复杂系统的符号动力学技术：共享应用

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英文标题：
《Symbolic dynamics techniques for complex systems: Application to share
  price dynamics》
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作者：
Dan Xu and Christian Beck
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  The symbolic dynamics technique is well-known for low-dimensional dynamical systems and chaotic maps, and lies at the roots of the thermodynamic formalism of dynamical systems. Here we show that this technique can also be successfully applied to time series generated by complex systems of much higher dimensionality. Our main example is the investigation of share price returns in a coarse-grained way. A nontrivial spectrum of Renyi entropies is found. We study how the spectrum depends on the time scale of returns, the sector of stocks considered, as well as the number of symbols used for the symbolic description. Overall our analysis confirms that in the symbol space transition probabilities of observed share price returns depend on the entire history of previous symbols, thus emphasizing the need for a modelling based on non-Markovian stochastic processes. Our method allows for quantitative comparisons of entirely different complex systems, for example the statistics of symbol sequences generated by share price returns using 4 symbols can be compared with that of genomic sequences.
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中文摘要：
符号动力学技术因低维动力系统和混沌映射而闻名，是动力系统热力学形式主义的根源。在这里，我们表明，这种技术也可以成功地应用于由高维复杂系统生成的时间序列。我们的主要例子是以粗粒度的方式研究股价回报。发现了Renyi熵的一个非平凡谱。我们研究了频谱如何依赖于回报的时间尺度、所考虑的股票部门以及用于符号描述的符号数量。总体而言，我们的分析证实，在符号空间中，观察到的股价回报的转移概率取决于之前符号的整个历史，因此强调需要基于非马尔可夫随机过程的建模。我们的方法允许对完全不同的复杂系统进行定量比较，例如，使用4个符号的股价回报生成的符号序列的统计数据可以与基因组序列的统计数据进行比较。
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分类信息：

一级分类：Physics        物理学
二级分类：Chaotic Dynamics        混沌动力学
分类描述：Dynamical systems, chaos, quantum chaos, topological dynamics, cycle expansions, turbulence, propagation
动力系统，混沌，量子混沌，拓扑动力学，循环展开，湍流，传播
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Symbolic_dynamics_techniques_for_complex_systems:_Application_to_share_price_dynamics.pdf (1.32 MB)

2022-6-1 00:12:31 上传

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关键词：复杂系统 学技术 动力学 Quantitative Econophysics

epl draftSymbolic dynamics Technics for complex systems：股价动态应用Dan Xu和Christian BeckQueen Mary伦敦大学数学科学学院，Mile End Road，London E1 4NS，U KPACS 05.45-a–非线性动力学和chaosPACS 05.45。Tp–时间序列分析PACS 05.40-a–涨落现象摘要–符号动力学技术因低维动力系统和混沌映射而闻名，它是动力系统热力学形式的核心。这里我们表明，这种技术也可以成功地应用于由高维复杂系统生成的时间序列。我们的主要例子是以粗粒度的方式调查股价回报。发现了R′enyi熵的非平凡谱。我们研究了频谱如何依赖于回报的时间尺度、所考虑的股票部门以及用于符号描述的符号数量。总体而言，我们的分析证实，在符号空间中，观察到的股价回报的转移概率取决于之前符号的整个历史，因此强调需要基于非马尔可夫随机过程的建模。我们的方法允许对整个不同的复杂系统进行定量比较，例如，使用4个符号的股票收益率生成的符号序列的统计数据可以与基因组序列的统计数据进行比较。简介–符号动力学技术是一种以粗粒度方式描述动态系统轨迹的强大方法【1–10】。它已应用于许多表现出混沌或临界行为的低维ma P。

动力系统中的非平凡相关性表现在非平凡的R'enyi熵谱[1，4，5，11–13]和其他与允许的符号序列集及其相关的障碍概率中。这项技术在80年代和90年代非常流行，当时人们对一维地图进行了大量研究[2-5，10]，最近的工作又重新采用了这项技术，并将其应用于更广泛的环境中[14-17]。本文的主要目的是说明，从动态系统理论中借用的符号动力学技术可以成功地应用于高维复杂系统生成的时间序列，远远超出了原来的一维混沌映射方法。我们下面的主要例子是股价动态，这当然是由高维相空间中的复杂市场和交易者动态最终产生的。众所周知，金融时间序列表现出多重分形特征【19–22】，但在这里，我们基于符号动力学技术提出了一种不同的方法来解决这个问题。我们将研究不同时间尺度上观察到的股价回报率与离散符号序列的相关性和复杂行为。我们将通过计算符号序列对应的R’enyi熵[1，11-13]来量化这一点，该熵基于不同部门的历史股价回报数据集，包括长（日）时间尺度和短时间尺度（分钟）。结果表明，对真实股价数据观察到的符号序列的随机过程表现出非马尔可夫特征。为了描述不同公司（或复杂系统背景下的社区）之间的差异，我们将引入一个R’enyi差异矩阵，比较不同子系统的R’enyi差异。

所开发的方法允许对不同的复杂子系统进行定量比较，或因符号动力学空间中的编码而导致的甚至不同的科学问题。例如，可以定量比较基因组序列的统计特性【23–25】与粗粒度股价波动产生的统计特性，尽管这两个问题都来自完全不同的科学领域。股价的符号动力学–让我们将从P-1Dan Xu和Christian Beckdynamic systems Theory中熟知的符号动力学技术应用于给定时间序列的粗粒度描述。假设该时间序列由一个动态演化的复杂系统的适当观测值生成。我们选择了一个具体的例子，而不是非常理论化的例子：由复杂的市场结构和交易者投机造成的股价演变。通常，人们只对与给定复杂系统相关的非常基本的问题感兴趣。以股价为例，这个问题是一个很有挑战性的问题：基本上人们关心的是一家特定公司的股价是上涨还是下跌，当然这个问题也取决于所考虑的时间尺度。为了生成与此类问题相关的符号序列，我们首先需要选择合适的相空间分区（低维映射中的生成分区）。图1:1998年至2013年期间，sh的对数收益率时间序列为p rice（在本例中为美国铝业公司），排除了强烈波动的间歇性爆发。时间单位为天。一年大约有251个交易日。股票价格最简单、最直接的方法是只考虑两个符号，即。

考虑两个不相交子集A中对数股价回报logSn+1的可能值=(-∞, 0）和A=（0，∞),在标为n的离散时间尺度上，对应于股票价格的正负变化。这是对这里所问问题的简化相空间描述。请注意，A和A被选为打开间隔。点0（对应于无变化）的测量值为0，不影响分析。当然，对于其他复杂系统/时间序列，可以不同地定义生成符号序列的子集，这取决于问题和关于复杂系统的问题。一般来说，以这种方式生成更复杂的分区[9，16]。现在，让我们看一个美铝Inc.公司（Alcoa Inc.）的每日股价数据集示例，该数据集涵盖98年1月19日至2013年5月期间（图1）。如果log return是A的一个元素，相当于Sn+1<Sn，那么我们用符号d表示此类降价事件。否则，Sn+1>Sn的Astands中的价格用u表示，表示价格上涨。通过这种方法，我们可以将s hare prices的时间序列归因于符号序列i，i，i。。。，在里面在何处∈ {d，u}。WeFig公司。2： AlcoaInc的2-8长符号序列的日股价运动动力学联合概率p（N）jof。现在考虑长度为N的符号的子序列，其中N与可用数据的总数相比很小。由于我们只有有限的一组数据点的数据，我们将整个数据序列划分为长度为N的R段。因为每个符号只有u或d两个选择，对于任何给定的N，我们得到ω（N）=2n允许的子序列。

由于相空间的划分非常简单，并且我们的数据集足够大，足以满足R>>ω（N），因此将有许多事件对应于相同的符号模式。因此，通过确定符号序列在给定数据集中出现的频率，我们可以轻松获得每个允许符号序列的概率。然后，长度为N的给定符号序列的概率表示为p（N）j=p（i，…，iN-1） ，其中j labelsall可能序列i。。。，在里面-现在，通过使用0=d和1=u的二进制展开，将长度N的每个允许符号序列编码为单位间隔上的实数α，我们可以生成一个图来可视化我们的概率。这意味着任何给定的符号序列i。。。，在里面-1可以通过位序列表示，特别是我们指定=1如果in=u0如果in=d（1），其中n=0，1。。。，N-1、可以通过将分配给给定符号序列的坐标α定义为α（x（N））=NXn=1xin来实现这一点-1.-n、 （2）注意α（x（n））∈ [0，1）。通过这种方式，我们在单位间隔上为每个符号序列分配一个r eal数α，这样我们就可以很容易地在给定符号序列的频率上可视化我们的结果。如图2所示。注意，在数字上，我们将自己限制为N≤ 8因为我们只有有限的数据点。

较大的N会导致较大的随机误差，因为统计数据并不高，复杂系统的top-2符号动力学技术：应用于股价动力学以可靠的方式估计给定符号序列的频率。还请注意，虽然对于简单的示例，所有符号序列都是可能的，但对于更一般的复杂系统（以及更复杂的问题，这些问题随后被编码到符号中，如[14–17]中的问题），符号空间中将有一组允许和禁止的序列。在这种情况下，图2中的分布将有间隙，通常会有多重分形结构。尽管如此，我们在本文中定义的一切仍然可以通过分析的方式完成。符号序列的信息内容–鉴于实验确定的概率分布可能具有类似的特征，如图2所示，找到一种测量多重分形特征的适当方法是有意义的。为此，我们使用了著名的R’enyi信息概念[1,11–13]定义的asIq（p（N））=q- 1lnω（N）Xj=1（p（N）j）q.（3）这里q是实数，ω（N）是给定N的允许符号序列数（允许的符号序列是满足p（N）j6=0的符号序列）。指数j表示各种序列概率。R'enyi信息测度可以被视为萨农信息的一种基因表达，就像q→ 1我们有Limq→1Iq（p（N））=ω（N）Xj=1p（N）jln p（N）j=I（p（N））（4），其中I（p（N））表示香农信息。等式3中的一个重要特例是选择q=0，I（p（N））=- lnω（N），（5）表示I（p（N））随允许的符号序列数以对数方式减少。

请注意，当符号序列的长度N有限时，等式3会产生一个有限值，因为ω（N）是有限的。回想一下，对于一个给定的符号序列，任何符号序列都被映射到一个[0，1]的点上，相邻点之间的距离相等。在图2中，我们将给定级别上两个相邻坐标的距离称为方框大小，并用ε表示。在我们的情况下，方框大小由N决定，即ε=N。这意味着ε随着Ngrows而变小，当N→ ∞, ε接近0，在这种情况下，等式3定义的R'e nyi信息会出现偏差。然后，确定R’enyi维度很有用，这是一个非常重要的量，因为它保持在极限ε内→ 0:D（q）=limε→0Iq（p（N））lnε=limε→0lnεq- 1lnω（N）Xj=1（p（N）j）q.（6）图3显示了为图2中给出的数据评估的（有限框尺寸）R’enyi尺寸示例。图3:R’enyi维度以及美铝一期nc股票每日股价变动的上限（橙色虚线）和下限（绿色虚线）（如N=8的数字所示）。当然，任何数据集的大小都是有限的，在我们的情况下，可以用可靠的非易失性结果获得的最小ε是。鉴于数据集的不确定性，检查Renyi维度的一些严格的上下边界和单调性是有用的，这对于任意概率度量是有效的。R'enyidimensions是单调递减的，其值对于所有q都必须为正。此外，如果允许所有符号序列，则当q=0时，我们必须将值设为1。这是因为（0）=limε→0-lnεlnω（N）Xj=11=limε→0-ln 2NlnN！=1.（7）此外，如【12】所示，R’enyi维数的可能值有一个限制，因为可以证明一般的上限和下限维数：q′- 1q′D（q′）≥q- 1qD（q）表示q′>q，q′>0。

（8） 如果我们替换+∞ 和-∞ 对于等式8中的q，我们得到上界（q）≤qq- 1D(+∞) 对于q>1（9）且下限为byD（q）≥qq- 1D(-∞) 对于q<0。（10） 我们用n=8检查了数据集的这些界限，结果也如图3所示。显然，我们的实验数据满足了这些特性（9）和（10）。从R′enyi维数D（q）可以通过热力学形式中的勒让德变换，得到拥挤指数|α的奇异谱f（|α）。然而，由于f（|α）谱中包含的信息与广义维数SD（q）中的信息相同，我们在此不再继续沿着这些思路进行，而是让读者参考介绍本主题的合适文献[1，26]。p-3Dan Xu和Christian BeckFig。4： R'enyi entropies（美国铝业股份有限公司）每日股价变动的符号序列长度为2至8的动态R'enyi entropies–与R'enyi维数不同，R'enyi维数通常是给定多重分形概率度量的一个属性，并且它事先不包含任何动力学信息，R'enyi熵K（q）度量符号序列中编码的信息的产生（或损失）。这是股价演变的直接利益数量。R’enyi熵K（q）定义在极限N内→ ∞ 给定byK（q）=limN→∞-I（N）qN=limN→∞1.- qNlnω（N）Xj=1（p（N）j）q（11）当然，通过将符号序列投影到实线上的点上（如图2所示），这两种方法可以在形式上等价，但动态信息只需编码在适当的多重分形度量中。图4显示了股票价格回报的R’enyi熵的有限N版本，其中N从2增长到8。

Reny熵当然对q的依赖性与对应多重分形测度的Nyi维数相同，多重分形测度在单位区间上编码符号序列概率。对于q=0，我们得到k（0）=limN→∞Nln 2N=ln 2，（12），这是拓扑熵。此外，对于q→ 1，使用公式4，K（1）=limN→∞-I（p（N））N（13）我们得到了与股价变化的符号序列s相关的科尔莫戈罗夫-西奈熵。同样，我们可以通过勒让德变换从函数K（q）出发，得到动力学指数g（|α）的等值谱（参见，例如[1]）。小时间刻度–我们通过相应的R’enyi熵对每日股价变动的联合概率进行了量化。我们现在感兴趣的是这些o可观测值如何依赖于符号fig的时间尺度。5： 美国铝业股份有限公司2-8长符号序列的股价动态联合概率，以分钟为时间尺度进行评估。动力学除了使用每日股价，现在分析的数据集包括1998年至2013年同期的股价记录；这涵盖了150万个数据点。我们重复与之前相同的分析，并考虑长度为8的符号序列。通过使用与前一节相同的划分方法，我们获得了s符号序列的多重分形概率分布，如图5所示。与图2相比，小时间尺度上的概率分布与日常时间尺度上的概率分布显著不同。请注意，有些局部极大值是以自相似的方式复制的。虽然这些密度是非光滑的，但继续使用Renyi维数（或熵）的优势在于，通过这种方式，产生了对扫描参数q的平滑依赖。这如图6和7所示。无花果