最优统计套利中的止损和杠杆

不同的是，该策略的夏普比率（定义为预期超额回报率（w.r.t.无风险利率r）与回报率标准差之比）在长期内趋于一致。在分析最优回报之前，让我们先介绍一下“公平博弈”的概率，它也考虑了支付的交易成本。定义4（公平概率）我们定义了以下两个量：q+：=v-v-- v+，q-:=v+v+- v-= 1.- q+。（10） 如果（8）中的条件i）成立，则q+∈ （0，1）和Q：={Q+，Q-} 是一个概率集。可以将Q解释为与随机变量v相关联的公平概率集，即Q+v++Q-v-= 0 .我们可以将优化问题分为两个步骤：首先，我们找到最佳杠杆f*固定数据后，我们搜索最佳交易区间。引理1如果价格动态是连续的，则最优杠杆f*满意度：f*=-p+v++p-v-v+v-如果p+>q+0，否则。（11） 证明。在对长期回报（9）施加一阶条件后，简单明了uf | f=f*= 0、最佳杠杆f*当p+>q+，满足（8）中的条件iii）；否则f*= 0上述引理表明，值得在策略中投资非零金额（f*> 0）仅当对于所选的D和U波段，“博弈”是不公平的，并且是均值回复，即积极情景p+的概率大于公平概率q+。我们可以将交易策略强加给一个通用的连续价格动态；然而，只有当动力学是均值回复时，它才有意义。推论1最佳杠杆f的长期回报（9）*为u（f*, D、 U | L）=p+ln（p+q+）+p-ln（p-q-)p+E[τ+]+p-E[τ-]如果p+>q+0，否则，（12），即概率p={p+，p之间的Kullback-Leibler散度-} 和Q，当p+>Q+时，通过两次后续交易之间的预期时间进行归一化，否则为零。证据

直接替代最优杠杆f*（11）我们可以观察到（12）的分子非常简单，我们在下一节中演示，分母也可以用OU的初等方式表示。给定止损L，长期回报率（12）仅取决于交易区间U和D。为了找到交易区间的最佳值，可以将其最大化，如第4节中的详细示例所示。注2：当允许风险资产做空头寸时，该策略的长期回报可以进一步增加。考虑到OU动态的对称性（2），投资者还可以考虑将长期回报翻倍的反转策略：他在-D>0并关闭它回购中的风险证券-U（专业）或in-L（损失）。3 Ornstein-Uhlenbeck过程的首次退出时间矩在上一节中，我们已经证明，对于任何连续的价格过程，最优长期回报取决于到达交易带的概率以及一些预期的FPT和FET。当遵循OU动力学（2）时，可在文献中找到预期FPT和到达终点概率的表达式；在本节中，我们将展示如何根据基本函数计算预期FET。备注3可以重新缩放时间t和记录价格Xtin（2），以1/κ单位测量时间和Xtinσ/√κ单位，获得κ=σ=1的等效动力学（采用新的测量单位）。不同的是，交易区间是标准偏差的倍数∑：=σ/√2κ表示过程Xt（2）的高斯平稳分布；时间（例如交易长度）是U特征时间尺度θ的倍数：=1/κ。我们用小写字母表示以∑为单位的交易区间，即D=D∑，U=U∑。我们也可以用l表示∑unitsL=l∑中的止损，用l表示负实数。

在数学方面，这种选择对应于当下降达到高斯平稳分布的给定分位数时停止策略。一个典型的选项是-1.96，对应于2.5%分位数。为了计算预期的FET，我们考虑了Borodin和Salminen（1996）中FET的拉普拉斯变换，以及Nobile et al.（1985）D中抛物柱面函数的表达式-λ（x）=√π 2-λ/2Γ（1+λ）e-x/4∞Xk=0λkχk-x个√, λ ∈ <+, x个∈ < （13） 带Γ：<+→ <+gamma函数与函数{χk}k∈通过以下迭代关系确定χ（z）：=1 z∈ <χi（z）：=2Zzdy eyZy-∞杜埃-uχi-1（u）z∈ <, 我∈ N+（14）特别是，将χi（z）函数分解为奇偶函数是有用的，如以下前两个引理所示。引理2对于（14）中定义的前两个函数{χi（z）}i=1,2，我们有χ（z）=√πД（z）+ψ（z）χ（z）=√π[Д（z）- ln 2Д（z）]+ψ（z）z∈ < （15） 其中{ψi}i=1,2为偶数函数，{Дi}i=1,2为奇数函数，其定义可在函数词汇表中找到。证据

见附录A感兴趣的数量是τein（3），FET从D开始，从L<D<U的区间（L，U）退出；我们尤其对FETτ+e（τ）感兴趣-e） 从U（L）退出时。从上面退出的概率（Borodin和Salminen 1996，p.548 eq.3.0.4b）isp+=Er fid（d，l）Er fid（u，l）=Дd√- ^1l√^1u√- ^1l√, （16） 其中，最后一个等式是通过将概率重写为之前提到的添加函数Д的函数而获得的。本节的主要结果在以下命题中陈述，其中为OU（2）的τ+ef的第一时刻提供了明确的表达式。命题3 OU动力学的τ+ein（4）的第一时刻（2）isE[τ+e]θ=Дu√- ^1l√- ψu√^1l√+ ψl√^1u√^1u√- ^1l√-^1d√- ^1l√- ψd√^1l√+ ψl√^1d√^1d√- ^1l√（17） 其中{ψi}i=1,2和{νi}i=1,2分别是偶数和奇数函数，其定义可在函数词汇表和θ中找到，θ是OU的特征时间。证据见附录A第一次通过时间τp（D U）（D<U）的第一时刻由以下推论得出。推论2 D<U isE[τp（D U）]θ的FPTτp（D U）的一阶矩=√π^1u√- ^1d√+ψu√- ψd√（18） 证明。如Nobile et al.（1985）所示，或作为L→ -∞ 前一命题类似地，在L中退出时，有一个概率为-=Er fid（u，d）Er fid（u，l）=Дu√- ^1d√^1u√- ^1l√,预期FETτ-eisE[τ-e] θ=Дu√- ^1l√- ψu√^1l√+ ψl√^1u√^1u√- ^1l√-^1u√- ^1d√- ψu√^1d√+ ψd√^1u√^1u√- ^1d√（19） D<U isE[τp（U D）]θ的FPTτp（U D）的期望值=√π^1-d√- ^1-u√+ψ-d√- ψ-u√. （20） 备注4使用命题3的相同技术，也可以计算FET的下列力矩。

尤其可以表明，τ+EAN和τ的方差-根据提案2的要求，提前确定。当XT遵循OU动力学（2）时，FET的先前结果允许以分母（9）和（12）作为简单表达式写入预期交易长度，如下推论所示。推论3 OU动态的预期交易长度（2）isp+E[τ+]+p-E[τ-]θ=πEr fid（d，l）Er fid（u，d）Er fid（u，l）。证据直接替代直接替代在OU的情况下，由于概率和预期交易长度的简单表达式，我们可以显式地编写长期回报（9）。变成u（f，D，U | L）=πθln1+f欧盟-D-c- 1.Er fid（u，d）+ln1+f埃尔-D-c- 1.Er fid（d，l）！。（21）在前一节中，我们讨论了对于一般连续价格过程，具有非平凡交易策略的条件，即投资于风险资产的非零金额。现在让我们来评论一下XTOU动态（2）之后的主要后果。如引理1所示，对于给定的阅读策略（然后对于给定的一组波段D和U），需要p+>q+<=> c<c：=ln1+p+欧盟-L- 1.- （D）- 五十） 。在成对交易的情况下，波动率∑取值较低（通常低于5%）。在这种情况下，我们可以考虑C=C∑+O（∑）与C=p+（u）的一阶展开式-l）- （d）-l） ，其中，在OU情况下，p+，由（16）给出。在OU的例子中，很容易证明c始终是正的u∈ （d），-l） 。不同的是，只要交易成本c不太高，每次原木价格跟随OU（正指数反转κ）时，“博弈”都是不公平的，均值回复（p+>q+）。对于任何选定的止损水平l，实际感兴趣的数量为c*, 允许非平凡交易策略的最大交易成本，即c w.r.t.和u的最大值。该数量c*是止损水平l的通用函数（即。

它不依赖于任何模型参数），在图2中，我们显示了l在与实际目的相关的值范围内的曲线图。图2：最大允许交易成本c*（单位：∑单位）作为范围内止损水平l的函数(-3, 0).备注5从（21）Bertram的长期回报uBas中可以获得止损L的极限情况→ -∞. 在这种情况下，预期交易长度变为πθEr fid（u，d），一个得到uB（f，d，u）=ln1+f欧盟-D-c- 1.πθEr fid（u，d），是f的递增函数，因为在任何情况下都没有损失。选择f=1会得到众所周知的结果（参见Bertram 2009，公式15）uB（f=1，D，U）=U- D- cπθEr fid（u，d）。4能源市场的应用在本节中，我们展示了交易策略的简单应用，包括止损和利用能源市场的一个实证数据。我们考虑康明斯和布卡（2012）分析的一对，其呈现出有限的季节性：第二份未来热油合同和第六份未来天然气合同之间的价差（通常识别为HOc2-LGOc6）。如康明斯和布卡（2012）所述，取暖油期货（HO）在纽约商品交易所（NYMEX）以美元/加仑的价格进行交易，合同单位为42000加仑，而天然气油期货（LGO）在洲际交易所（ICE）以美元/公吨的价格进行交易，合同单位为100公吨；我们考虑2015年4月23日至2016年4月22日之间一年半小时的数据集。数据提供者是汤森路透。这两个市场都是时钟市场，HO在每个工作日的17:00至18:00纽约时间（NYT）之间休息60分钟（周日市场在纽约时间18:00开放），LGO在每个工作日的18:00至20:00纽约时间（周日市场在纽约时间20:00开放）之间休息两小时。

我们使用classicapproach将数据集划分为9个月的样本内（IS）期和3个月的样本外（OS）期。在IS期间，我们仅考虑纽约时间9:00-16:00之间的时间间隔来校准OU参数，当两个市场都更具流动性时；在这个时间段之外，音量明显更小。我们还确定了该策略的最佳交易区间。Strategy的性能是使用全天候价格验证操作系统的（不包括纽约时间17:00-20:00之间的时间间隔，这两个市场中的一个关闭）。与康明斯和布卡（2012）相似，我们考虑的比率为：=p（1）t/p（2）t，其中p（1）代表总行未来合同的中间价格，而p（2）代表LGO未来合同的中间价格。表1：HOc2-LGOc6时间序列的估计参数。我们报告了通过10个样本的bootstrap技术获得的估计值和95%置信区间（CI）。进行转换以确保时间序列以美元/桶为单位进行一致报价。参数估计值CI^κ18.51（10.89，37.55）^η（%）-0.94（-1.84，-0.01）^σ（%）8.93（8.69，9.16）我们的数据集分别由2908和2752个观测值组成，分别位于is和OSperiods。为了清除时间序列中的异常值，我们考虑了两种过滤技术。按照Benth et al.（2008）中描述的相同技术，我们搜索RT的极端异常值。给定下四分位数和上四分位数，分别为qan和Q，四分位数之间的范围qr：=Q-Q、 如果观测值小于Q，则视为异常值-3×IQR，或大于Q+3×IQR。遵循此规则，不会检测到异常值。然后，我们过滤出可能影响策略的反持续异常值：如果两个后续比率之间的差值在绝对值上大于四分位范围，即。

|Rt公司- Rt公司-1 |>IQR，下一次观察Rt+1至少恢复95%的IQR。采用这种技术，我们在IS（2015年7月3日12:30NYT）和OS时间序列（2016年2月15日20:00 NYT）中删除了1个异常值。通过最大似然法在IS数据集上估计参数；通过10个样本的自举技术获得置信区间（详见附录B）。数值结果见表1。以与Bertram（2009）类似的方式，我们获得了最佳杠杆的最佳交易区间，最大化numericallyreturn（21）；我们也允许空头头寸。优化直接关系到表达式的简单性。在图3中，当止损l为-1.96，参数见表1。时间t的交易成本参数c可以根据价格-时间序列中观察到的买卖价格进行估计。图3：作为交易成本函数的最佳交易区间。我们认为止损l=-1.96，无杠杆（f=1），参数等于表1中的估计值，在这种情况下∑=1.47%。InBertram（2009）交易带u和d是对称的；相反，在止损情况下，交易带SU和d不再对称。该图显示了| d |（红色）和u（蓝色虚线），作为范围（0，c）内交易成本（单位∑）的函数*= 0.76），其中c*是所考虑的止损水平l的最大允许交易成本，如前一节所计算。asct=Xi=1lnp（i，a）tp（i，b）twhere p（i，a）and p（i，b）tre分别表示i=1,2的ithfuture的要价和投标价。

图4显示了c值的经验分布；其平均值为9.33%∑。图4：c的频率直方图，单位为∑单位。最佳杠杆率等于28.54，95%置信区间（15.08，41.97），这一值对于实际用途来说太大了。在表2中，我们展示了最佳波段（d和u）的结果，以及不同杠杆水平（1、10和最佳杠杆）的收益率及其置信区间。我们还报告相应的操作系统返回。我们观察到，从长期来看，交易策略的结果是显著的，即使如本研究所示引入止损，并且当杠杆率f次优时。表2：校准的频带（d e u）IS和相应的IS返回，带停止损耗l=-1.96; weshow值及其95%置信区间通过bootstrap技术获得。我们考虑三个杠杆水平：1、10和最佳杠杆水平。我们还报告了在OS数据集中获得的返回。f d CI u CIuCIuOS1-0.870 (-0.915, -0.688) 0.581 (0.564, 0.603) 0.145 (0.124, 0.151) 0.41010 -0.863 (-0.924, -0.642）0.447（0.386，0.521）1.175（1.049，1.367）4.340opt-1.108 (-1.112, -0.943）0.302（0.296，0.326）1.945（0.894，3.707）5.6845结论在本文中，我们为均值回复证券制定了在止损和杠杆存在的统计套利交易策略。我们首先在Bertram（2009）提出的建模框架内引入了止损和杠杆。对于任何给定的杠杆水平L，我们分析地写出最优投资策略和相关的长期回报；为了完成这项任务，对于OU，我们以闭合形式推导出通道的预期第一个退出时间。在这种情况下，我们可以推导出一个简单的长期分析表达式（21）。考虑到12个月半小时的时间序列，我们还展示了对期货能源市场中的一个应用程序。

通过施加止损，可以很容易地计算出最佳频带和杠杆率。最佳杠杆对于实际目的来说太大了，但样本结果表明，拟议的交易策略即使考虑到次优的平均水平，也能提供显著的长期回报。致谢我们感谢2016年维也纳WPI能源市场数学会议和2016年帕多瓦能源金融研讨会的所有与会者，特别是J.Palczewski提出的有用意见。通常的免责声明适用。参考Abramowitz，M.和Stegun，I.，1964年。国家标准局数学函数手册，包括公式、图表和数学表格。Benth，F.E.、Benth，J.S.和Koekebakker，S.，2008年。《电力和相关市场的随机建模》，世界科学出版有限公司（Ltd.Bertram，W.），2009年。Ito扩散过程的最优交易策略，Physica A：统计力学及其应用，3882865–2873。Borodin，A.和Salminen，P.，1996年。《布朗运动手册：事实与公式》，Birkhauser。Cartea，A.，Jaimungal，S.，和Penalva，J.，2015年。算法和高频交易，剑桥大学出版社。Cox，D.R.和Miller，H.D.，1965年。随机过程理论，查普曼和霍尔。康明斯，M.和布卡，A.，2012年。原油和炼油产品市场的定量价差交易，《定量金融》，121857-1875年。Efron，B.和Tibshirani，R.，1986年。标准误差、置信区间和其他统计准确性度量的自举方法，统计科学，1，54–75。Elliott，R.、Hoek，J.V.D.和Malcolm，W.，2005年。配对交易，定量金融，5271–276。Gatev，E.、Goetzmann，W.和Rouwenhorst，K.，2006年。配对交易：相对价值套利规则的表现，《金融研究评论》，19797–827。Guasoni，P.和Muhle Karbe，J.，2013年。