复杂系统的符号动力学技术：共享应用

6： 美国铝业股份的R’enyi熵以分钟为单位，N=2。。。，我们看到，与每日时间尺度类似，theR'enyi熵和R'enyi维数都是相对于参数q单调递减的，N越大，正q的q依赖性越明显，而q<0的N依赖性就越小。图7还显示了上限和下限。我们为复杂系统的URP-4符号动力学技术检查了一个重要特性：股价动态图的应用。7： 美铝股份R’enyi维度（实线）的上限和下限（虚线），时间刻度为分钟（N=8）。数据集的事实是，通常情况下，条件概率（iN | i，…，iN-1） =p（i，…iN）/p（i，…iN-1） （14）根据整个历史i，在里面-1，即马尔可夫模型无法捕获符号空间中的复杂特征。例如，给定一个长的交替序列u、d、u、d，从统计角度来看，更可能观察到下一个符号a s u.4符号分区到目前为止，我们使用最简单的方法来研究股价运动的符号动力学，只考虑股价是上涨还是下跌。然而，我们也可能会问一个更为详细的问题，比如股价上涨是轻微还是强劲。为了检测更多细节，我们可以生成相空间分区A={A，A}的定义版本，其中以前的A=(-∞, 0）和A=（0，∞). 假设存在一个实数c，其中日志返回值有相等的1点概率落入a部分B的每个元素={B，B，B，B}，由B=(-∞, -c） ，B=(-c、 0），B=（0，c），B=（c+∞).（15） 换言之，选择该分区的方式是，位于每个集合BIA中的日志返回的1点概率p（Bi），i=1，2，3，4等于1/4。

对于AlcoaInc。在每日和每分钟的时间尺度上，我们发现c分别等于0.014和0.00088。我们不是用u和d来表示时间演化，而是用i，i，…，来定义Symbol序列。。。，在里面在里面∈ {b，b，b，b}（16），其中bicorres在Bi中向原木回流。对于给定长度N，允许序列的数量为ω（N）=4N。我们还可以将之前的方法升级到xin给出的4级符号序列=0如果in=b1如果in=b2如果in=b3如果in=b，（17）长度为N的Symbol序列可以基于表示α（x（N））=NXn=1xin在单位间隔上编码为坐标α-1.-n、 α（x（n））∈ 【0，1】（18）图8显示了4个符号的字母表中的联合概率图，图9显示了相应的有限NR'enyi熵。图8：使用4个符号的字母表（每日（a）和分钟（b）的酒精饮料的长度N的符号序列概率时间刻度）。不同的公司–到目前为止，我们只看了一个特定的股票例子，Alco a股。在复杂系统分析方面真正有趣的工作始于没有人比较不同公司的R’enyi熵，或者甚至是由相同的符号字母表描述的完全不同复杂系统的R’enyi熵。最终，我们真的想了解一些关于一般复杂系统中不同公司、部门或社区所代表的复杂市场结构和动态的信息。仍然可以让每个社区为一个合适的可观察对象生成一个合适的时间序列，然后用迄今为止描述的符号动力学技术分析这个时间序列。

然后，我们对获得的Renyi熵的差异或相似性感兴趣。为了说明这一点，我们研究了7家不同公司的股票价格产生的符号序列，这些公司包括美国铝业（aa）、美国银行（bac）、通用电气（ge）、英特尔（intc）、强生（jnj）、可口可乐（ko）、沃尔玛（wmt），代表基本材料、金融、工业Good、科技、医疗保健、消费者Good、p-5Dan Xu和Christian BeckFig。9： 与inFig相同数据的有限N R'enyi熵。8a，b.服务。结果如图10所示。可以观察到，与其他股票相比，在q>0的区域，bac的R’enyi entrop最低，总体而言，金融股票的q依赖性e最为显著。这可能与以下事实有关：金融股票具有相对较强的波动性和非平凡的相关性，由非平凡的R’enyientropies谱描述。在任何情况下，不同的公司都以每天（图10a）和分钟（图10b）时间尺度上不同的R’enyi熵谱为特征。对参数q的平滑依赖性可用于对所涉及的复杂行为进行有效的热力学描述，并根据扫描参数q的值不同强调低概率和高概率。量化符号序列统计中的相似性我们现在可能希望以定量的方式比较不同公司（或一般复杂系统环境中的社区）的R’enyi熵的差异。为此，我们定义了R’enyidifference矩阵Rijas如下：Rij=qmax- qminZqmaxqmin | Ki（q）- Kj（q）|κdq（19）显然，如果两个公司i和j具有相同的符号序列统计特性，由相同的功能依赖性e Ki（q）=Kj（q）描述，则R'e nyi差异矩阵元为Rij=0。

否则，R'enyi熵谱中的entr y Rijintegratesup差异，并用参数κ加权q上的平均值。图10：7家不同公司的日标度（a）和分标度（b）的R’enyi熵。字母表包含2个符号。图11示出了这种R′enyi差异矩阵的颜色编码。对于36家不同的公司，我们评估了Rij，选择κ=1和qmin=-40，qmax=+40。R'enyidifference matrix允许以定量的方式挑出不同公司/社区符号序列统计中的主要差异和相似之处。例如，在我们的案例中，医疗保健公司默克公司（mrk）被认定每天都有一个不寻常的R'enyi熵谱，与大多数其他公司的熵谱不同，在生成的模式中可以看到一条明显的垂直和水平蓝线。另一方面，就分钟这一小时间尺度而言，这家公司与其他公司更为相似。一个有趣的结论是t顺序。一旦提出了一个关于复杂系统的合适问题，并构建了符号动力学，我们就可以比较不同的复杂系统或其子系统，无论其来源如何，因为所有相关信息都编码在符号序列统计中。举例来说，在【24，25】中，通过计算与4个碱基A、T、G、C的序列统计相关的Renyientropies，研究了人类基因组DNA序列的复杂性。一旦获得该函数，就可以使用上述R’e nyi差异矩阵与其他基因组进行比较，正如我们在图11中比较不同公司之间的差异一样。但更彻底的是，我们甚至可以（通过Rij）以定量的方式比较完全不同复杂系统的R’enyi光谱，例如金融市场的复杂性和基因组的复杂性。

这就是符号动力学编码技术的优势：nc e ap-6复杂系统的符号动力学技术：应用于股价动态图。11： R'enyi差异矩阵Rijon纽约证券交易所（NYSENasdaq）交易的36只股票的每日时间标度（a）和分钟时间标度（b）。参数κ的值选择为κ=1。κ的其他值也出现了类似的图片。函数Ki（q）已经获得，人们可以用定量的方式将其与另一个函数Kj（q）进行比较，从而用定量的方式衡量复杂性和信息生产的差异。结论和展望–虽然本文所考虑的例子都是基于股价收益产生的符号序列，但很明显，同样的方法也可以应用于各种复杂系统的时间序列产生的符号序列，无论其来源如何。通过这种方式，与这种符号描述相关的R’enyi熵允许对符号空间中的动力学特性进行定量比较，从而很容易比较不同的复杂系统或agiven大型复杂系统中的不同子结构/社区。事实上，人们可以通过这种方式比较完全不同的复杂系统，例如，与股价变化相关的R’enyi熵（使用4个符号的字母表）可以与基因组序列的熵（24，25）或后续量子力学测量的熵（27）相比较。然后，将最重要的动力学信息编码为函数K（q）的形状形式，从而允许应用动力学工具[1]。这样，仅基于粗粒度符号描述的R’enyi信息内容，就可以对不同系统进行定量比较。

将这里介绍的方法扩展到由其他类型的复杂系统生成的更复杂的符号动力学是很简单的。参考文献[1]C.Beck和F.Schl¨ogl，《混沌系统的热力学》，剑桥大学出版社（1993）[2]P.Collet和J.-P.Eckmann，《作为动力系统的区间迭代映射》，Birkhauser（1980）[3]Hao Bai Lin，《耗散系统中的基本符号动力学和混沌》，世界科学出版社（1989）[4]T.T\'el，Z.Naturforsch。43a，1154（1988）[5]P.Csord\'as，P.Sz\'epfalusy，Phys。修订版。A 39，4767（1989）[6]D.Lind，B.Marcus，《符号动力学和编码导论》，剑桥大学出版社（1995）[7]J.P.Crut ch field和N.H.Packard，国际期刊。理论。Phys 21，6/7（1982）[8]D.Ruelle，Bull。Soc。巴西数学。9331（1978）[9]P.Grassberger和H.Kantz，Phys。利特。A 113235（1985）。[10] M.J.Feigenbaum，J.Stat.Phys。19, 25 (1978); 21669（1979）[11]A.R'enyi，概率论，North-H olland，A m sterdam（1970）[12]C.Beck，Physica D 41，67（1990）[13]B.God'o，A.Nagy，Chaos 26，083102（2016）[14]A.Politi，Phys。修订版。利特。118144101（2017）[15]L.Lacasa，V.Nicosia和V.Latora，Sci。Rep.515508（2015）[16]L.Lacasa，W.Just，arXiv:1704.06467[17]S.A.Smith，J.Arenson，E.Roberts，S.Sindi，K.A.Mitchell，EPL 117，60005（2017）[18]A.E.Biondo，A.Pluchino，A.Rapisarda，D.H elbin g，Phys。修订版。E 88，062814（2013）【19】R.Morales，T.Di Matteo，T.Aste，Sci Rep.4，4589（2014）【20】E.Bacry，J.Delour，J.F.Muzzy，Physica A 299，84（2001）【21】W.Kantelhardt et al.，Physica A 316,7（2002）【22】P.Jizba，J.Korbel，Int.J.Des。纳特。Ecodyn公司。10261（2015）（arXiv:1610.07028）[23]Z.G.Yu，V.Anh，K.S.Lau，Phys。修订版。E 64031903（2001年）；68021913（2003）【24】C.Beck，A.Provata，EPL 9558002（2011）【25】A.Provata，C.Beck，Phys。修订版。E 83，066210（2011）[26]T.C.Halsey，M.H.Jensen，L.P.Kadano Off，I。

Procaccia，B.I.Shraiman，物理系。修订版。A 331141（1986）[27]C.Beck，D.Graudenz，Phys。修订版。A 466265（1992）p-7