粗糙Bergomi模型的路径大偏差

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英文标题：
《Pathwise large deviations for the Rough Bergomi model》
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作者：
Antoine Jacquier, Mikko S. Pakkanen, Henry Stone
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We study the small-time behaviour of the rough Bergomi model, introduced by Bayer, Friz and Gatheral (2016), and prove a large deviations principle for a rescaled version of the normalised log stock price process, which then allows us to characterise the small-time behaviour of the implied volatility.
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中文摘要：
我们研究了Bayer、Friz和Gatheral（2016）引入的粗糙Bergomi模型的小时间行为，并证明了标准化对数股价过程的重标度版本的大偏差原则，这使我们能够描述隐含波动率的小时间行为。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
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关键词：Berg Ber Differential Quantitative Applications

粗糙BERGOMI模型的路径大偏差Antoine JACQUIER、MIKKO S.PAKKANEN和HENRY STONEAbstract。最近，拜耳、弗里兹和Gatheral在《数学金融》杂志上介绍了roughBergomi模型，该模型被证明特别有效地校准了期权市场。我们在此研究它的一些概率特性，特别是证明了该模型的小噪声版本的路径大偏差原则。指数函数（连续但超线性）以及波动过程中出现的漂移超出了现有结果的范围，需要进行专门的分析。1、简介Black-Scholes模型（假设波动率为常数）在波动率为随机的情况下的扩展已成功解释期权价格数据中观察到的某些现象，尤其是隐含波动率微笑。然而，这种随机波动率模型的主要缺点是，它们无法捕捉到接近成熟期的隐含波动率微笑的陡峭程度。虽然选择将跳跃添加到股价模型中，例如将股价过程建模为指数L'evy过程，确实会产生更陡的隐含波动率微笑[17]，但股价过程中是否存在跳跃的问题仍然存在争议[6，12]。作为经验L'evy和经典随机波动率模型的替代方案，可以选择分数布朗运动或具有类似特性的过程来驱动波动率过程，而不是标准布朗运动。由于波动性既不可直接观察也不可交易，因此在这种情况下，有时与分数布朗运动相关的套利问题不会出现。分数布朗运动是一个中心高斯过程，其协方差结构依赖于赫斯特参数H∈ (0, 1).

如果H∈ （0，1/2），则分形布朗运动具有负相关增量和“粗糙”样本路径，如果H∈ （1/2，1）然后，与标准布朗运动相比，它具有正相关的增量和“平滑”样本路径，通过takingH=1/2恢复。近年来，数学金融界对分数布朗运动及其相关过程重新产生了兴趣。具体而言，Gatheral、Jaisson和Rosenbaum【25】进行了一项实证研究，表明对数波动性在短时间尺度上以类似于分数布朗运动的方式表现，赫斯特参数H≈ 0.1. Bennedsen、Lunde和Pakkanen【8】对这一发现进行了验证，他们研究了一千只美国股票，发现每只股票的赫斯特参数H都位于（0，1/2）。此外，与经典随机波动率模型相比，这种所谓的“Rough”波动率模型能够捕捉到观察到的小时间隐含波动率微笑的陡度和货币倾斜的期限结构。继[25]之后，拜耳、弗里兹和加泰拉尔[4]提出了所谓的粗糙Bergomi模式l，他们利用该模式对综合波动率和基础本身的期权进行定价。他们的模型的优势在于，根据[8，25]，它捕捉到了对数波动率的粗略行为，并且其观察到的隐含波动率微笑优于传统的马尔可夫随机波动率模型，在接近成熟的情况下最为显著。这项工作[3、21、22]研究了粗挥发性模型的短期行为。尽管最近在粗糙Bergomi模型的模拟方法方面取得了进展[7，29]，但有必要日期：2018年12月14日。2010年数学学科分类。初级60F10、60G22；次级91G20、60G15。关键词和短语。

粗糙波动率，大偏差，小时间渐近，高斯测度，再生核希尔伯特空间。AJ感谢EPSRC第一笔赠款EP/M008436/1的财政支持。HS感谢EPSRC C DT inFinancial Computing and Analytics提供的财务支持。MSP感谢丹麦国家研究基金会资助的CREATES（DNRF78）的部分支持。2 ANTOINE JACQUIER、MIKKO S.PAKKANEN和HENRY Stone试图对该模型的特性有更深刻的分析理解。具体而言，在本文中，我们证明了该模型的路径大偏差，这允许描述其小时间行为。拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）、古利萨什维利（Gulisashvili）、霍瓦思（Horvath）和斯坦珀（Stemper）[5]最近获得了相关结果，大偏差理论现在是标准随机波动率模型[13、18、20、28、30]及其粗略对应模型[5、19]中此类分析的常用工具。在第二节中，我们介绍了与cor相关的粗糙Bergomi模型及其主要性质，并给出了本文的主要结果；具体而言，是一种小时间大偏差原则，用于标准化过程的重新标度。在第三节中，我们介绍了证明本文主要结果所需的高斯测度理论中的几个要素和大偏差。

在第4节中，我们给出了主要结果的证明，第5节阐述了不相关粗糙B ergomi模型的类似大偏差结果。符号：符号L：=L（T，R）表示某些索引集T上实值平方可积函数的空间，Cd：=C（T，Rd）表示T上Rd值连续函数的空间。尽管我们的结果可以很容易地适用于广义区间[0，T]，但对于本研究的其余部分，Weshall fix T=[0，1]。我们将进一步表示T上有限变量的路径空间BV，R+：=[0，∞).对于属于C=C的两条路径x和y，我们用zxy表示二维路径（x，y）. 现在，I（zxy）（t）表示积分（无论何时定义）Rtpx（s）dy（s）；当积分在整个时间段【0，1】上进行时，表达式I（zxy）应为us e D，且x·y：=Rx（s）dy（s）。2、模型和主要结果我们假设一个给定的过滤概率空间(Ohm, A，（Ft）t≥0，P），其中过滤满足通常的条件，并且这里的所有随机过程都假设存在于该概率空间上。2.1. 粗糙Bergomi模型及其主要性质。拜耳（Bayer）、弗里兹（Friz）和盖瑟尔（Gatheral）[4]介绍了伯尔·戈米（Ber gomi）的“第二代”随机波动率模型的非马尔可夫推广，他们称之为“rough Berg-omi”模型。设Z为路径定义为（2.1）Zt的过程：=ZtKα（s，t）dWs，对于任何t≥ 0，其中α∈-, 0, 标准布朗运动，核Kα：R+×R+→ R+读数（2.2）Kα（s，t）：=η√2α+1（t- s） α，对于所有0≤ s<t，对于某些严格正常数η。注意，对于任何t≥ 0，地图s 7→ Kα（s，t）属于L，因此随机积分（2.1）定义良好。

粗略的Bergomi模式l，其中X是对数股价过程，v是波动过程，然后定义为（2.3）Xt=-Ztvsds+Zt√vsdBs，X=0，vt=vexpZt公司-ηt2α+1, v> 0，其中布朗运动B定义为B：=ρW+p1- ρW⊥对于ρ∈ [-1，1]和一些标准布朗运动W⊥独立于W。过滤（Ft）t≥这里可以看作是二维布朗运动（W，W⊥).提案2。二维高斯过程（Z，B）以协方差结构COV为中心ZtBt公司,ZtBt公司=ηt2α+1tα+1tα+1t,E（ZsZt）=Zs∧tKα（u，s）Kα（u，t）du=η（2α+1）α+1（s∧ t） 1+α（s∨ t） αF1.-α、 2+α，s∧ ts∨ t型,对于任何s，t≥ 0，带 :=ρη√2α+1α+1和高斯超几何函数[37，第5章，第9节]。粗糙BERGOMI模型3Proof的路径大偏差。在不丧失一般性的情况下，首先假设s<t。这意味着E（ZsZt）=η（2α+1）Rs（t- u） α（s- u） αdu=tαs1+αR（1- v） α（1- sv/t）αdv，其中第二个等式来自变量的变化。利用高斯超几何函数的E uler积分表示，可以得出如下结论：-u） α（s- u） αdu=α+1F(-α, 1; α + 2; s/t），这是一个命题。命题2.1特别暗示了过程Z不是静止的，并且以下结论成立：推论2.2。过程Z是（α+）自相似的：对于任何a>0的过程，过程（Zat）t≥0和（aα+Zt）t≥0在分布上相等。然后注意，参数α决定Z的局部和长期行为。备注2.3。

（2.1）中的过程Z是由L’evy【34】引入的Holmgren-Riema nn-Liouville分数布朗运动，以一些常数s标度为模，而不是以Mandelbrot和Van Ness【35，定义2.1】为特征的更为常见的分数布朗运动，其wht=Γ（H+1/2）Z-∞（（t- s） H类-1/2- (-s） H类-1/2）dfWs+Zt（t- s） H类-1/2dfWs,其中fw是标准布朗运动，而Γ是标准伽马函数。Mandelbrot-VanNess表示Wht需要来自-∞ 至t；相比之下，我们只需要知道W从0到t来计算Z的值。Z和WHare都是自相似的，但都是静态增量，而Z的增量是非平稳的。提案2.4。过程日志v有一个修改，其轨迹几乎肯定是局部γH–older连续的，对于所有γ∈0, α +.证据我们首先证明，对于所有γ，Z有一个修正，其系数是γ-H–older连续的∈ (0, α +). 首先，E（| Zt- Zs |）≤ η(2α + 1)Rts | t- u | 2αdu+Rs |（t- u） α- （s）- u） α| du=η| t-s | 2α+1+η（2α+1）Rs |（t-u）α-（s）- u）α| du。变量s变化后-u=（t-s） 积分变成| t- s | 2α+1Rst-s |（y+1）α- yα| dy和henceRst-s |（y+1）α- yα| dy是单位α∈ (-, 0). 因此存在K>0，使得E（| Zt- Zs |）≤ K | t- s | 2α+1对于任何s，t≥ 应用Kolmogorov连续性定理[32，定理3.22]，然后得出高斯过程是一个修正，其轨迹是局部γ-H-older连续的∈ （0，α+），从而提供权利要求。现在，对于过程s log v，我们有| log vt- 对数vs|=Zt公司-ηt2α+1-Zs公司-ηs2α+1≤ |Zt公司- Zs |+ηt2α+1- s2α+1≤ C | t- s |γ+ηt2α+1- s2α+1,其中C是严格正常数，γ∈ (0 , α + 1/2).

从地图t 7开始→ t2α+1对所有γ也是局部γ-H-older连续的∈ （0，2α+1），尤其是对于所有γ∈ （0，α+1/2），因此，对于所有γ，过程日志v具有局部γ-H-更连续的曲线修正∈ (0, α +). 作为比较，分数布朗运动有s条对任何γ都是γ-H–older连续的路径∈ （0，H）[9，定理1.6.1]，因此，粗略的Bergomi模型也通过识别α=H来捕捉这种充分性- 1/2；特别是，对于H=1/2的标准布朗运动，这些轨迹比标准布朗运动的轨迹更粗糙。2.2。主要结果。对于任何函数Д、Д：R+×R+→ R、 介绍定义为（2.4）IДf：=Z·И（u，·）f（u）du和IДf的斜率s IД和IДД：=IИfIИf.每当函数Д是常数时，比如说等式到c，我们都应该写icm，没有歧义。我们还定义了空间HИИ：=IИИf:f∈ L很明显，这是一个希尔伯特空间，曾被赋予内部产品安托万·贾奎尔、米科·S·帕克卡南和亨利·斯通IИИf，IИДfHД：=hf，fiL，其中Д，Д为注射型，使内积定义良好。对于t，ε≥ 0，现在确定重定标过程（2.5）Xεt：=εβXεt，Zεt：=εβ/2Ztd=Zεt，vεt：=ε1+βvexpZεt-η（εt）β, Bεt：=εβ/2Bt，其中β：=2α+1∈ （0，1）。特别注意，对于任何t，ε≥ 0，Zεtand Zεtare定律相等，soare vεtandε1+βvεt，这反过来意味着以下表达式适用于任何t≥ 0:Xεt：=εβXεtd=εβZεt√VSDB-Zεtvsdsd=εβZt公司√vεsdBεs-εZtvεsdsd=Ztpε1+2βvεsdBs-Ztε1+βvεsdsd=ZtpvεsdBεs-Ztvεsds。（2.6）我们现在陈述本节的主要结果，即重定标过程序列（Xε）ε的路径大偏差原则≥我们首先回顾了一些关于实可分Banach空间（E，k·kE）上的大偏差的事实，并以[15]为指导。定义2.5。

A函数∧：E→ [0, +∞] 如果它是下半连续的，也就是说，如果，对于所有x∈ E，lim infx→x∧（x）≥ ∧（x）。定义2.6。一类概率测度（με）ε≥0on（E，B（E））表示满足大偏差原则（LDP），因为ε随速度ε趋于零-1和速率函数∧if，对于任何B∈ B（E），（2.7）- infx公司∈Bo∧（x）≤ lim infε↓0εloguε（B）≤ lim supε↓0εloguε（B）≤ - infx公司∈B∧（x），其中B和Bo分别表示B的闭包和内部。相应地，一个随机过程（Yε）ε≥如果概率测度族（P（Yε∈ ·))ε≥0满足LDP，因为ε趋于零。除非另有说明，此处的allLDP应为ε趋于零，因此为了简单起见，我们将不再提及。为了说明我们的结果，我们现在定义了运算符M:C→ C（T×R+，R+×R）as（2.8）（Mzxy）（T，ε）：=（mx）（t，ε）y（t）对于所有t∈ T，ε>0，其中运算符m:C→ C（T×R+，R+）定义为（2.9）（mx）（T，ε）：=vε1+βexpx（t）-η（εt）β,以及函数∧*, ∧：C→ R+定义为∧*（zxy）：=kzxykHKαρ和∧（zxy）：=infn∧*（zxy）：zxy=Mzxyo。定理2.7。序列（Xε）ε≥0以速度ε满足C上的LDP-β和速率函数∧X:C→ [0, +∞]定义为∧X（Д）：=inf∧（zxy）：Д=√x·y，y∈ BV公司∩ C.推论2.8。重新调整的原木股价过程tβXtt型≥0通过速度t在R上满足LDP-βandrate函数∧X（u）：=inf{∧X（Д）：Д（1）=u}，u∈ R、 证明。由于Xε和εβXε在定律上是相等的，（εβXε）ε≥0满足LDP速度ε-β和速率函数∧Xby定理2.7以及收缩原理（下面的位置3.16）。用t代替ε完成了证明。备注2.9。

最近，Forde和Zhang【19】推导出了r ough volatilitymodels的路径偏差，并将其应用于（通过缩放）相应隐含波动率的小时间渐近。对于对数股价过程，他们采用的模型如下：dXt=-σ（Yt）dt+σ（Yt）dBt，Yt=WHt，粗糙BERGOMI模型5的路径大偏差，其中B是标准布朗运动，WHa（可能相关）分数布朗运动。为了证明LDP，他们考虑了上述SDE的一个小噪声版本，即：dXεt=-εσ（Yt）dt+√εσ（Yt）dBt，Yεt=εHWHt。当然，将他们的结果应用于罗夫-贝戈米模型是很诱人的。不幸的是，以下复杂的ie使得这不可能实现：首先，他们假设函数σ具有最线性的增长，而在粗糙的Bergomi中它是指数增长；其次，他们的标度假设（允许他们将小噪音转换为小时间估计）关键取决于波动过程Y是否无漂移[19，等式（4.4）]，这在粗略的Bergomi中并不成立。定理2.7和推论2.8在数学金融领域有几个潜在的应用，我们现在概述其中两个。一个应用是在粗糙Bergomi模型下建立隐含波动率的小时间行为。然而，这需要首先证明罗格-奥米模型中的股票价格过程是一个真正的鞅，这远远不是微不足道的，也远远超过了本文的sco-pe。另一个潜在的应用是减少路径依赖的蒙特卡罗定价的方差，遵循[36，38，39]中采用的重要性抽样方法。当定义重新缩放的过程ss Xε时，存在一定程度的灵活性。例如，我们可以定义Xεt：=εαXεγt，其中γ：=α/（α/2+5/4）。