快速均值回复分数随机模型下的最优投资组合

利用Y，Ht:ZTt的遍历性u（Y，Hs）-uds公司~ o（1）和ZTTσ（Y，Hs）-σds公司~ o（1），泰勒展开函数exat x=0（与定理m 3.4中的推导类似），我们可以推断：V'π（0），t=X1-γt1- γe[c（1-γ)u-γ-γcσ]（T-t） bE公司eRTt公司（1）-γ） c（u（Y，Hs）-u）-γ-γc（σ（Y，Hs）-σ）dt公司燃气轮机=X1-γt1- γe[c（1-γ)u-γ-γcσ]（T-t） +o（1）。引导顺序优化为c*=uγσ，这导致（3.28），并给出最佳前导次序termX1-γt1- γe1-γ2γuσ（T-t） 。这可以解释为具有锐e比u/σ的最佳值。通过将上述术语与（3.12）-（3.1）中Vtgiven的前导项或后导项进行比较，可以量化使用π（0）的效用损失：X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） ，并由Cauchy-Schwarz间隙λ测量=uσ≥uhσi≥uσ，如Fouque等人【2015年】中的马尔可夫设置。注tha tσ=σ是Garnier和Solna【2016】在长期记忆情况下观察到的期权定价线性问题中产生的平均值。3.6数值说明下一步，我们数值说明π（0）的渐近最优性和π（0）t的次最优性，即，我们使用蒙特卡罗模拟计算Vt、Vπ（0）、t和Vπ（0），tat time t=0，并比较它们的差异。使用方程（3.11）并将测量值从EP更改为P，可以推断SV=X1-γ1- γhEe（1-γ2γ）RTλ（Y，Hs）ds+ρ（1-γγ）RTλ（Y，Hs）dWYsG智商。求解Xπ（0）的SDE，并将溶液插入Vπ（0），tbringVπ（0），=X1的定义中-γ1- γEe-2γ+3γ-12γRTλ（Y，Hs）ds+（1-γγ）RTλ（Y，Hs）dWsF.类似地，遵循Y独立策略‘∏（0）的值过程由v‘∏（0）给出，=X1-γ1- γEe（1-γγ）uσRTu（Y，Hs）ds-1.-γ2γuσRTσ（Y，Hs）ds+（1-γγ）uσRTσ（Y，Hs）dWsF.模型参数选择为：T=1，H=0.6，a=1，γ=0.4，ρ=-0.5，u（y）=0.1×λ（y）0.1+λ（y），λ（y）=Zy/σou-∞p（z/2）dz，我们记得p（z）是N（0，1）-密度。

请注意，上述λ（y）的选择满足假设2.1（i）和3.2（见[Garnie r and Solna，20 16，引理A.2]），λ=phλi=0.7。还请注意，对于u（y）的选择，u（y）和σ（y）=u（y）/λ（y）对于y，H的不变量分布是可重积的，因此u和σ是有限的，并且等于。第087页。0176。由于自然的非马尔可夫结构，我们首先确定了“历史”路径-Mand 0，然后通过500000条路径的平均值来评估每个条件期望。快速变化因子（Y，Ht）t∈[0，T]（3.2）使用Euler格式生成，网格大小为t=10-3，M=（T/t） 1.5（参见Bardet等人【2003年】）。表1中给出的数值结果仅用于说明，因为我们仅计算了由#1、#2和#3表示的少数“omegas”的值。表1：电力公司情况下的值处理Vvs.Vπ（0），Vvs.V'π（0），#1#2#3V1.5772 1.5644 1.3016=1 V- Vπ（0），0.0018 0.0019 0.0024V- V'π（0），0.0689 0.0643 0.0820V1.5567 1.4965 1.3183=0.5 V- Vπ（0），0.0025 0.0028 0.0028V- V'π（0），0.0760 0.0593 0.0999V1.4514 1.4417 1.3976=0.1 V- Vπ（0），0.0026 0.0026 0.0025V- V'π（0），0.0761 0.0756 0.0823V1.4376 1.4375 1.4105=0.05 V- Vπ（0），0.0022 0.0022 0.0021V- V'π（0），0.0750 0.0762 0.0806V1.4417 1.4416 1.4276=0.01 V- Vπ（0），0.0015 0.0015 0.0015V- V'π（0），0.0724 0.0727 0.0748正如预期的那样，策略π（0）t在相对差异较小的情况下表现良好（V-Vπ（0），）/V约为0.1%。更令人惊讶的是，即使的值不是很小，它也能很好地形成rforms。

同样，正如预期的那样，次优的“懒惰”策略π（0）tunderperformsπ（0）tb，但它的表现相对较好，因为（V- V′π（0），）/V约为5%。3.7与马尔可夫案例的比较在马尔可夫案例中，对应于Y、Ht（3.1）建模中的H=值函数的近似值和最优投资组合已在Fouque等人【2015年】中推导出来。它们由：V（t，Xt）=X1给出-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） “1-√ρ1.- γγhλθ′i（T- t） #+O（）（3.29）π*（t，Xt，Y，Ht）=“λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）+√ρ(1 - γ） γσ（Y，Ht）θ′（Y，Ht）#Xt+O（）（3.30），其中θ（Y）解泊松方程θ′（Y）- ayθ′（y）=λ（y）-λ. 这些可以看作是限制→0英里↓我们当前设置的。然而，这些限制并不适用于通勤。例如，如果我们考虑π的小展开式*从（3.26）中，形式上设H=，我们得到“λ（Y，Ht）γσ（Y，Ht）+√ρ(1 - γ） γσ（Y，Ht）hλλ′ia#Xt+o(√），（3.31），对应于极限limH的其他顺序↓lim→0.两个展开式（3.3 0）和（3.31）不同，尤其是它们以不同的方式跟踪一阶修正。关于值过程Vt，首先观察到路径依赖分量φtdisappearsin（3.13）在极限H内↓. 要锻炼身体，林↓lim→0H-1φt=0，（3.32），引理A.1（ii）。这是因为H-1φT在分布上收敛到N（0，σφ（T- t） 2H），其中σφ由σφ=σouhλ′i给出Γ（2H+1）sin（πH）-2HΓ（H+）.然后，通过设置H=inσφ获得权利要求（3.32）。现在，我们得出结论，当取形式极限H时，Vtony表现出反馈型校正↓in（3.13）：X1-γt1- γe1-γ2γλ（T-t） “1+√ρ1.- γγeλhλλ′ia（T- t） #+o(√）。然而，一阶修正通常与（3.29）中的不同。我们注意到，虽然这两组扩展（H=vs.H∈ （，1））形式相同，系数不相同。

这是因为我们在定理3.4和3.5中的推导只对h有效∈ （，1），且奇异摄动在H=。因此，极限的阶数H↓和→ 0是不可互换的，这会导致不同的扩展结果。最后，请注意，在马尔可夫情形H=，对V的一阶修正是“确定性的”，而在情形H>中，同样阶数的随机修正φtof也出现，这是在随机环境Y，Ht中具有长期依赖性的结果。4一般效用和分数随机环境在本节中，我们使用一种辛方法分析非线性资产配置问题，其中效用函数U（x）是一般的，当（3.8）中定义并在第3.1节中讨论的快速变化分数随机因子Y驱动的风险资产的对数回归u和波动率σ时。对于波动率由Y、Ht建模时的线性定价问题，Garnier和Solna【2016】使用模拟方法得出了近似结果。这里，与电力公司的情况不同，价值过程的表示（2.13）和（2.14）以及相应的最优策略不可用，因此无法直接进行渐近展开。然而，我们能够遵循【Fouque and Hu，2017a，第4节】和【Fouque and Hu，2017b，第4节】中提出的理念，部分解决这一公共关系问题。我们首先研究了（4.8）中引入的称为π（0）的特定策略之后的价值过程，然后表明π（0）是达到顺序1的最佳策略-Hamong可容许策略At，eAt[eπ，eπ，α]：=π=eπ+αeπ：π∈ At，α>0，0<≤ 1., （4.1）第4.2节给出了斜纹布的详细定义。

注意，整个At类中π（0）的完全最优性是一个开放的pr问题。在本节的其余部分，我们简要地查看了经典的默顿表m，其中u和σ是（2.1）中的常数。如果效用U（x）是C（0），则用M（t，x；λ）表示相应的值函数，∞),严格递增、严格凹，并满足Inada和渐近弹性条件（参见Kramkov和Schachermayer【2003】中的deta ils）U′（0+）=∞, U′型(∞) = 0，AE[U]：=limx→∞xU′（x）U（x）<1，那么，默顿值函数M（t，x；λ）严格递增，在财富变量x中严格凹，在时间变量t中递减。它是C1,2（[0，t]×R+）并解HJB方程mt+supπσπMxx+uπMx= Mt公司-λMxMxx=0，M（T，x；λ）=U（x），（4.2），其中λ=u/σ是常数夏普比，在（4.2）中作为参数出现。根据默顿值函数M（t，x；λ），我们可以通过（t，x；λ）定义风险容限函数：=-Mx（t，x；λ）Mxx（t，x；λ）。（4.3）很明显，由于M（t，x；λ）的正则性、凹性和单调性，R（t，x；λ）是连续的且具有三元正性。K¨allblad和Zariphopoulo u【2014】以及Fouque和Hu【2017a】在一般效用和附加假设下，还讨论了关于R（t，x；λ）的进一步性质。其中一些在推导中反复使用，并将在证明过程中提及。4.1给定策略的投资组合绩效用v（0）（t，x）表示“平均”夏普比λv（0）（t，x）下的价值函数：=M（t，x；λ），（4.4），λ在（3.4）中给出。使用Fouque等人[201 5]的符号：Dk：=R（t，x；λ）kkx，k=1，2，···，（4.5）Lt，x（λ）：=t+λD+λD，（4.6）和默顿偏微分方程（4.2），v（0）也满足lt，x（λ）v（0）（t，x）=0。

（4.7）策略π（0）定义为π（0）（t，x，y）：=-λ（y）σ（y）v（0）x（t，x）v（0）xx（t，x）=λ（y）σ（y）R（t，x；λ），（4.8），我们的目标是计算以下数量：vπ（0），t：=EhU（xπ（0）t）| Fti，（4.9），其中xπ（0）是反馈形式策略π（0）dXπ（0）t=u（y，Ht）π（0）（t，xπ（0）之后的财富过程t，y，Ht）dt+σ（y，Ht）π（0）（t，xπ（0）t，y，Ht）dWt（4.10）=λ（y，Ht）R（t，xπ（0）t；λ） dt+λ（Y，Ht）R（t，Xπ（0）t；λ） 载重吨。用于研究Vπ（0）的技术被称为“ε-马丁阿尔分解”，该技术最初在Fouque等人【2000】中引入，以解决线性定价问题，后来在Fouque等人【2001】、Garnier a and Solna【20 17，2016】、Fouque a and Hu【2017b】中发展。我们的想法是将ansatz Qπ（0），tforVπ（0），以鞅的形式加上一些小的（非马尔代尔部分）的右端条件。那么这个ansatz确实是Vπ（0）的近似值，t的误差是非鞅部分的阶数。详细的讨论可以在我们刚才提到的参考文献中找到。为了证明ansatz Qπ（0），确实是一个鞅加上期望序的非鞅部分，我们进一步要求对效用函数使用假设4.1，对值函数v（0）（t，x）使用假设4.2。基本上，我们在与Fouque和Hu【2017a】相同的U（·）设置下工作，为了方便起见，我们在这里重申了这些要求。关于一般效用函数的详细讨论见第2.3节。假设4.1。在本节中，我们对效用U（x）进行以下假设：（i）U（x）是C（0，∞), 严格递增、严格凹且满足以下条件（Inadaand渐近弹性）：U′（0+）=∞, U′型(∞) = 0，AE[U]：=limx→∞xU′（x）U（x）<1。（4.11）（ii）U（0+）为e。在不丧失一般性的情况下，我们假设U（0+）=0。（iii）用R（x）表示风险承受能力，R（x）：=-U′（x）U′（x）。

（4.12）假设R（0）=0，R（x）严格递增，R′（x）<∞ 在[0，∞), 存在K∈ R+，因此对于x≥ 0和2≤ 我≤ 4.（i） xRi（x）≤ K、 （4.13）（iv）将边际效用U′（x）的反函数定义为I:R+→ R+，I（y）=U′(-1） （y），并假设对于某些正α，κ，I（y）满足多项式增长条件：I（y）≤ α+κy-α. （4.14）注意，上述第（ii）项排除了电力公用设施U（x）=x1的情况-γ1-γ>1时为γ。然而，本节中的所有结果仍然适用于γ>1的情况，在证明中略有修改。下面是对v（0）（t，x）和xπ（0）t共同需要的附加假设，这也被认为是对U（·）的hiddenassumption。假设4.2。过程v（0）（t，Xπ（0）t）位于肺的in和in t∈ [0，T]，即支持∈[0，T]Ev（0）（t，Xπ（0）t）≤ C（4.15），其中CI独立于。现在我们陈述以下命题，给出Qπ（0），t.proposition 4.3。根据假设2.1（i）-（iii）、3.2、4.1和4.2，对于固定t∈ [0，T），（4.9）中定义的Ft可测值过程Vπ（0），δtde用Qπ（0）近似，取阶数-H： Vπ（0），t=Qπ（0），t（Xπ（0）t）+o（1-H） ，（4.16）其中Qπ（0），t（x）由以下公式得出：Qπ（0），t（x）=v（0）（t，x）+Dv（0）（t，x）φt+1-Hρeλv（1）（t，x）。（4.17）函数v（0）在（4.4）中定义，满足Lt，x（λ）v（0）（t，x）=0，dλ分别来自（4.5）和（3.4），（φt）t∈[0，T]是1阶的Ft可测过程-Hgiven in（3.14）和v（1）（t，x）定义为v（1）（t，x）=Dv（0）（t，x）Ct，t，Ct，t=hλ′iaΓ（h+）（t- t） H+。（4.18）证明。基于ε鞅分解，证明了Qπ（0），tca可以分解为Mt+Rt，其中M是真鞅，Rt是o阶（1-H） 。

在续集中，我们将重点讨论确定Qπ（0），t的推导，这涉及到找到1阶的校正-Hso认为R被推到了一个更高的阶，而M和Rtar的证明被推迟到附录a。将其应用于v（0）（t，Xπ（0）t）的公式会带来DV（0）（t，Xπ（0）t）=Lt，X（λ（Y，Ht））v（0）（t，Xπ（0）t+σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）v（0 X（t，Xπ（0）t）dWt=λ（Y，Ht）-λDv（0）（t，Xπ（0）t）dt+dM（1）t，（4.19），其中M（1）是由dM（1）t=σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）v（0）X（t，Xπ（0）t）dWt，（4.20）和关系式（4.7）和Dv（0）（t，X）=-已使用Dv（0）（t，x）。回顾（3.14）和（3.20）中分别定义的φ和ψtde，然后，我们得到了dψt-dφt=λ（Y，Ht）-λdt，且（4.19）中的第一项变为λ（Y，Ht）-λDv（0）（t，Xπ（0）t）dt=Dv（0）（t，Xπ（0）t）（dψt- dt）。进一步简化Dv（0）（t，Xπ（0）t）dφt，这对应于找到v（0）（t，Xπ（0）t）atorder1的校正器-H、 我们计算Dv（0）（t，Xπ（0）t）φt的总微分（v（0）（t，Xπ（0）t）的参数将在下面系统地省略）：dDv（0）φt= Dv（0）dφt+φtLt，x（λ（Y，Ht））Dv（0）dt+φtσ（Y，Ht）π（0）（t，xπ（0）t，Y，Ht）xDv（0）dWt+σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）xDv（0）d hW，φit=Dv（0）dφt+φt（λ（Y，Ht）-λ） （D+2D）Dv（0）dt+φtλ（Y，Ht）Dv（0）dWt+ρλ（Y，Ht）Dv（0）dWY，ψ在推导过程中，我们使用了Dand R（t，x；λ）（参见（4.5）和（4.3）），和lt，x（λ）Dv（0）=DLt，x（λ）v（0）=0，和d hW，φit=ρd的定义WY，ψt、 引理A.1（i）：d中的结果WY，ψt=θtdt=1-Hθt+eθtdt，以及上述衍生产品Dv（0）φt= -λ（Y，Ht）-λDv（0）dt+φt（λ（Y，Ht）-λ） （D+2D）Dv（0）dt+1-Hρλ（Y，Ht）Dv（0）θtdt+ρλ（Y，Ht）Dv（0）eθtdt+dM（2）t，（4.21）和dM（2）t=Dv（0）（t，Xπ（0）t）dψt+φtλ（Y，Ht）Dv（0）（t，Xπ（0）t）dWt。（4.22）术语1-Hρλ（Y，Ht）Dv（0）θtdt通过添加项1来处理-Hρeλv（1）到Qπ（0），t。

通过使用关系θt=-tCt，T，一个hasdv（1）（T，Xπ（0）T）=Lt，X（λ（Y，Ht））v（1）（T，Xπ（0）T）dt+σ（Y，Ht）π（0）（T，Xπ（0）T，Y，Ht）v（1）X（T，Xπ（0）T）dWt=（λ（Y，Ht）-λ） （D+2D）v（1）（t，Xπ（0）t）dt-Dv（0）（t，Xπ（0）t）θtdt+dM（3）t，（4.23），其中M（3）是由dM（3）t=σ（Y，Ht）π（0）（t，Xπ（0）t，Y，Ht）v（1）X（t，Xπ（0）t）dWt定义的市场。（4.24）组合方程（4.19）、（4.21）和（4.23）yieldsdQπ（0），t（Xπ（0）t）=dv（0）（t，Xπ（0）t）+Dv（0）（t，Xπ（0）t）φt+1-Hρeλv（1）（t，Xπ（0）t）= φt（λ（Y，Ht）-λ） （D+2D）Dv（0）dt+1-Hρλ（Y，Ht）-eλDv（0）θtdt+ρλ（Y，Ht）Dv（0）eθtdt+1-Hρeλ（λ（Y，Ht）-λ） （D+2D）v（1）（t，Xπ（0）t）dt+dM（1）t+dM（2）t+1-HρeλdM（3）t。用R（j）t，t，j=1，2，3，4表示上述表达式中的前四项nR（1）t，t：=ZTtφs（λ（Y，Hs）-λ） （D+2D）Dv（0）（s，Xπ（0）s）ds，（4.25）R（2）t，t：=ZTt1-Hρλ（Y，Hs）-eλDv（0）（s，Xπ（0）s）θsds，（4.26）R（3）t，t：=ZTtρλ（Y，Hs）Dv（0）（s，Xπ（0）s）eθsds，（4.27）R（4）t，t：=ZTt1-Hρeλ（λ（Y，Hs）-λ） （D+2D）v（1）（s，Xπ（0）s）ds，（4.28），引理A.6证明了它们是o（1-H） L中的术语：lim→0H-1E级R（j）t，t= 0, j=1、2、3、4。

（4.29）引理A.5还表明M（j）t，j=1，2，3确实是真P-鞅。因此，用Mt分别定义鞅M和非鞅部分R：=ZtdM（1）s+dM（2）s+1-HρeλdM（3）s，RT- Rt：=R（1）t，t+R（2）t，t+R（3）t，t+R（4）t，t，观察Qπ（0），t（x）=v（0）（t，x）=U（x）（因为定义φt=v（1）（t，x）=0），然后我们获得期望的结果vπ（0），t=EhQπ（0），t（xπ（0）t）Fti=Qπ（0），t（Xπ（0）t）+E[Mt- Mt | Ft）+E[Rt- Rt | Ft]=Qπ（0），Rt（Xπ（0）t）+E[R（1）t，t+R（2）t，t+R（3）t，t+R（4）t，t | Ft]=Qπ（0），Rt（Xπ（0）t）+o（1-H） 。当效用U（·）为幂型时，（4.17）中的函数v（0）、Dv（0）和v（1）可以显式计算：v（0）（t，x）=x1-γ1- γe1-γ2γλ（T-t） ，Dv（0）（t，x）=x1-γγe1-γ2γλ（T-t） ，v（1）（t，x）=1- γγx1-γe1-γ2γλ（T-t） hλλ′iaΓ（h+）（t- t） H+，它导致Qπ（0），t=Q，并完成了推论3.6.4.2π（0）的渐近最优性的证明。现在，我们研究了π（0）在较小类别的容许策略SEAt中的最优性，这类策略是theformseAt[eπ，eπ，α]：=π=eπ+αeπ：π∈ At，α>0，0<≤ 1..注意，eπ和eπ不要求是反馈控制（甚至π（0）也被选择为这种形式），但只需要适应随机过程，即eπt∈ F和eπt∈ 此外，我们要求eπ和eπ满足假设4.4和B.1。由于eπ+δeπ=eπ+eπ+δα·0，参数α被限制为正。为了显示π（0）的最优性，我们将值过程Vπ（0）与Vπ，t进行比较。后者由Vπ，t定义：=E[U（Xπt）| Ft]，（4.30），其中π表示容许策略π∈eAt[eπ，eπ，α]，Xπ是相应的财富过程：dXπt=u（Y，Ht）πtdt+σ（Y，Ht）πtdWt。（4.31）为此，我们首先使用命题4.3中所示的ε鞅分解技术找到Vπ的近似值，然后将其与（4.17）进行渐近比较。假设4.4。