快速均值回复分数随机模型下的最优投资组合

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英文标题：
《Optimal Portfolio under Fast Mean-reverting Fractional Stochastic
  Environment》
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作者：
Jean-Pierre Fouque, Ruimeng Hu
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  Empirical studies indicate the existence of long range dependence in the volatility of the underlying asset. This feature can be captured by modeling its return and volatility using functions of a stationary fractional Ornstein--Uhlenbeck (fOU) process with Hurst index $H \\in (\\frac{1}{2}, 1)$. In this paper, we analyze the nonlinear optimal portfolio allocation problem under this model and in the regime where the fOU process is fast mean-reverting. We first consider the case of power utility, and rigorously give first order approximations of the value and the optimal strategy by a martingale distortion transformation. We also establish the asymptotic optimality in all admissible controls of a zeroth order trading strategy. Then, we extend the discussions to general utility functions using the epsilon-martingale decomposition technique, and we obtain similar asymptotic optimality results within a specific family of admissible strategies.
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中文摘要：
实证研究表明，标的资产的波动性存在长期依赖性。这一特征可以通过使用平稳的分数奥恩斯坦-乌伦贝克（fOU）过程的函数来建模其收益率和波动率，赫斯特指数为$H（\\frac{1}{2}，1）$。在本文中，我们分析了该模型下以及在fOU过程是快速均值回复的情况下的非线性最优投资组合分配问题。我们首先考虑了电力效用的情况，并通过鞅失真变换严格地给出了一阶近似值和最优策略。我们还建立了零阶交易策略所有容许控制的渐近最优性。然后，我们利用epsilon鞅分解技术将讨论扩展到一般效用函数，并在特定的容许策略族中获得类似的渐近最优性结果。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Optimal_Portfolio_under_Fast_Mean-reverting_Fractional_Stochastic_Environment.pdf (451.03 KB)

2022-5-31 22:25:57 上传

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关键词：均值回复 投资组合 随机模型 Quantitative Optimization

快速均值回复分数随机环境下的最优投资组合Jean-Pierre Fouque*Ruimeng Hu+2018年2月12日摘要实证研究表明，基础资产的波动性存在长期依赖性。这一特征可以通过使用带有赫斯特指数H的平稳分数Ornstein-Uhlenbeck（fOU）过程的函数对其收益率和波动率进行建模来捕捉∈ (, 1). 本文分析了在该模型下，在fou过程是快速均值回复的情况下，非线性最优投资组合分配问题。我们首先考虑电力效用的情况，并通过鞅失真变换严格给出值的一阶近似值和最优策略。我们还建立了零阶交易策略所有可容许控制的渐近最优性。然后，我们使用ε鞅分解技术考虑了一般效用函数的情况，并在一个特定的可容许策略族中获得了类似的渐近最优性结果。关键词：最优投资组合，分数O rnstein–Uhlenbeck过程，长期依赖，鞅失真，渐近最优性。1引言连续时间框架下的资产配置问题是数学金融领域研究最广泛的问题之一，其历史可以追溯到默顿（Merton）[1969年、1971年]。在他的原著中，当基础资产遵循Black-Schole s-Merton模型，且效用函数为特殊类型时，提供了关于如何交易股票和/或消费的ex-plic it解决方案，以最大化预期效用。

自这些开创性工作以来，已经进行了大量研究，以允许金融市场存在缺陷，例如，关于交易成本，参见Magill和Constantinides【1976年】、Guasoni和Muhle Karb e【2013年】、Grossman和Zho u【1993年】、Cvitani\'c和Karatzas【1995年】、Elie和Touzi【2008年】、关于提款限制下的投资，以及Cuoco和Cvitani\'c【1998年】提出的具有价格影响的交易。特别是，在资产建模的方向上，当与不同的执行价格作图时，广泛观察到市场期权价格的Black-Schole隐含波动率的U型模式，这与研究波动率随机时的默顿问题有关，例如Zariphopoulou【1999年】、Chacko和Viceira【2005年】、Fouque等人【2015年】和Lorig和Sircar【2016年】。此外，实证研究表明，非马尔可夫（依赖e）结构模型似乎能更好地描述数据。特别是，在与日常数据相关的长期投资中，收益和波动性都表现出长期依赖性：Breidt等人【1998】、Chronopoulou和Viens【2012a，b】、Cont【2001，2005】、Engle和Patton【2001】。我们的目的是研究收益率和波动率都由沿程依赖过程驱动的最优投资组合问题，用Y，Ht表示，这是一个快速变化的过程。具体而言，我们采用静态分馏l O rnstein–Uhlenbeck过程（fOU）模式l Y，Ht=-aY，Htdt+HdW（H）t。这里，是一个小参数，使过程Y，Htfast变化，其自然时间尺度为有序的（即其平均反转时间尺度与l成比例），而W（H）是分数布朗运动*加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，fouque@pstat.ucsb.edu.

NSF拨款DMS-1409434支持的工作+加利福尼亚大学统计与应用概率系，加利福尼亚州圣巴巴拉，93106-3110，hu@pstat.ucsb.edu.（fBm）具有赫斯特指数H∈ （，1）给出一个具有长期依赖性的fOU过程。第2.2节简要回顾了fBm和fOU，第3.1节详细讨论了按比例的fOU过程。更多参考文献，请参考Mandelbrot和Van Ness【1968】、Cheridito等人【2003】、Coutin【2007】、Biagini等人【2008】、Kaarakka和Salminen【20 11】。考虑这种资产建模的原因有三个。首先，在分析第2节中引入的夏普比λ（Y，Ht）的性质时，平稳fOU过程是高斯过程，这使得其光谱分解（见Fouque et al[2011]）以明确的形式可用。fOU过程可以表示为经过充分研究的核函数相对于fBm过程的积分，这简化了所需估计的推导。此外，除了托龙区间相关性外，它还满足了其他经验“程式化因素”，如厚尾和收益的波动性聚类，以及Cont【2001年、2005年】、Engle和Patton【2001年】中提到的波动性的持续性和均值回复。其次，当过程Y，Htis缓慢变化（即大）时，这在长期投资中尤为重要，Fouque和Hu[2017b]利用阿马丁格尔畸变变换和正则摄动技术研究了资产分配问题。所以，研究快速变化的状态也是很自然的。第三，虽然考虑风险资产的多尺度因子模式ls是很自然的，如Fouque et al.（2015）在马尔可夫框架下的慢因子和快因子，但分析需要更多的技术细节，因为鞅扭曲变换不可用。

这将在另一份正在编写的论文中介绍（胡[2017]）。在本文中，我们关注单因素模型，并研究快速时间尺度对最优分配问题的影响。长记忆模型的分析极具挑战性。这主要是由于过程Y，hte既不是半鞅过程，也不是马尔可夫过程。因此，Hamilton-Jaco-bi-Bellman（HJB）偏微分方程（PDE）不可用，通常采用奇异摄动技术。然而，当效用为幂型时，鞅变换是可用的，并给出了价值过程和最优策略的表示。这一结果最初由Zariphopoulou（1999）在马尔可夫案例中发现，并通过对HJB PDE应用线性化变换加以证明。Tehranchi【2004】通过条件H¨older不等式证明了一般（非马尔可夫）情况，Frei和Schwe iz er【2008】通过指数效用的BSDEapproach证明了一般（非马尔可夫）情况。最近，Fouke和Hu【2017b】在设置（2.1）下对其进行了重新研究，并基于验证参数进行了简短证明。对于一般实用程序，可以使用“ε鞅分解”方法来研究该问题。这种方法是inFouque et al.（2000）和Fouque et al.（2001）引入的，最近在Garnier和Solna（2017）中针对线性定价问题开发的，其中当分数随机波动率缓慢变化（或具有较小的波动）时，以及在Garnier和Solna（2016）的快速均值回复机制中，推导出了对Black-Scholes公式和隐含波动率的修正。主要结果。本文研究了快速变化的分数阶随机环境下的非线性投资组合优化问题。

在电力效用情况下：o价值函数和最优投资组合是通过Fouke和Hu【2017b】中所述的鞅失真变换获得的。利用Y，Ht的“遍历性”，我们以概率的方式扩展了这些表达式，并推导了这两个量的一阶近似值。这些近似值包括一个与常数系数默顿问题的解相关的前阶项和一阶修正项-H、 o渐近性与缓慢变化的情况有着显著的相似性（见Fouke和Hu【2017b】）：我们发现，在不使用最优策略的校正项π（1）的情况下，超前顺序项π（0）本身会生成高达阶次1校正的价值过程-Hπ（0）和π（1）在状态过程（下面定义的财富过程，Y，hT和时间变量t）方面都是明确的后面的相似性that is，π（0）和π（1）在（Xt，Y，Ht，t）方面是明确的，然而，导致π（0）的非平凡实现，因为需要跟踪快速变化的Y，Ht。我们通过建议一种次优的实用（或懒惰）策略来解决这个问题，这种策略在价值过程中牺牲了一些准确性。对于一般效用函数，利用ε鞅分解方法和具有常数系数的默顿问题的风险容忍函数的性质，我们得到了与给定策略对应的投资组合值的近似值。正如Fouke和Hu【2017a】在马尔可夫案例中所述，我们证明了该策略在一类特定的可容许策略中是渐近最优的。本文的背景是以赫斯特指数H为特征的长程相关∈ (, 1). 至于Garnier和Solna【2016】中的线性定价表m，我们的结果仅适用于∈ (, 1).

奇异摄动as→ 0不与限制H通勤↓（见第3.7节）。因此，Fouque et al.（2015）在马尔科夫案例中的结果无法通过服用H↓. 酶H∈ （0，）对应于粗糙分形随机波动率和短期相关性，本文没有讨论。令人惊讶的是，当H<1/2时，价值过程的一阶修正似乎是有序的√和Y，hts对前导顺序和更正都不可见。这些发现将在另一篇准备中发表（Fouke和Hu【2018】）。事实上，当H<时，附录A中关键引理的证明就失效了，在这种情况下，H<被转换成不同的整数。论文的组织结构。pape r的其余部分组织如下。在第二节中，我们重述了一般随机波动率模型下的鞅失真变换。这源于Zariphopoulou【1999年】的马尔可夫背景，以及Tehranchi【2004年】、Frei和Schweizer【2008年】、Fouque和Hu【2017年b】的非马尔可夫背景。我们还回顾了分数布朗运动和分数Ornstein-Uhlenbeck过程。在第3节中，我们介绍了由-sca-led-fOU过程建模的快速变化的长程相关随机函数Y。然后，第3.2节和第3.3节分别给出了该模型下价值过程和最优投资组合的渐近结果。直到1的全类可容许策略中前导阶策略π（0）的渐近最优性-讨论了His，并通过数字说明解决了实现困难。我们还将结果与马尔可夫案例进行了比较，并对长期依赖模型的影响进行了评论。第4节讨论了一般效用函数问题，并给出了类似的渐近最优性结果。

我们在第5.2节“单因素随机环境下的默顿问题”中做出结论性评论，电力利用率t是时间t时基础资产的价格，其收益率和波动率由随机因素Yt驱动，dSt=St[u（Yt）dt+σ（Yt）dWt]。（2.1）这里，Ytis是一个一般的随机过程，适用于与驱动资产价格的布朗运动Wyt相关的布朗运动Wyt所产生的自然过滤比n gTWt，WYt= ρdt，|ρ|<1。（2.2）我们还将FTA定义为两种布朗运动（Wt、WYt）产生的自然过滤。让πt为投资于标的资产统计时间t的资金量，而其余的则为恒定利率r。我们要求πt为Ft-adapt和自我融资。用Xπt表示与策略π相关的财富过程，并且在不丧失一般性的情况下，假设利率r为零，那么Xπt的动力学由：dXπt=πtu（Yt）dt+πtσ（Yt）dWt给出。（2.3）投资者的目标是找到最佳策略，以最大化其对最终财富XπT的预期效用。从数学上讲，这包括确定由vt定义的价值过程vt：=ess supπ∈AtE[U（XπT）| Ft]，（2.4）及相应的最优策略π*, 考虑到投资者的效用函数U（·）。U（·）的形式因节而异。具体而言，在本节和第3节的其余部分中，我们将在假设2.1下与电力公司合作，命名为u（x）=x1-γ1- γ、 γ>0，γ6=1，（2.5），而在第4节中，效用函数是满足假设4.1的一般形式。集合Atcontainsall容许的str策略：At：={πis（Ft）-适应：Xπsin（2.3）保持非负s≥ t、 给定Ft}，（2.6），零是Xπ（破产）的吸收态。

此外，对于power utility案例，我们要求所有π∈ 在，满足以下可积性条件：supt∈[0，T]Eh（XπT）2p（1-γ） i<+∞, 对于某些p>1和E“ZT（Xπt）-2γπtσ（Yt）dt#<∞. （2.7）在Fouke和Hu【2017b】中，研究了当n U（x）为幂型且通过鞅畸变变换表示时的值过程（2.4）。为了方便读者，我们首先简要回顾一下这种表示。然后，作为在特定分数随机环境下工作的准备，我们回顾了分数布朗运动（fBm）和分数l Ornstein-Uhlenbeck（fOU）过程。2.1鞅畸变变换在Tehranchi【2004】中推导出了鞅畸变变换，其效用函数略有不同，Fouque和Hu【2017b】在与本文相同的设置下对其进行了说明。用EP表示DEPDP=exp定义的概率度量(-ZTasdWYs公司-ZTasds），（2.8），其中=-ρ1.- γγλ（Yt），（2.9）有界且Gt自适应。因此，fWYt：=WYt+Rtasds是aeP布朗运动。假设2.1。（i） St的SDE（2.1）具有独特的强溶液，换句话说，St=SeRt（u（Ys）-σ（Ys））ds+Rtσ（Ys）dws所有t∈ [0，T]。（ii）假设（Ys）产生的过滤≤这也是Gt，并且波动率函数σ（·）是内射的。（iii）夏普比λ（·）：=u（·）/σ（·）假设为有界且C（R）。此外，导数λ′和λ′被假定为有界的。（iv）定义P鞅=eEhe1-γ2qγRTλ（Ys）dsGti，（2.10）并写出其表示形式dmt=MtξtdfWYt。（2.11）我们假设EHECξRTξtdti<∞,其中常数cξ由cξ=16（1）给出-γ） ρpqγ表示γ<1，cξ=16（1-γ） ρpqγ-4p（1-γ） γ>1时为γ。参数p在（2.7）中引入，q根据γ定义，ρbyq=γγ+（1- γ)ρ. （2.12）请注意，q是Zariphopoulou【1999年】首次引入的常见“畸变”指数。备注2.2。

在上述假设中，根据第（ii）部分，FTI也是（W，Y）产生的过滤。由于σ（·）是一对一的，它也是由St生成的。这一假设很重要，因为在现实中，STI是我们观察到的。在第（三）部分中，当用泰勒展开证明定理3.4和3.5时，需要λ的光滑性；而λ′和λ′的有界性是估计误差项的方便假设。第（iv）部分关于（ξ）t∈[0，T]似乎是一个强有力的假设。然而，在第3节中，我们将看到我们提出的Y，Ht模型是令人满意的。r=0的假设可以视为num'eraire的变化。事实上，以下命题2.3可以扩展到r=r（Yt）的情况，只需稍加修改。命题2.3（鞅畸变变换）。让Stfollow the dynamics（2.1），并假设目标是（2.4）和幂效用函数（2.5）。在假设2.1下，值过程vt由vt=X1给出-γt1- γheEe1级-γ2qγRTtλ（Ys）ds燃气轮机智商。（2.13）根据（2.8）中引入的toeP计算期望值EE[·]。参数q由（2.12）给出。最优策略π*是π*t型=λ（Yt）γσ（Yt）+ρqξtγσ（Yt）Xt，（2.14），其中ξ由（2.11）中的鞅表示定理给出。证据详见【Fouque和Hu，2017b，命题2.2】。备注2.4。