Kir的值相对高于其他kn，n 6=i。有关Dirichlet先验的更多详细信息，请参见[33]。编码中期噪声影响平均持续度的先验转移矩阵p（W）也可以用虹膜先验的乘积来描述：p（W）=QMm=1p（wm），其中如第2节所定义，wm=（wim）i=1，。。。，Mdenotes概率p的M×1向量（zt+1=ai | zt=am），i=1。。。，M、 andp（wm）=τ（PMi=1kim）QMi=1τ（kim）MYi=1wkim-1im（27）中期影响的持续程度可以通过相对增加kmm的值来设定，与其他值kim相比，i 6=m。kmm相对较高，中期影响的持续性越强。由于中期效应是随机出现的，因此可以对称设置其他值：kim=（1- kmm）/（M- 1） ，对于本节中的i 6=m.4实验，我们将说明我们的方法在实际应用中的优势。为此，我们将进行全面的交易模拟，以显示我们的方法优于标准基准的一致优越性能。

在金融学文献中，根据主流研究人员广泛接受的有效市场假说[34、35、10]，金本位基准令人惊讶地是一种简单的“买入并持有”方法，从经验上证明，这种方法从长期来看是有效的。令人惊讶的是，许多证据清楚地表明，大多数采用复杂主动投资组合管理技术的共同基金经理无法击败市场投资组合的简单“买入并持有”[36，37]。在本文中，我们将在个人股票层面和投资组合层面上，对我们的方法与黄金标准“买入并持有”方法进行测试。4.1实验设置在本文中，我们将在两个不同国家的市场进行交易模拟，我们可以访问历史数据：纽约证券交易所（NYSE）和泰国纳斯达克（NASDAQin US）和泰国证券交易所（SET）。虽然纽约证券交易所和纳斯达克代表着成熟的股票市场，但SET代表着一个新兴市场，因此我们能够在两个市场阶段测试我们的方法。对于每个国家，我们从不同行业收集了10家公司，以确保我们的方法不仅仅局限于某一特定行业。每一家选定的公司都建立了良好的基础，并拥有至少5年的历史交易数据。表1和表2分别列出了选定的泰士托克和美国股票公司及其各自部门的名称。我们收集每家公司（2012年1月1日至2016年9月30日）的每日5年历史收盘价数据，包括1160套股票的收盘价和1195套纽约证券交易所和纳斯达克股票的收盘价。数据数量的差异是由于两国工作日的不同。如果在这5年期间发生股票分割和股票分割，则对所有数据进行调整。

为了避免重复书写，这里，我们将仅解释历史价格P，…，集合中股票的实验设置。。。，P、 纽约证券交易所和纳斯达克股票的实验设置是相似的。表1：泰国选定企业及其行业的股票符号。BigCap、MidCap和SmallCap是根据市场规模（以泰铢为单位）确定的，市场规模分别超过1000亿、100亿和10亿泰铢。Symbol Industry SizeCPALL Retailing Food and Staples BigCapCPN Developer Department Stores BigCapEASTW Utilities Water Resources MidCapGLOW Utilities Power Plant BigCapHMPRO Retailing Housing Housing Products BigCapQH Developer Housing MidCapROBINS Retailing General MidCapSCB Banking BigCapSNC Electrical Equipments SamllCapTTW Utilities Tap MidCapTable 2：美国选定公司的股票符号，以及他们的行业。BigCap，中档和小档是根据市场规模（以美元为单位，2016年onDec 7检索到的数据）确定的。Symbol行业规模WMT服务折扣和多样化商店218.48BHD服务家装商店157.86BKO消费品饮料软饮料173.51BG服务商业服务4.925BAAPL消费品电子设备58437亿KE消费品纺织品服装鞋类和配件84.35亿英镑金融资产管理51.89亿英镑基础材料农药6.695BCSCO技术-网络和通信设备147.88BDIS服务娱乐多样化157.41B对于每家公司，还收集了这些年的相应年度收益数据。E定义为每个数据t最近4个季度收益的总和。

第一个三年历史数据（2012年1月1日至2014年12月31日）P。。。，潘德。。。，E将用作我们的贝叶斯方法的训练数据，以使用EM算法学习适当的参数θ={W，u，v，σ}，并估计P E的最可能值*和{z，…，z}，通过第3节中解释的平滑方法。常数{a，…，aM}和{b，…，bN}由专家设定。由于常数M决定了转移矩阵W=（wim）M×M的大小，因此我们将应变M设置为<10，以便模型不会过度参数化，并且3年的历史数据足以了解W。对于所有先验分布，除p（W）外，我们的“安全专家”强调第3.2小节所述的ZT持久性的先验知识，我们采用非信息先验知识。每个交易模拟针对每个股票进行，剩余的2年历史数据P。。。，Pto衡量我们的方法和基准的性能。实践者使用的绩效衡量指标是每种方法产生的利润。利润计算很简单：对于每一次交易模拟，每种方法都会得到一笔交易的初始现金I（考虑到佣金），利润只是模拟结束时的所有资产价值减去I。为简单起见，我们假设可以用我们所有的钱购买每支股票，例如，假设我们有100美元，一只股票的价格是12美元，那么我们可以买100/12=8.33只股票。使用基准“买入并持有”策略，我们只需要在开始时用所有现金买入股票，然后在结束前什么都不做。最初，这种方法将得到C.I/P股，其中C≈ 0.9987表示在考虑SET的佣金后的资产价值。

在模拟结束时，该资产的价值将为P.C.I/P，因此可以轻松计算利润。对于我们的方法所采用的交易策略，有两种可能的版本，其灵感来自于我们模型的主要思想（见图1）和第1节所述的策略a（低买高卖）。第一种被称为长期战略的方法是简单地按照市盈率的静态值“低买高卖”*, 第二种被称为中期战略的方法是，就市盈率的动态价值而言，“低买高卖”*（1+zt），其中每个zt通过第3.2小节中描述的过滤方法进行动态估计。两个版本的形式描述如下。让Itan和Nt分别在t日可用现金和总股份。最初，I=I，N=0。现在，两种交易版本都可以通过以下程序来定义：对于每个日期t，以下情况中只有一种适用：（i）Pt/Et≤ At（1- T r）且It>0（购买小写），其中T r∈ （0，1）是阈值，At=P E*对于长期战略和At=P E*（1+zt）中期战略。在这种情况下，用所有现金购买股票，使Nt+1=C.It/p和It+1=0。（ii）Pt/Et≥ At（1- T r）且它=0（高位卖出）。在这种情况下，出售所有持有股票以获得现金It+1=Pt。Nt。C和Nt+1=0。（iii）如果案例（i）和案例（ii）不满意，则不采取任何行动。所以，它+1=It，而Nt+1=Nt。在交易模拟结束时，t=1160，总利润仅为I+P.N-一、 因此，我们可以与“买入并持有”利润进行比较。我们给出了一些图3和图4所示的交易行为的示例。