粗糙Bergomi模型的路径大偏差

在这种情况下，定义（Zε，Bε）：=εγ（α+1/2）（Z，B），vεt：=εα+γvεγt，因此t Xε满足速度为ε的LDP-2γ（α+1/2）和与定理2.7中相同的速率函数。在[26]的上下文中，对于原始过程X，这基本上属于中度偏差的范畴，其标度为1/（h（t）√t） ，其中h（t）∈ [1，t-1/2]对于足够小的t。备注2.10。下面C轴3.11中的Hilber t空间e HKαρ的结构精确地确定了速率函数∧X。在ρ=0的不相关情况下，HKαρ（及其内积）退化，并且明显∧*没有意义。该病例需要单独处理，并在第5节中进行分析。从m（2.4），e非常zxy∈ 对于某些f，HKαρ的表示形式为zxy=IKαρf∈ 五十、 因此，定理2.7中的速率函数可以重写为（2.10）∧X（Д）=inff∈LZf（u）du：Д=IMIKαρf.通过这个公式，很容易看到∧X（0）=0：表示zexy：=mzxy，使用该ex>0，可以得出，如果I（ex，y）=0，则y≡ 0，这反过来意味着f≡ 0，因此∧X（0）=0。此外，由于∧x显然不能取负值，因此其最小值在原点处达到。3、Banach空间上的高斯测度和大偏差在这一部分，我们从高斯测度和大偏差理论中收集了一些元素，以证明定理2.7。该证明需要一定数量的步骤，尤其是与不同过程相关的再生核希尔伯特空间的精确表征。3.1。Banach空间上的高斯测度。集中处理（Zt）t∈它被称为高斯伊恩函数∈ N和任何t，田纳西州∈ T，随机变量Zt，中兴通讯联合高斯；任何这样的过程都完全由其协方差函数表征。

我们将一些基本事实称为巴拿赫空间上的nGaussian测度，这些基本事实是后来需要的，主要遵循Carmona和Tehranchi[10，第3章]。设（E，k·kE）是实的可分Bana ch空间，E*其拓扑对偶（即e上所有线性函数的空间），具有对偶关系h·、·iE*E、 双线性泛函h·，·iE*E： E类*×E→ 如果hx*, 谢*对于所有x，E=0*∈ E*（分别为x∈ E）然后x=0（r E sp.x*= 0）[第195页，第2页]。Weshall进一步让B（E）表示E的Borelσ-代数。定义3.1。[10，定义3.1]如果每个f*∈ E*,当通过对偶f 7将其视为随机变量时→ 高频*, 外商投资企业*E、 是（E，B（E），u）上的（居中）实高斯随机变量。6 ANTOINE JACQUIER、MIKKO S.PAKKANEN和HENRY Stone以下命题【10，命题3.1】描述了Banach空间上的高斯测度。提案3.2。E上的任何（中心）高斯测度u都是具有连续路径的s ome（centred）高斯过程定律，由一些紧度量空间索引。注意，每一个实值中心高斯过程取E中的值，都会在C上产生一些度量，C是从T到R的连续函数空间。根据命题3.2，可以通过构造相应的高斯过程来构造E上的中心高斯概率度量u。上述论证可以推广到以d维为中心的高斯过程，从而得出高斯测度1=Cd。对于E上的高斯测度u，我们引入有界线性算子Γ：E*→ E as（3.1）Γ（f*) :=ZEhf公司*, 外商投资企业*Efu（df），特别注意hf*, 外商投资企业*Ef是（E，B（E），u）上的E值随机变量。定义3.3。

[10，定义3.3]Hu的再生核希尔伯特空间（RKHS）定义为Γ（E）的完成*) 内积hΓ（f*), Γ（g*)iHu：=ZEhf*, 外商投资企业*Ehg公司*, 外商投资企业*Eu（df）。对于包涵体图谱ι：Hu→ E，空间ι（Hu）在E中密集；然后它允许伴随映射ι*: E*→ H*u该ι*（E）*) 密度为H*u. 还记得Hu和H*u等距同构，我们用H表示*u Hu（根据Riesz表示theo-rem，s R是基础文件）。现在，对于中心高斯Random变量f*关于E，定义3.1如下高频*, 外商投资企业*E=ZEhf公司*, 外商投资企业*流行性出血热*, 外商投资企业*Eu（df）=kf kHu=kι*f*kH公司*u.这产生了以下等效形式的定义3.3，RKH为u【14，第88页】。定义3.4。一个实的、可分离的Hilbe-rt空间Hu，使得Hu 如果以下两个条件成立，则E是μ的RK HS：o存在嵌入I:Hu→ E，即图像为de nsein E的内射连续映射；o任何f*∈ E*是E上的中心高斯随机变量，方差为kI*f*kH公司*u.备注3.5。嵌入不一定是包含映射。备注3.6。给定一个t（E，Hu，u），考虑包含图I*: E*→ L（E，u）（我们想到E*作为H中的稠密子集*u Huxι*). 自从我*保留了L（E，u）的Hilbert空间结构，可以将其扩展为等距嵌入I*: H*u→ L（E，u），使k'I*f*kH公司*u=kf*kL（E，u）。现在，我们明确描述了（Zt）t引起的测度的RKH∈T（在（2.1）中引入）在C上，由（（Zt，Bt））T∈Ton C.事实上，我们首先使用（2.4）中的运算符得出了更一般的结果。介绍以下关于定义操作员IД的函数的假设：假设3.7。存在φ∈ L（T，R）s uch that Rε|φ（s）| ds>0，对于某些ε>0且Д（·，T）=φ（T- ·) 对于任何t∈ T定理3.8。设ν满足假设3.7，这使得IИ在L上内射。

由过程r（u，·）dWuon C引起的测量的RKHS由H={If:f给出∈ 五十} ，带内积Hiхf，IхfiHх：=hf，fiL。定理3.8的证明。见第4节。推论3.9。（Zt）t在C上诱导的高斯测度的RKHS∈Tin（2.1）为HKα。我们需要扩展定理3.8（和推论3.9），以找到由二维过程（（Zt，Bt））t∈T、 其中Z和B在（2.1）和（2.3）中有明确定义。粗糙BERGOMI模型的路径大偏差7定理3.1 0。设ν，Д满足假设3.7，该假设使IД在L上内射。将另一个值过程（Y，Y）引入为Yi：=R·ИI（s，·）dwis，对于I=1，2，其中Wand是两个相关ρ的标准布朗运动∈ [-1, 1]\\{ 0}. 然后，由Cis HД上的（Y，Y）引起的测量RK HS=IИИf:f∈ L, 带内积IИИf，IИДfHИИ：=hf，fiL。定理3.10的证明。见第4节。推论3.11。过程（（Zt，Bt））t引起的测量（在C上）的RKHS∈Tis HKαρ。3.2。高斯测度的大偏差。我们现在集中讨论高斯测量的大偏差。如前所述，E表示范数为k·kE的实可分Banach空间，我们在（E，B（E））上引入了无中心高斯测度u，这样，对于任何y∈ E*,谢泽希*Eu（dx）=exp-Cu（y，y）,其中Cu：E*×E*→ [0, +∞) 是双线性对称映射。我们定义∧*u：E→ R为∧*u（x）：=suphy，谢*E-Cu（y，y）：y∈ E*在E上。[14，引理3.4.2]证明了以下引理。引理3.12。以下三条语句适用于度量值u：（1）存在α>0，因此ZeexpαkxkEu（dx）是有限的；（2） 对于所有y∈ E*, Cu（y，y）=ZEhy，xiE*Eu（dx）≤ 凯克*ZEkxkEu（dx）∈ (0, +∞);(3) Λ*u定义E和满意度∧上的速率函数*u（ay）=a∧*u（y）对于所有a∈ R、 读者可能会将上述引理3.12中的语句（1）视为费尼克定理【16】。

对于分布为u的一值高斯随机变量X，定义Xε：=ε1/2X，定律为uε。那么下面的公式成立了【14，定理3.4.5】：定理3.13。概率测度序列（με）ε≥0以速度ε满足E上的LDP-1横向函数∧*u.备注3.14。定理3.13特别暗示标准布朗运动（Wt）t≥0满足R上的LDP，速度为t-1，自Wtand起√两者在法律上是平等的。推论3.15。对于任何t∈ T，设νtbe（2.1）中定义的zt定律。然后序列（νt）t>0以速度t满足R上的LDP-β和速率函数∧*u（x）：=x2η，对于x∈ R、 证明。这里，E=R和hu，viE*E=紫外线。因为zt和tβ/2Zare在定律上相等，而rreiyxp（Z∈ dx）=exp(-yη/2），取Cu（x，y）≡ xyη，证明遵循orem 3.13和备注4.1。以下两个结果对于建立粗糙Berg-omi模型的LDP至关重要。第一个是收缩原理，指出连续映射存在大偏差原理s，而第二个是Banach空间上一般高斯测度的普遍L-DP结果。命题3.16（定理4.2.1，in【15】（收缩原理））。设E andeE是两个Hausdorff拓扑空间，设f:E→eE是一个连续映射。Let（νε）ε≥0，（eνε）ε≥0be分别是（E，B（E））和（eE，B（eE））上的两类概率测度，使得Eνε=νεof-1对于每个ε>0。If（νε）ε≥0用速率函数∧满足E上的LDP，然后（Eνε）ε≥0满足速率函数为∧（y）：=inf{∧（x）：y=f（x）}的LDP ONE。定理3.17（文献[14]中的定理3.4.12））。设B为d维高斯过程，用RKHS Hu在（Cd，B（Cd））上导出度量u。然后（εu）ε≥0满足LDP速度ε-1和速率函数∧*u（x）：=kxkHu，如果x∈ Hu+∞, 否则8 ANTOINE JACQUIER，MIKKO S。

PAKKANEN和HENRY Stone为了用随机微分方程（2.6）来计算，我们必须考虑随机积分·√vεsdBεs.假设序列(√vεs，Bεs）弱收敛，因为ε趋于零收益率，在某些条件下，随机积分弱收敛【31，33】。然而，为了陈述一个大偏差原则，我们需要一个更强的结果，Garcia[24]证明了这一点。在陈述之前（下面的定理3.19），我们先介绍一下s-Tocastic过程的序列：定义3.18（定义1.1 in【24】）。Le t U表示简单、真实值、自适应过程的空间，以便支持≥0 | Zt |≤ 1、半鞅序列（Yε）ε≥如果对于每个c，t>0，存在Kc，t>0，使得lim supε↓0ε对数supZ公司∈向上sups公司≤t型ZsZu-dYεu≥ Kc，t≤ -c、 定理3.19（文献[24]中的定理1.2]）。设（Xε）ε≥0be是一系列适应的c\'adl\'ag随机过程和（Yε）ε≥0一致指数紧半鞅序列。如果序列（（Xε，Yε））ε≥0满足速率函数∧的LDP，然后满足随机积分序列（Xε·Yε）ε≥0satis fies aLDP，速率函数b∧（ν）：=inf∧（zxy）：Д=x·y，y∈ BV公司.4、主要结果的证明定理3.8的证明。假设3.7适用于给定函数∈ 五十、 （2.4）中的运算器IД在HД上运行。设f，f∈ Lbe，使IДf=IДf。然后rtД（u，t）[f（u）-f（u）]du=0表示任何∈ TTitchmarsh的卷积定理[40，Theo-rem VII]则暗示f=falmest无处不在，因此I是一个双射。IД的线性度意味着hIДf，IДfiHД：=hf，在HД上定义一个内积，因此（HД，H·，·iHД）是一个真实的内积空间。为了使HИ满足定义3.4，我们首先需要证明它是一个可分离的希尔伯特空间。

设{fn}n∈Nbe在Lsuch中的一个函数序列，其{IИfn}n∈nConvergence to IДf in HД。因此kIДfn- IИfmkHД=kfn- 当n和m趋于完整时，fmkl趋于零。由于Lis是一个完整的（Hilbe-rt）空间，因此存在一个functionef∈ Lsuch序列{fn}n∈Nconverges toef。假设f 6=ef的矛盾，那么，由于IД是双射，三角形不等式yields0<IИf- I^1efHИ≤ kIИf- IДfnkHД+I^1ef- IИfnHИ，当n趋于完整时，收敛到零。因此，f=ef，IИf∈ HИ和HИ是完备的，hencea实Hilbert空间。自Lis可与可数正交基{φn}n分离∈N、 然后{IИφN}N∈Nis是HИ的一个正交基，然后它是可分离的。现在，我们发现了一个密集嵌入I:HИ→ C如定义3.4所示。自H^1起 C、 将嵌入作为包含图I=ι。根据[11，Le mma 2.1]，假设3中φ的条件。7表示HИ在C中是稠密的。最后，对于f*∈ C*, 由过程r（u，·）引起的测量u是（E，B（E）），和f上的高斯概率测量*是定义为3.1的（E，B（E），u）上的中心真实高斯随机变量。反过来，备注3.6意味着*, I的对偶，允许等距嵌入\'I*这样k'I*f*k（HИ）*= kf公司*kL（E，u）=RE（f*)du=V（f*), 因此，HИ是u的RKHS。定理3.10的证明。我们以类似于T heorem 3.8证明的方式进行。设Д，Д满足消费3.7。很明显，（2.4）中的运算器IДИ在HДД上是满射的 C、 根据Titchmarsh的卷积定理【40，定理VII】，如果IДИf=IДДfon T，则f=fand IД是一个双射。此外，MorehiИИf，IИИfiHД：=hf，fili是一个定义良好的内积，根据定理m 3.8的证明，（HИ，H·，·iHД）是一个真实的、可分离的Hilbert空间。找到密集嵌入I:HД→ C、 以I为包含图ι；那么，假设3.7中φ、φ的条件意味着HИИ在Cby中是稠密的【11，引理2.1】。

最后，f*∈ （C）*是（C，B（C），u）上的实数中心高斯随机变量，其中u表示由（Y，Y）和V（f）导出的度量*) =RC（f*)du=kf*kL（C，u）=kι*f*k（HИИ）*, 因此，根据定义3.4，HИИ是由（Y，Y）在C上引起的测量的RKH。粗糙BERGOMI模型的路径大偏差9定理2.7的证明。设（Zε，Bε）如（2.5）所示。根据定理3.17和推论3.1 1，序列（（Zε，Bε））ε≥0满足LDP速度ε-β和速率函数（推论3.11中给出HKαρ）∧*（zxy）=zxy公司HKαρ，如果zxy∈ HKαρ+∞, 否则按路径，我们可以查看地图t 7→ （Zεt，Bεt）作为C和w的元素vεtBεt= MZεBε（t，ε）。我们首先验证（2.8）中的运算M相对于C（T×r+，r+×r）范数k·k是连续的∞. 对于任何（f，g）∈ C、 引入一个小扰动（δf，δg）∈ C、 那么Mf+δfg+δg- Mfg公司∞= 支持∈T，ε>0n（m（f+δf））（t，ε）- （mf）（t，ε）+ |δg（t）| o≤ 支持∈T，ε>0v1+βexp-η（εt）βef（t）eδf（t）- 1.+ 支持∈T |δg（T）|≤ C支持∈Teδf（t）- 1.+ 支持∈T |δg（T）|，对于一些严格的正常数C，右手侧明显趋向于零，因为（δf，δg）相对于超范数o n C趋向于z，因此M是一个连续算子。因此，收缩原理（命题3.16）暗示序列（（vε，Bε））ε≥0满足C（T×R+，R+×R）上的LDP，速度ε-β和速率函数∧。由于M显然是一个双射，因此速率函数∧可以表示为∧（zxy）=∧*M-1（zxy）, 对于任何（x，y）∈ C、 在第二步中，我们将应用定理3.19证明随机积分序列（I（vε，Bε）（·））ε≥0：=（R·√vεsdBεs）ε≥0满足LDP。由于Bε=εα+1/2B乘以（2.6），我们可以写出斯托克斯积分I（vε，Bε）（·）=I（ε2αvε，√εB）（·），几乎可以肯定，因此[24，示例2.1]是（半）鞅的序列(√εB）ε≥0是定义意义上的UET 3.18。

自序列之后(√ε2αvε）ε≥0关于c\'adl\'ag，（Ft）自适应过程，定理3.19暗示随机积分序列（I（vε，Bε）（·））ε≥0满足LDP速度ε-β和速率函数∧X（z）=inf{∧（zxy），z=I（X，y）和y∈ BV公司∩ C} 。最后一步是证明Xε=R的LDP·√vεsdBεs-R·vεsds。为了做到这一点，我们证明了这些序列（Xε）ε≥0和（I（vε，Bε））ε≥0是指数等效的。对于任何δ>0的情况，它遵循该psupt∈[0,1]| Xεt- I（vε，Bε）（t）|>δ！≤ PZvεsds>δ≤ PZexp（Zεs）ds>bε,式中，bε：=δ/vε1+β。使用thatRexp（Zεs）ds≤ exp（支持∈[0,1]Zεt）几乎可以肯定，它遵循pZexp（Zεs）ds>bε≤ Psupt公司∈[0,1]Zεt>log bε！=Psupt公司∈[0,1]Zt>对数bεεβ/2！。工艺（Zt）t∈[0,1]几乎肯定是基于[1，定理1.5.4]，因此我们可以应用Borell-Tisli不等式；其结果[1，定理2.1.1和下面的讨论]表明PSUPT∈[0,1]Zt>对数bεεβ/2！≤ 经验值-对数bεε/2- Esupt公司∈[0,1]Zt！！.这意味着εβlog PZexp（Zs）ds>bε≤ εβ-（对数bε）2εβ+对数bεεβ/2支持∈[0,1]Zt！-Esupt公司∈[0,1]Zt！.10 ANTOINE JACQUIER、MIKKO S.PAKKANEN和HENRY Stonen指出，ε趋于零时，εβ/2log bε收敛于零，这反过来意味着lim supε↓0εβ/2log bεEsupt∈[0,1]Zt！=0.同样，lim supε↓0εβE支持∈[0,1]Zt= 0。此外，它遵循LIM supε↓0εβ-（对数bε）2εβ= -∞,因此，lim supε↓0εβlog Psupt∈[0,1]| Xεt- I（vε，Bε）（t）|>δ！=-∞,这正是指数等值的定义【15，定义4.2.1 0】。然后，根据[15，定理4.2.13]，序列（Xε）ε≥0满足LDP速度ε-β和速率函数∧X。定理3.13的证明。设X：=（X，…，Xn）是n维随机向量，取En上的值，其中每个Xkhas分布u，因此平均数pnk=1Xkhas分布u1/n。

引理3.12意味着当s omeα>0时，REEXP（αkxkE）u1/n（dx）是有限的，并且[14，Theo-rem 3.3.1 1 1]产生序列（u1/n）n的LDP≥1，速率函数∧*u. 定义n（ε）：=ε∨ 1和l（ε） ：=εn（ε），ε>0，注意l(ε) ∈ [1-ε、 1）对于ε∈ （0，1/2）和in[，1]表示ε∈ [1/2, 1]; 对于分布为u1/n（ε）的高斯随机变量x，如下所示l（ε） 1/2倍具有分布με。对于E的闭子集B，我们定义了扩张集B：=l-1/2倍：适用于所有l ∈, 1., x个∈ B, 所以lim supε↓0εloguε（B）=lim supε↓0l（ε） n（ε）logu1/n（ε）l（ε）-1/2B≤ lim supε↓0n（ε）logu1/n（ε）（eB）=lim supn↑∞nlogu1/n（eB）≤ - infx公司∈eB∧*u（x）。然后，大偏差上界遵循明显的等式infx∈eB∧*u（x）=infl∈[，1]infx∈B∧*u(l-1/2倍）=infl∈[，1]l-1英寸∈B∧*u（x）=infx∈B∧*u（x）。现在对于任意开集C中的任意x 我们可以找到一个开放的社区 l（ε）-1/2对于所有0<ε<ε和ε∈0,. 然后，根据不等式lim infε得出大偏差下边界↓0εloguε（C）=lim infε↓0l（ε） n（ε）logun（ε）l（ε）-1/2C≥ lim信息↑∞nlogun（牛）≥ - infy公司∈Ox∧*u（y）≥ -∧*u（x）。备注4.1。定理3.13的证明仍然适用于tβ/2X的情况~ ut速度t-β、 而且证据可以很容易地证实这一情况。不相关粗糙Bergomi模型的大偏差我们在这里处理（2.3）的特例，其中布朗运动W和B是独立的（ρ=0）。根据与卡罗拉y 3.11相似的论点和模仿（2.4），我们引入了Loperator IasI（f，f）：=IKαfIf, 对于任何f，f∈ 五十、 因此，（Z，B）引起的测量值的RKHS（在C上）是H：=I（f，f）：f，f∈ L, 带内积I（f，f），I（g，g）H： =hf，giL+hf，giL，对于任何f，f，g，g∈ L