快速均值回复分数随机模型下的最优投资组合

变量形式（2.13）的分离，即当前财富U（Xt）乘以与随机因子Yt相关的过程的效用，是由Zariphopoulou（1999）首次提出的马尔可夫案例推动的。当Ytis Markovian时，Zariphopoulou【1999】中的结果通过重写值过程恢复：Vt=U（Xt）heEe1级-γ2qγRTtλ（Ys）ds年初至今iq=U（Xt）v（Yt）q，并将费曼-卡茨公式应用于v（·）。当夏普比退化为λ（y）=λ时，价值过程和最优策略被简化为tovt=X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） ，π*t=λγσ（Yt）Xt。当两个布朗运动WT和Wytar不相关ρ=0时，问题已经是“线性”的，因为q=1。在这种情况下，价值过程和最优策略简化为：Vt=X1-γt1- γEhe1-γ2qγRTtλ（Ys）dsGti，π*t=λ（Yt）γσ（Yt）Xt。命题2.3中的结果也可以推广到对数和/或多重集的情况，更多讨论请参见Fouque和Hu【2017b】。2.2分数布朗运动和分数Ornstein-Uhlenbeck过程标准分数布朗运动（fBm）是一个连续的高斯过程W（H）tt型∈rw平均值为零，c卵巢结构：EhW（H）tW（H）si=σH|t | 2H+| s | 2H- |t型- s | 2H,其中σHis为正常数σH=Γ（2H+1）sin（πH），（2.15）和H∈ （0，1）是赫斯特指数。根据Mandelbrot和Van Ness[1968]，W（H）t可以用以下移动平均积分表示：W（H）t=Γ（H+）ZR（t- s） H类-+- (-s） H类-+dWYs，（2.16），其中（WYt）t∈R+是与（2.2）和（WYt）t中给出的WTA相关的标准布朗运动∈R-:= （B）-t） t型∈R-是另一个独立于（WYt）t的布朗运动∈R+和（Wt）。然后，我们介绍了平稳分数Ornstein-Uhlenbeck（fOU）过程ss asYHt：=Zt-∞e-a（t-s） dW（H）s（2.17），这是由fBm驱动的朗之万方程的唯一（分布中）稳定解（seeCheridito et al。

[2003]）dYHt=-aYHtdt+dW（H）t，（2.18），其中a>0是严格的正参数。它具有零均值和（co）方差结构：σou：=EhYHt公司i=a-2HΓ（2H+1）σH，（2.19）EYHtYHt+s= σou2 sin（πH）πZ∞cos（asx）x1-2H1+xdx：=σouCY（s）。（2.20）通过W（H）t的移动平均表示法（2.16），固定解（2.17）表示为：YHt=Zt-∞K（t- s） dWYs，（2.21）其中WYt公司t型∈Ris——R上的标准布朗运动，如方程式（2.16）所述。非负性K取K（t）=Γ（H+）的形式tH公司-- aZt（t- s） H类-e-asds, （2.22）andR∞K（u）du=σou。对于K（t）的渐近性质，当t<< 1和t>> 1，我们参考【Garnier和Solna，20 17，第2.2节】。当∈（0，），以及当H∈ (, 1). 在第3节中，我们将主要关注H>的情况，如引言中所述。具体来说，我们将研究默顿问题（2.4），当它遵循（2.17）的重新缩放版本时，它是变化的。3快速变化分数随机环境的应用在本节中，我们首先介绍了由Y，Ht表示的-标度平稳fOU过程，其中我们提到了几个性质，证明延迟到附录中。然后，我们研究了这种随机因子Y，Ht下的Merton问题（2.4）。具体而言，我们将给出V表示的值过程和相应的最优策略π的近似值*. 这是通过应用命题n 2.3 w ithYt=Y，Ht来实现的，然后根据第3.1节中提到的性质展开表达式（3.11）。Wealso还表明，仅“领先顺序”策略就可以产生给定的Vt近似值。然而，实现需要使用高频数据跟踪快速因子Y，这不是一个容易的任务。

为了解决这个问题，我们提出了一种实用的策略，该策略不需要用数字说明来跟踪Y，Ht。最后，我们将其结果与马尔可夫方法进行了比较，并指出了考虑长期依赖性的影响。3.1快速均值回复fOU过程-标度分数Ornstein-Uhlenbeck过程Y，Ht定义为Y，Ht：=-HZt公司-∞e-a（t-s） dW（H）s（3.1），其中<< 1是s小参数，H∈ (, 1). 在以下移动平均积分表示式y中，Ht=Zt-∞K（t- s） 德怀斯，K（t）=√Kt, （3.2）WYis是驱动过程Y的布朗运动，Htas在（2.21）中，并且与Wtas在（2.2）中相关。这是一个零均值、平稳的高斯过程，方差为σOU，方差为c，方差为H，H，T+si=σouCYs= σou2 sin（πH）πZ∞cos公司asxx1-2H1+xdx，（3.3），根据需要显示Y、Htis的自然比例。此外，相关函数CY（s）在本质上是不可积的，长程e相关性表现为：CY（s）=（as）2H-2Γ（2H- 1） +o（s2H-2） ，s>> 夏普比率过程sλ（Y，Ht）继承了这种长期相关性，即Cov（λ（Y，Ht），λ（Y，Ht+s））=V ar（λ（Y，Ht））Cλ（s）和Cλ（s）~ O（s2H-2） ，对于s>> 这源于【Garnier和Solna，2016，引理3.1】中对证明的直接修改。现在，我们确认假设2.1（iv）满足Y，Ht。引理3.1。在假设2.1（i）-（iii）下，（3.1）中定义的快速均值回复平稳分数Ornstein-Uhlenbeckprocess Y满足假设2.1（iv）。证据这是Fouque和Hu（2017b）中引理3.1的一个略有不同的版本。使用A（T）的属性≡RtK（s）ds为订单1-H、 基本上相同的证据适用。

因此，我们省略了detailshere。现在，我们引入括号符号h·i，用于对fou过程的不变分布进行平均：hgi：=ZRg（z）√2πσoue-z2σoudz=ZRg（σouz）p（z）dz，其中p（z）是标准正态分布的密度，以及λ和λ，其将在pa的其余部分中使用：λ：=phλi，eλ：=hλi。（3.4）因此，我们定义了几个重要的量，它们是时间平均值和s平均值之间的差异：it：=Ztλ（Y，Hs）-λds，（3.5）ηt：=Ztλ（Y，Hs）-eλds，（3.6）κt：=Ztλ（Y，Hs）λ′（Y，Hs）- hλλ′ids。（3.7）附录A证明，根据Y，Ht的遍历性，这些差异很小，且为1级-H、 其中还说明了关于Y，Ht的更多适当关系和时间。设Ck为函数λ（·）的“概率论者”埃尔米特系数：Ck：=ZRHk（z）λ（σouz）p（z）dz，Hk（z）=(-1） 千盎司/2dke-z/2dzk。埃尔米特多项式与过程有着天然的联系。现在，我们陈述了emma a.2中要求的关于λ（·）的进一步假设。假设3.2。存在α>4，因此∞Xk=0αkCkk！<∞,其中，Ck是上述埃尔米特系数。备注3.3。Garnier和Solna【2016】中给出的假设3.2的有效条件如下所示。如果λ（x）的形式为λ（x）=Zx/σou-∞f（y）dy，其中函数的傅里叶变换满足^f（ν）≤ C扩展(-ν） 对于一些C>0的情况，则消耗3.2已满。证明依赖于Parseval恒等式，我们参考【Garnier and Solna，2016，Lemma A.2】了解详细信息。在本节的其余部分中，我们研究了默顿问题（2.4），当随机环境由Y建模，H限制为H>时，以及当投资者的效用为幂型时。

注意，在这种情况下（事实上，只要H 6=），Y，Ht既不是半鞅也不是马尔可夫过程，因此通常的Hamilton-Jacobi-Bellman偏微分方程不可用。然而，我们有可以直接应用的命题2.3，这将是我们推导近似值的起点。3.2值过程的一阶近似值让St遵循动态St=Sthu（Y，Ht）dt+σ（Y，Ht）dWti，（3.8），其中Y，Ht是上面用H>描述的由sca引导的平稳过程（3.1）。然后，财富过程XπtbecomesdXπt=πtu（Y，Ht）dt+πtσ（Y，Ht）dWt。（3.9）用Vt表示当前设置下时间t的值过程：Vt：=ess supπ∈AtE[U（XπT）| Ft]，（3.10），其中上标强调了Y，Ht对的依赖，可容许集的符号也相应地从Atto A更改。直接应用命题2.3，在Yt=Y的情况下，Ht给出了Vt的以下表达式：Vt=X1-γt1- γheEe1级-γ2qγRTtλ（Y，Hs）ds燃气轮机智商。（3.11）定理3.4。在small的情况下，根据假设2.1和3.2，对于固定的∈ [0，T），Vttakes of mvT=QT（Xt）+o（1-H） ，（3.12），其中qt（x）=x1-γ1- γe1-γ2γλ（T-t） “1+1- γγφt+1-Hρeλ1.- γγhλλ′i（T- t） H+aΓ（H+）#。（3.13）此处φ是定义为φt=E“ZTt”的随机过程λ（Y，Hs）-λds公司Gt#，（3.14），其顺序为1-已在引理A.1（ii）中证明。符号o（1-H） 表示阶数高于1的Ft自适应随机变量-Hin L.证明。

为了得到（3.12）-（3.13），我们首先展开ψt：=eEe1级-γ2qγRTtλ（Y，Hs）-λds公司燃气轮机, （3.15）然后，我们将泰勒公式应用于函数xq。利用Itis“small”这一事实和exin x的泰勒展开式，可以推断ψt=eE“1+1- γ2qγZTtλ（Y，Hs）-λds+R[t，t]Gt#=1+1- γqγeE“ZTtλ（Y，Hs）-λds公司Gt#+eER[t，t]| Gt, （3.16）式中，R[t，t]=eχh1-γ2qγRTtλ（Y，Hs）-λχ为有界拉格朗日余数的DSI。因此，特尔梅R[t，t]| Gt订单号为2-2 Hin-Lby引理A.2（i）。定义p鞅ψtbyeψt=eE“ZTG（Y，Hs）dsGt#，G（y）=（λ（y）-λ).泰勒展开G（Y，Hs）于Y=eY，Hs：=Rs-∞K（s）- u） dfWYu、Y、Hs-eY，Hs~ O（1-H） （见引理A.3（i））yieldseψt=eE“ZTG（eY，Hs）dsGt#+eE“ZTG”（eY，Hs）Y，Hs-eY，Hsds公司Gt#+eE“ZTG′（χs）Y，Hs-eY，Hsds公司Gt#=eE“ZTG（eY，Hs）dsGt#+eE“ZTG′（eY，Hs）Zsρ1.- γγλ（Y，Hu）K（s- u） du dsGt#+O（2-2H）：=eψ，1t+eψ，2t+O（2-2H）。现在仍然需要找到ψ，jt，j=1，2，直到或de r1的近似值-H、 为此，我们需要L:R（1）t：=1中的以下估计-HZt（T- u） H类-λ（Y，Hu）-eλ杜邦~ o（1-H） ，（3.17）R（2）t：=eE“ZTG′（eY，Hs）- hλλ′iZsρ1.- γγλ（Y，Hu）K（s- u） du ds燃气轮机#~ o（1-H） ，（3.18）R（3）t：=eE“ZTZsλ（Y，Hu）-eλK（s）- u） du ds燃气轮机#~ o（1-H） 。（3.19）证明是技术性的和冗长的，因此推迟到引理A.4。为了压缩符号，我们定义ψt=E“ZTλ（Y，Hs）-λds公司Gt#，（3.20）θt：=ZTtEG′（Y，Hs）| GtK（s）- t） ds，（3.21）eθt：=ZTteE[G′（eY，Hs）| Gt]K（s）- t） ds，（3.22），其中ψ是满足dψt=θtdWYt的P-鞅（详见引理a.1（i））。

类似地，我们还讨论了ψt=eθtdfWYt，以及引理A.3（ii）中讨论的nθt和eθfwyt之间的差异。接下来，术语ψ，1和ψ，2计算如下：eψ，1t=eE“ZTG（eY，Hs）dsGt#=eE“ZTG（eY，Hs）dsG#+ZteθudfWYu（eY，Hs | GD=Y，Hs | G）=E“ZTG（Y，Hs）dsG#+ZtθudWYu+Zteθu- θudWYu公司-中兴通讯θuρ1.- γγλ（Y，Hu）du（ψtandeθu的表达式- θu~ O（2-2H））=ψt- ρ1.- γγZtθuλ（Y，Hu）du+o（1-H） （θu=1-Hθu+eθu）=ψt- 1-Hρ1.- γγZtθuλ（Y，Hu）du- ρ1.- γγ中兴通讯θuλ（Y，Hu）du+o（1-H） （eθu~ o（1-H） ）=ψt- 1-Hρ1.- γγeλZtθudu- 1-Hρ1.- γγZtθuλ（Y，Hu）-eλdu+o（1-H） （θu的定义和R（1）t的估计）=ψt- 1-Hρ1.- γγeλhλλ′iaΓ（h+）TH公司+- （T- t） H类++ o（1-H） ，andeψ，2t=eE“ZTG′（eY，Hs）Zsρ1.- γγλ（Y，Hu）K（s- u） du dsGt#=hλλ′ieE“ZTZsρ1.- γγλ（Y，Hu）K（s- u） du dsGt#+R（2）t=hλλ′iρ1.- γγeλZTZsK（s- u） du ds+R（2）t+R（3）t（R（2）和R（3）t的估计）=1-Hhλλ′iρ1.- γγeλTH+aΓ（H）++o（1-H） 。所有的推理都在括号中逐行提到，证明可以在引理A.1（i）、A.3和A.4中找到。将eψ，1和eψ，2的展开式组合在一起，得到eψt=ψt+1-Hρ1.- γγeλhλλ′iaΓ（h+）（T- t） H++o（1-H） 。（3.23）从（3.23）的两侧减去rtg（Y，Hu）du，再加上（3.16）、（3.14）和（3.20），得出ψt=1+1- γqγφt+1-Hρ1.- γγeλhλλ′iaΓ（h+）（T- t） H类++ o（1-H） 。（3.24）泰勒展开xqp产生期望的结果vt=X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） （ψt）q=X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t）1 +1 - γγφt+1-Hρ1.- γγeλhλ′iaΓ（h+）（T- t） H类++ o（1-H） 。观察前导项有两个修正：一个随机分量φt，一个确定性函数t，xt和相对于Y，Ht的空间平均值，两者都是1阶-H、 3.3最优策略的一阶展开我们现在转向最优投资组合π*这导致了Vt。

在分数随机环境下，Ht，命题2.3中最优策略（2.14）的形式变为π*t=“λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）+ρqξtγσ（Y，Ht）#Xt。（3.25）由于存在由鞅表示定理（2.11）给出的ξt，因此它不是完全明确的。在small的区域中，我们使用上面导出的（3.24）来获得π的以下展开式*t、 定理3.5。在假设2.1和3.2下，我们得到最佳策略π的以下近似值*t： π*t=“λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）+1-Hρ（1- γ） γσ（Y，Ht）hλλ′iaΓ（h+）（T- t） H类-#Xt+o（1-H） （3.26）：=π（0）t+1-Hπ（1）t+o（1-H） 。证据这是通过从定义（2.11）推导ξt的展开式来实现的。通过比较（2.10）到（3.15），我们重写了关于ψtb的Mt，Mt=ψte1-γ2qγRtλ（Y，Hs）dse1-γ2qγλ（T-t） ，然后使用ψt的近似值（3.24）。因为，通过定义，Mtis aeP鞅，在下面的计算中，当It^o的公式应用于t时，我们将只集中在扩散部分。更准确地说，漂移项不会被显式计算，而是被“dt项”所取代，换句话说，只要它们不影响扩散部分，计算就被忽略：dMt=Mt（ψt）-1dψt+dt项=Mt（ψt）-11- γqγdφt+dt项=Mt（ψt）-11- γqγdψt+dt项=Mt（ψt）-11- γqγθtdWYt+dt项=Mt（ψt）-11- γqγθtdfWYt。在上述推导中，我们先后使用了（3.24）、dψt=dφt+dt项和dψt=θtdWYt。然后简单地确定ξ，并推导出近似值ξt=（ψt）-11- γqγθt=1-H1- γqγθt+o（1-H） =1-H1- γqγhλ′iaΓ（h+）（T- t） H类-+ o（1-H） 使用θt=1-Hθt+eθt（详见引理A.1（i））。将上述表达式插入（3.25）将得到所需的结果（3.26）。请注意，在上述近似中，根据状态过程的反馈形式，领先阶策略π（0）和一阶校正项π（1）都是重要的。

因此，如果一个人决定跟踪快速变化的过程Y，ht以实现π（0）t，那么当π（1）也包括在内时，就不需要进一步的计算成本来合并跨期套期保值。另一方面，追踪Y，HTI并不容易，需要复杂的计量经济技术。第3.5节将对此问题进行说明。在此之前，我们讨论了π（0）的str策略有多好。3.4π（0）的渐近最优性在这个子部分中，我们研究了V与按照（3.26）中给出的零阶策略获得的值函数之间的关系：π（0）t=λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）Xt。设Xπ（0）t是与π（0）t相关的财富过程：dXπ（0）t=u（Y，Ht）π（0）tdt+σ（Y，Ht）π（0）tdWt=λ（Y，Ht）γXπ（0）tdt+λ（Y，Ht）γXπ（0）tdWt，并用Vπ（0）表示，·相应的值proce ssVπ（0），t：=eheheheh U型Xπ（0）T那么，Fti的结果如下：推论3.6。根据假设2.1和3.2，对于∈ 观察值Xt，Vπ（0），tis近似于Vπ（0），T=QT（Xt）+o（1-H） ，（3.27），其中Q在（3.13）中给出。证据在第4节命题4.3中，这种近似结果是在更一般的设置下给出的，即U（·）是包含功率r效用情形（2.5）的一般形式。因此，这里的证明是一个简单的应用，它采用了符号v（0），v（1）。。。在命题4.3到电力效用的情况下，和（3.27）很容易验证。现在，将定理3.4与推论3.6相结合，得出Vπ（0），t- Vtis of order o（1-H） ，这表明π（0）talready生成前导阶项加上两个1阶修正-Hgiven by（3.13）。因此，我们声明：π（0）在所有容许策略Atup to order1内是渐近最优的-H、 3.5实际策略上述分析依赖于Y、Ht可观察或可跟踪的假设。

换句话说，为了实现主项π（0）t，需要跟踪任何t的快速变化因子Y，ht∈ [0，T]。这通常不切实际，长期投资者不会解决这一问题，因为这通常需要高频数据并处理微观结构问题，如Fouque et al.（2015）所述。相反，他们更愿意寻找一种不依赖于因子Y，Ht的实用策略。为此，我们提出了这样一种策略，并根据效用对其损失进行量化。在small制度下，与当前财富水平成比例的最优Y独立策略是：(R)π（0）t=uγσXt，（3.28），其中系数为u=hui，σ=σ.这是通过将ansatz'π（0）t=cXt组合起来，然后通过优化相应问题值的引导顺序项来确定c来实现的。在自我融资的情况下，安萨兹之后的财富过程（3.9）变为：X'π（0）t=XeRt（cu（Y，Hs）-cσ（Y，Hs））dt+Rtcσ（Y，Hs）dWs，问题的值计算为sV'π（0），t=E[U（X'π（0）t）| Ft]=X1-γt1- γEe（1-γ） RTt（cu（Y，Hs）-cσ（Y，Hs））dt+（1-γ） RTtcσ（Y，Hs）dWs英尺=X1-γt1- γbEeRTt公司（1）-γ） cu（Y，Hs）-γ-γcσ（Y，Hs）dt公司燃气轮机,其中Wt-（1）-γ） cRtσ（Y，Hs）ds是标准的布朗运动。