基于傅立叶的定价选择的速度和偏差：一个数值分析

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英文标题：
《Speed and biases of Fourier-based pricing choices: A numerical analysis》
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作者：
Ricardo Cris\\\'ostomo
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最新提交年份：
2018
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英文摘要：
  We compare the CPU effort and pricing biases of seven Fourier-based implementations. Our analyses show that truncation and discretization errors significantly increase as we move away from the Black-Scholes-Merton framework. We rank the speed and accuracy of the competing choices, showing which methods require smaller truncation ranges and which are the most efficient in terms of sampling densities. While all implementations converge well in the Bates jump-diffusion model, Attari\'s formula is the only Fourier-based method that does not blow up for any Variance Gamma parameter values. In terms of speed, the use of strike vector computations significantly improves the computational burden, rendering both fast Fourier transforms (FFT) and plain delta-probability decompositions inefficient. We conclude that the multi-strike version of the COS method is notably faster than any other implementation, whereas the strike-optimized Carr Madan\'s formula is simultaneously faster and more accurate than the FFT, thus questioning its use.
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中文摘要：
我们比较了七种基于傅立叶变换的实现的CPU工作和定价偏差。我们的分析表明，当我们离开Black-Scholes-Merton框架时，截断和离散化误差显著增加。我们对竞争选择的速度和准确性进行排序，显示哪些方法需要较小的截断范围，哪些方法在采样密度方面最有效。虽然所有实现在Bates跳跃扩散模型中都能很好地收敛，但Attari公式是唯一一种基于傅立叶的方法，它不会对任何方差Gamma参数值爆炸。在速度方面，使用打击向量计算显著提高了计算负担，使得快速傅立叶变换（FFT）和纯delta概率分解效率低下。我们得出的结论是，COS方法的多重打击版本明显比任何其他实现都快，而打击优化的Carr-Madan公式同时比FFT更快、更准确，因此对其使用提出了质疑。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Computational Finance        计算金融学
分类描述：Computational methods, including Monte Carlo, PDE, lattice and other numerical methods with applications to financial modeling
计算方法，包括蒙特卡罗，偏微分方程，格子和其他数值方法，并应用于金融建模
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PDF下载：
--> Speed_and_biases_of_Fourier-based_pricing_choices:_A_numerical_analysis.pdf (308.31 KB)

2022-6-1 00:08:06 上传

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关键词：数值分析 傅立叶 computations Quantitative SIMULTANEOUS

2018年5月14日，《国际计算机数学杂志》（International Journal of Computer Mathematics gCOM main document revision Clean）将在《国际计算机数学杂志》（International Jou r nal of Computer MathematicsVol）上发表。00，No.00，20XX月，1–20基于傅立叶的定价选择的速度和偏差：数字分析（numericalanalysisRicardo Cris\'ostomoa）*aComisi'on National del Mercado de Valores（CNMV）和联合国统计与运筹学部（UNED）（20XX年00月收到；修订版20XX年00月收到；20XX年00月收到）我们比较了七种基于傅立叶的实现的CPU效率和定价偏差。我们的分析表明，随着我们远离BlackScholes-Merton框架，截断和离散化误差显著增加。我们对竞争选择的速度和准确性进行了排名，显示了哪些方法需要较小的er截断范围，哪些方法在采样密度方面最有效。虽然所有的实现在贝茨跳跃扩散模型中都能很好地收敛，但阿塔里的formul ais是唯一一种基于傅立叶的方法，对于任何方差γ参数值都不会爆炸。在速度方面，使用打击向量计算显著提高了计算负担，使得快速傅立叶变换（FFT）和纯delta概率分解都非常有效。我们得出的结论是，COS方法的多重打击版本明显比任何其他实现都快，而打击优化的Carr Madan公式同时比FFT更快更准确，因此对其使用提出了质疑。关键词：期权定价；傅里叶变换；跳跃过程；定价错误；速度比较。2010年AMS科目分类：30E10；60H35；65C20；简介自Black-Scholes和Merton的开创性论文【6，30】以来，资产价格不断变化的过程已广泛应用于风险管理和期权定价中。

差异模型表现出多种形式，包括随机波动性、均值回归或季节性，它们的广泛使用突出了这些模型在金融建模中取得的成功。然而，不经意的观察显示，交易资产的价格通常会出现跳跃。不连续性可能会发生，例如，由于预期的新闻，由于交易限制或由于买卖订单之间存在实质性的不平衡而导致的不连续性。如果我们分析短期缺货（OTM）期权的价格，那么跳跃建模的重要性就显而易见了。这些合约的价值在很大程度上源于对大规模潜在波动的预期。然而，经验研究表明，仅区分模型不能持续产生短期OTM期权通常暗示的不对称和厚尾[3，11]。本文通过对七种基于傅立叶的定价选择的速度和准确性进行基准测试，为期权定价文献做出贡献。具体而言，我们的分析侧重于两种跳跃模型，这两种模型被提议作为一种框架，用于对具有不同行程和期限的期权进行定价。首先，贝茨跳跃扩散模型[5]，它融合了赫斯顿*通讯作者。电子邮件：rcayala@cnmv.esMay2018年4月14日《国际计算机数学杂志》gCOM主要文件修订版cleandynamics，对数正态分布价格跳跃。其次，非对称方差gamma（AVG）[27]，这是一个纯粹的不连续过程，基础资产通过许多小跳跃和罕见的大波动的组合而演变。这两种模型都是通过特征函数实现的。傅立叶变换（Fourier Transforms）在金融领域正迅速获得吸引力，过去十年中开发的大多数期权定价模型都依赖于特征函数来获得期权价格。

因此，更好地理解不同的实现对于避免定价错误至关重要。我们研究了各种傅立叶定价选择的速度和偏差，包括Delta概率分解、Carr-Madan和Attari公式、theCOS方法和快速傅立叶变换。本文的创新之处在于：1。我们是第一个考虑Carr-Madan-andAttari公式的罢工优化版本，也是第一个对Cos方法的多罢工版本进行基准测试的公司之一。我们表明，所有这些替代方案都显著优于FFT。2、我们比较了七种基于傅立叶变换的方法的数值效率，显示了哪些方法需要最高/最低的积分范围和最高/最低的采样密度。3、我们发现，阿塔里公式是唯一一种不会在AVG模型的任何问题区域爆炸的方法。我们证明了卡尔·马丹公式的strike优化版本比FFT同时更快、更准确，这对其w IDESPRIDE使用提出了质疑。这方面的一个重要参考是长凳比赛[38]。该项目比较了几种傅立叶方法的精度和速度，发现COS公式是总体上最快的替代方法。为了将我们的结果与本项目进行对比，我们采用了Ruijter和Oosterlee[33]开发的COS方法的BENCHOP实现，我们采用该方法同时计算不同罢工的期权价格。论文的其余部分组织如下。第2节回顾了特征函数的使用，并解释了数值设置。第3节介绍了Bates模型，并比较了不同实现的准确性和速度。第4节描述了AVG模型，并考虑了傅立叶方法可导致显著不同精度的三个区域。最后，第5节总结了我们的结论。2.

期权价格的特征函数在无套利的情况下，期权价格可以计算为其最终支付的贴现风险中性预期V=e-rTEQ【H（St）】，（1）其中，相对于时间t=0时的期权价值，St为基础价格，r为无风险利率，t为到期时间，H（St）为期权支付，EQ[o]为风险中性度量下的预期操作员。对于许多定价过程，可根据基础资产的密度函数计算预期期权支付。例如，带有罢工K和到期T的欧洲电话的支付由H（St）=（St）给出- K） +。因此，可在2018年5月14日《国际计算机数学杂志》gCOM主要文件修订版cleanC（t，K）=e时获得其在t=0时的现值-rTZ公司∞（ST- K） +q（ST）dST，（2）其中q（ST）是在最终日期T统计的基础资产的风险中性密度。然而，有许多资产流程没有表现出可控制的密度。在这些情况下，pr结冰模型通常依赖特征函数来获得期权价格。特征函数定义为概率密度函数的傅立叶变换。因此，这两种函数都表现出一对一的对应关系，并且可以通过可触发密度进行的所有概率评估也可以通过特征函数获得。此外，许多资产规格的特征函数，尤其是与随机波动性和跳跃相关的特征函数，表现出比其相应密度函数更简单、更易于处理的形式。2.1增量概率分解（DPD）DPD最初由Heston开发【18】。通过展开ing（2），可以直接表明欧式看涨期权的价格可以表示为asC（T，K）=S∏- e-其中∏和∏是两个概率相关的量。

具体而言，∏是optiondelta，而∏是exerciseP的风险中性概率（ST>K）。在Black-Scholes-Merton（BSM）模型和其他简单过程中，可以根据基础资产密度函数直接计算这些概率。然而，对于没有表现出可反应密度的过程，Bakshi和Madan[4]表明，这些概率也可以计算为∏=+πZ∞Re公司e-iw ln（K）ψln ST（w- i） iwψln ST(-（一）dw，（4）π=+πZ∞Re公司e-iw ln（K）ψln ST（w）iwdw，（5）其中ψln sti是对数资产价格的特征函数，Re【o】d表示实数运算符。欧洲看涨期权价格可以通过首先计算∏和∏，然后将这些值代入（3）来获得，而欧洲看跌期权可以通过看涨期权平价来确定。我们参考文献[12]中的数学推导和ATLABTM中的实施。在一项综合调查中，[34]得出结论，（4）和（5）中的被积函数可以快速衰减，并且可以通过数值积分来近似。然而，DPDIM实施面临三个潜在缺陷：2018年5月14日《国际计算机数学杂志》gCOM-main-document-revision-clean1。被积函数的不连续性：许多随机波动和跳跃相关过程的特征函数包含一个可能产生数值不稳定性的复对数。例如，[35]给出了几个例子，其中赫斯顿的原始特征函数显示了不连续性，而数值积分可能会导致不正确的期权价格。然而，在许多模型中，这个问题可以通过适当地重新表述基本特征函数来避免【1，26】。2、w=0时的奇异性：DPD被积函数未在其积分下限处定义。刘易斯（Lewis）[24]分析了这种奇异性，并得出结论，当w趋于零时，被积函数为单位。

尽管如此，由于处理不当可能会导致定价错误，因此应谨慎对待这种差异。评估次数：为了通过DPD获得期权价格，每个积分点需要进行三次特征函数评估（两次用于∏，另一次用于∏）。因此，如果将集成网格划分为N个点，则每个选项需要进行3N次评估，或者一组M个选项需要进行3NM次评估。虽然这对于偶尔定价来说可能不是问题，但当同时或在实时环境中计算多个期权价格时，CPU功能可能会成为负担。2.2 Strike Vector Computeszhu【39】提出了一种简单但有效的技巧，以减少TDD和其他傅立叶方法的计算效果。关键在于∏和∏中所需的特征功能评估对于每个到期都有所不同，但与罢工无关。因此，对于给定的T，可以计算一次特征函数值，并将其重新用于具有不同走向的ice期权。正如Kilin所建议的那样，这个想法可以通过分割或捕捉技术来实现。具体而言，如果我们在（4）和（5）的计算中引入打击向量K，则概率向量∏和∏由∏=+πZ给出∞Re公司e-iw ln（K）ψln ST（w- i） iwψln ST(-（一）dw（6）π=+πZ∞Re公司e-iw ln（K）ψln ST（w）iw数据仓库。（7） 因此，买入价格的向量可以计算为asC（T，K）=S∏- e-rTK∏。

（8） 由于特征函数评估通常是计算中最繁重的部分，矢量化显著提高了CPU效率，同时保留了DPD的两个明显优势：（i）选择任何罢工和积分方法的灵活性，以及（ii）直观的概率定价“la Black-Scholes”。2018年5月14日《国际计算机数学杂志》gCOM-main-document-revision-clean2.3将∏和∏组合在一个积分中Attari【2】提出了一种通过一个积分计算期权价格的DPD重新公式。具体而言，通过利用∏和∏中的相似性，Attari的公式将（4）和（5）中的被积函数合并为一个公式c（T，K）=s的单一定价表达式- e-rTK公司+πZ∞IA（w）dw, （9） 式中，ia（w）=（Re（ψln ST（w））+Im（ψln ST（w））w）cos（w ln（K））+（Im（ψln ST（w））-Re（ψln ST（w））w）sin（w ln（K））1+w（10）与DPD中的被积函数相比，IA（w）在分母中包含一个二次项，确保更快的衰减速率。此外，由于Attari的特征函数计算独立于str-ike，因此也可以使用走向向量化来加速计算。2.4 COS方法Fang和Oosterlee【14】介绍了一种基于傅里叶余弦展开的定价方法，该方法提供了一种从特征函数中恢复未衰减密度的高效方法。

为了将我们的结果与BENCHOP项目【38】进行对比，我们采用了Ruitjter和Oosterlee【33】开发的COS方法实现，该方法通过三个近似步骤推导COS公式：（i）用ln（St/K）表示（2），并将有限积分范围截断为一个区间【a，b】；（ii）用傅里叶余弦展开的前N项替换密度和期权支付，以及（iii）使用特征函数表示近似密度相关系数。按照这些步骤，欧洲电话的价格可以为：C（T，x）≈ e-rTN公司-1X′n=0Reψnπb- 一einπx-ab公司-一Vn，（11）带Vn=b- aZbav（y，T）cos公司nπy-ab公司-一dy，（12）其中v（y，T）是期权支付，x=ln（S/K），y=ln（ST/K），p′表示第一个求和项的权重为一半。此外，为了正确评估CO S方法在多个罢工环境中的表现，我们采用BENCHOP代码来同时计算不同罢工的期权价格。2018年5月14日《国际计算机数学杂志》gCOM-main-document-revision-clean2.5卡尔·马丹公式和快速傅立叶变换FFT是一种旨在高效计算四种ier变换的算法。Carr和Madan开发了其期权定价应用程序【7】。该算法利用特征函数求值的周期性和对称性来减少运算量。

对于给定的到期日，FFT允许同时计算各种行使的期权价格。2.5.1修改后的调用价格由于FFT只能用于平方可积函数，Carr Madan的方法使用修改后的调用价格，其中引入阻尼因子eαl n（K），以避免w=0Cmod（T，K）=eαln（K）C（T，K），（13）时的发散，其中Cmod（T，K）是修改后的调用价格，dα>0是阻尼参数。卡尔·马丹（Carr Madan）的论文利用傅立叶逆变定理证明，原始赎回价格可以恢复为：C（T，K）=e-αln（K）-rtπZ∞Re公司e-iw ln（K）ψln ST（w- （α+1）i）α+α- w+i（2α+1）wdw，（14），其中ψln sti是对数资产价格的特征函数。2.5.2与快速傅立叶变换的积分虽然（14）可直接用于计算通话价格，但通常通过FFT对其进行评估。FFT具体计算形式为：y（m）=NXn=1e的和-i2πN（m-1） （n）-1） x（n）对于m=1。。。。，N、 （15）因此，在应用算法之前，（14）中的买入价格应以适当的求和形式表示。第一步是通过N个等距点的网格来近似积分，从而确定积分上限Nw、 接下来，将网格点设置为wn=（n- 1)w、 根据梯形法则，单个看涨期权价格可以计算为C（K）≈NXn=1e-iwnln（K）f（wn）w、 （16）式中，f（wn）=eαl n（K）-rTψln ST（wn- （α+1）i）α+α- wn+i（2α+1）w.（17）2018年5月14日《国际计算机数学杂志》gCOM主文档修订版。然而，FFT算法将一个N大小的向量x（N）作为输入，并返回另一个N大小的向量y（m）作为输出。因此，N的选择决定了罢工次数和积分网格大小。此外，必须遵守两个限制条件。