基于傅立叶的定价选择的速度和偏差：一个数值分析

首先，打击必须在原木空间中以相等的距离放置。第二，奈奎斯特关系k也必须遵守w=2π/N。综上所述，N个看涨期权的价格可以同时得到C（公里）≈NXn=1e-i2πN（N-1） （m）-1） g（wn），对于m=1。。。。，N、 （18）式中，g（wn）=eibwn+αkm-rTψln ST（wn- （α+1）i）α+α- wn+i（2α+1）ww、 （19）为了利用FFT的速度优势，（19）中的和必须分成两个序列：一个是奇数项，另一个是偶数项。关键在于，奇数序列中所需的特征函数评估会在偶数序列中重复。因此，可以使用先前计算的值来减少操作的数量。该策略通过将奇偶序列分解为两个额外的子序列来加强。继续这种抽取，直到我们得到长度为1的N/2子序列，FFT算法能够将计算量从一个数量级减少到一个数量级N log（N）。2.5.3 FFT限制和替代FFT的主要缺点源于strike和integrationgrids中施加的限制：1。打击网格。为了实现充分有效的抽取，罢工次数必须为2次。此外，这些2dstrikes必须以等距放置在原木中。这意味着最终FFT价格的数量和位置将很难满足我们的需求。更接近我们罢工需求的价格可以通过增加n或在普遍罢工中插值来计算，但这两种策略都会影响FFT的优势；较高的N意味着计算的期权价格比需要的要多，而插值会影响定价的准确性。2、罢工与整合电网的关系。约束条件kw=2π/N在积分步长和输出价格之间施加了反向关系。

具体而言，积分网格越细，罢工越粗；因此，如果我们试图通过降低w、 输出价格将更加分散，增加了插值的需要。3、集成方法。由于FFT需要等距积分，因此只能使用最简单的正交规则来恢复期权价格。这与其他基于傅里叶变换的方法相比是不利的，在这些方法中，可以使用更高效的技术来加速计算。卡尔和马丹建议使用N=4096。然而，对于大多数股票标的，每次到期的主动交易履约次数很少超过20或30次。因此，如果我们将走向网格定义为km=-kmax+（m- 1)k+ln（S），m=1。。。，N和k=ln k。此选项需要设置以k=S为中心对称的对数FFT走向。2018年5月14日，《国际计算机数学杂志》gCOM主文档修订版明确使用更高的N，最终FFT价格中只有一小部分将在通常的交易范围内，这反过来意味着许多价格可能被闲置。为了解决这些限制，Chourdakis[9]引入了一种分数FFT方法（FRFT），该方法可以放宽限制kw=2π/N，在构造走向和积分网格s时提供了更大的灵活性。然而，该方法并没有放松将所有走向和积分点等距放置的要求，这是一个基本的FFT约束。或者，可以直接使用（14）中的Carr-Madan公式为看涨期权定价，而无需操纵。使用（14）的略微修改版本，[29]报告了各种模型的准确期权价格和可忽略的近似误差。

此外，CarrMadan公式可以通过走向矢量化进行优化，因为特征函数评估与走向无关。2.6数值设置和误差分析我们研究了七种定价选择的定价偏差和计算速度：oDPD：Delta概率分解。调用值通过等式（3）至（5）单独计算DPD-OPT：优化的DPD。罢工向量计算用于同时计算各种罢工的调用值。使用方程式（6）至（8）。oAT-OPT：优化的Attari方法。调用值使用等式（9）和（10）计算。通过执行向量化优化CPU负载COS-OPT：优化的COS方法。（11）和（12）的多击版本用于计算期权价格。在【14】之后，通过ln（ST/K）的前四个累积量和尺度参数L获得截断范围。oFFT：标准FFT。向量运算（而不是循环）用于提高性能。在对不同的值进行实验后，我们确定α=1.75，这提供了10-10所有测试模型的精确度。不完全落在FFT走向网格中的选项将按指数插值。oFFT-SA：罢工调整FFT。调用值由连续的FFT运行确定。调整走向网格，以在至少一次FFT运行中匹配所有所需选项，从而避免插值CM-OPT：优化Carr-Madan配方。调用值使用公式（14）和罢工向量计算进行计算。这些傅立叶实现可能会出现三种形式的错误：1。截断错误：所有方法都需要计算[0，∞ ) 或(-∞, ∞). 为了数值逼近这种积分，必须通过选择适当的积分极限来截断积分域，从而引入截断误差。

对于给定的域，截断误差的顺序可以不同于（i）基础随机模型和（ii）用于获取期权价格的傅立叶实现。原因在于，不同基础模型的特征函数和密度函数表现出不同的衰减率，而第2.1至2.5小节中描述的积分也描绘了不同的衰减速度【23】。例如，在卡尔和马丹[7]计算的4096个FFT价格中，只有大约67个落在±20%对数走向区间内[9]。我们使用截断范围[a，b]=c- Lpc公司+√c、 c+Lpc+√c其中，Cn表示ln的第n个累积量（ST/K）。2018年5月14日《国际计算机数学杂志》gCOM-main-document-revision-clean2。离散化错误：除C OS公式外，所有方法中的截断积分都是通过有限积分网格计算的，因此引入了抽样误差。不同的特征函数和傅立叶实现也会影响被积函数的平滑度，从而影响解算误差。为了便于比较，在我们的分析中，期权价格是按照梯形规则计算的。在COS方法中，截断积分由有限个傅里叶余弦展开项近似。一旦选择了截断域，COS方法中的离散化误差取决于余弦系数的衰减率。因此，在基于求积的方法中，可以将近似中使用的余弦项的数量与积分大小进行比较，因为两者都决定了达到给定精度所需的求和项的数量。3、插值误差：当定价方法不能提供所需罢工的价格时，会出现此错误。

因此，在我们的设置中，此错误是特定于Offft的，因为所有其他变体都可以评估任何所需的打击。为了正确区分这些错误，我们在精度比较中计算的所有期权价格（i）的精度高达10-10、（ii）使用公共积分域和（iii）使用积分网格的2d值和傅里叶余弦表达式中的项数。相反，对于速度比较，精度设置为更实用的10-4我们放宽了通用集成域和2约束，从而允许每种方法优化其定价要求。我们比较了每种方法能够为不同数量的选项定价的速度，这些选项涵盖了从1到2500个选项的广泛需求。数值计算使用Intel Core i7-3770CPU@3.40GHz和16 GB RAM执行。2.7 BSM模型的首次测试我们首先将所有傅里叶变换应用于BSM模型，其特征函数由ψBSMln（St）（w）=eiw[ln（S）+（r）给出-0.5σ）t]-0.5wσt.（20）2.7.1在BSM模型中，我们使用参数S=50、σ=0.25和r=0.05。准确度在六个选项配置中进行评估，跨越三个不同的打击K=【30、50、70】和两个最成熟的=【0.1、1】。除COS公式外，所有傅里叶方法的积分范围都设置为w=（0，100），其中L=13是达到10精度所必需的-参考值通过BSM闭式解计算。如图1所示，大多数傅立叶方法收敛到参考BSM值。

DPD和DPD-OPT通过最小的积分网格（介于16到64点之间）实现收敛，而COS方法要求所有选项配置的N=64。另一方面，AT-OPT支持最大的离散化误差，需要N=512个点才能提供10的精度-FFT收敛到ATM选项中的参考值，但单个网格无法精确匹配所有要求的打击；因此，对OTM和ITM期权价格进行了间接插值，引入了插值误差。相比之下，CMOPT和FFT-S A都提供10-10所有罢工和到期日的准确性，N=256分。CM-OPT和FFT-SA采用相同的定价方法，可以评估任何特定的罢工。因此，2018年5月14日《国际计算机数学杂志》gCOM-main-document-revision-clean3 4 5 6 7 8 9 10d，N=2d-10-8-6-4-2T=1；K=303 4 5 6 7 8 9 10d，N=2d-10-8-6-4-2T=1；K=503 4 5 6 7 8 9 10d，N=2d-10-8-6-4-2T=1；K=703 4 5 6 7 8 9 10d，N=2d-10-8-6-4-2T=0.1；K=303 4 5 6 7 8 9 10d，N=2d-10-8-6-4-2T=0.1；K=5034 5 6 7 8 9 10d，N=2d-10-8-6-4-2T=0.1；K=70DPD和DPD-OPT AT-OPT FFT CM-OPT和FFT-SA COS OPT图1。BSM模型中的误差收敛。在CO S-OPT中，截断范围设置为（0，100）或L=13。参考值：T=1时为21.5036288308、6.1679994652和0.8986170065，T=0.1时为20.1496256242、1.7004462835和0.0000139309。总之，截断和离散化误差都很小，易于在BSM模型中管理，通过w=（0，100）或L=13积分可以获得高精度值。

这些结果源于几何布朗运动的良好表现的不同性质，而几何布朗运动又需要一个平滑且快速衰减的特征函数。2.7.2计算速度在BSM模型中为了研究CPU效率，我们获得了实现完全收敛所需的截断范围和提供10精度的点数-4、报告的时间是通过平均100次独立运行的计算效果来计算的。如表1所示，COS方法的多击版本比任何其他替代方法都快，平均分别比DPD-OPT、CM-OPT和AT-OPT快4、9和15倍。请注意，COS-OPT比DPD-OPT更快，尽管需要更高的N，因此与基于正交的方法中的网格点评估相比，余弦序列的计算效率更高。相比之下，最慢的两种方法是未优化的DPD（每个选项的单独计算）和FFT。撇开插值b偏差不谈，FFT需要128个点才能得到10-4准确性。因此，这种方法总是计算至少128个期权价格，当需要较少的价格时，会影响其性能。FFT效率随着选项数量的增加而提高，但其速度仍然明显低于任何罢工优化方案。相对于FFT约束，CM-OPT有三个优点。它允许：（i）优先打击次数（ii）避免插值偏差和（iii）实现10-4精度低N。因此，CM-OPT同时比FFT更快、更准确，从而使后者效率更高。

根据这些数据，我们决定不对FFT-SA进行速度比较，因为FFT-SA需要至少两倍的FFT计算时间，并且无法提高CM-OPT精度。当使用相同的截断范围和积分网格时，它们在精度方面是等效的，2018年5月14日《国际计算机数学杂志》gCOM主要文件修订版Clean表1。达到10所需的CPU时间-4 BSM模型的精度[毫秒]。N、 期权定价方法域最小N 1 10 25 100 500 2500DPD（0，89）26 0.176 1.791 4.373 17.36 88.44 435.1DPD-OPT（0，89）26 0.176 0.232 0.279 0.357 1.088 3.634AT-OPT（0，79）173 0.156 0.244 0.328 0.874 2.690 18.10FFT（0，77）128 0.524 0.524 0.524 5.781 317.9CM-OPT（0，77）97 0.104 0.154 0.194 0.504 1.682 11.29COS-OPT L=13 37 0.011 0.022 0.030 0.062 0.235 1.1093。贝茨跳跃扩散模型3.1模型描述贝茨[5]提出了一个建模框架，该框架将赫斯顿模型与对数正态分布价格跳跃相结合。在风险中性度量下，贝茨动态由DST=（r- λuJ）Stdt+pVtStdWt+JtStdNtdVt=a（(R)V- Vt）dt+ηpVtdWt，（21）其中Sti是t时标的资产的价格，r是无风险利率，Vt是t时的方差，V是长期方差，a是方差均值回归速度，η是方差过程的波动性，Wt是两个具有相关性ρ的维纳过程。此外，NTI是一个强度为λ的泊松过程，JT是跳跃大小，其对数正态分布具有平均跳跃大小ujan和标准偏差vJ。因此，在发生跳转的条件下，跳转大小的对数随参数ln（1+Jt）正态分布~ Nln（1+uJ）-vJ，vJ.

（22）混合随机波动率和跳跃的基本原理基于经验基础。有证据表明，波动性会随着时间的推移发生剧烈变化，资产价格经历了价格的跳跃。因此，观察到的回报和市场预期的特征都是分布呈现出明显的不对称性和厚尾，尤其是在短期内[10]。大多数实证研究都支持赫斯顿模型的主要特征，即平均收益率和相关波动率以及资产冲击，得出的结论是，赫斯顿动态为长期期权的价格提供了良好的影响[3，12]。然而，赫斯顿模型的分歧行为难以产生短期期权通常隐含的轻量级分布【21，37】。相反，如[8]所述，对数正态分布可以显著地解释短期期权的价格，但它们的微笑效应会在较长时间内迅速显现。因此，通过将随机波动率和对数正态跳跃结合起来，贝茨模型提供了一种通用的建模方案，可用于适应波动率表面的短端和长端。2018年5月14日《国际计算机数学杂志》gCOM-main-document-revision-clean3.2贝茨特征函数由于对数正态跳跃在统计上独立于随机波动动力学，贝茨特征函数可以通过将其各个分量ψBatesln（St）（w）=ψHestonln（St）（w）相乘得到。ψJumpln（St）（w）。（23）对于赫斯顿模型，我们遵循【16】中的公式，该公式不存在第2节【26】中提到的复杂对数问题。对于对数正态跃变，我们使用[36]中的微分。

相乘和重排项得到ψBatesln（St）（w）=e[C（t，w）(R)V+D（t，w）V+J（t，w）+iw ln（Se（r-λuJ）t]，（24），其中c（t，w）=ar-· t型-ηln1.- 通用电气-ht1- g级;D（t，w）=r-1.- e-ht1- 通用电气-htJ（t，w）=λt（1+uJ）iwevJiw（iw-1)- 1.;r±=β±hη；h=pβ- 4αγ; g=r-r+α=-w-iw；β=a- ρηiw；γ=η，（25），其中C（t，w）(R)V和D（t，w）Vcome来自赫斯顿模型，J（t，w）是跳跃特定分量，而iw ln（Se（r-λuJ）t）说明了组合风险中性漂移。3.3数值结果3.3.1贝茨模型中的定价精度参数集取自【13】：S=100，V=0.008836，(R)V=0.014，a=3.99，η=0.27，r=0.0319，ρ=-0.79，λ=0.11，uJ=-0.12，vJ=0.15。准确度评估为三次打击K=【60、100、140】和两次打击T=【0.1、1】。由于跳跃分量的存在，贝茨特征函数的尾部比BSMmodel中的更厚，从而增加了截断误差。我们发现，为了实现10-10准确度方面，在大多数基于四元法的方法中，积分范围需要扩展到w=（0，500），而COS公式中需要L=30。在这些领域中，通过AT-OPT和CM-OPT的并行价格获得参考值，积分10分。如图2所示，DPD和d-DPD-OPT对T=1选项的收敛速度最快。