最优统计套利中的止损和杠杆

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短期利率连续时间模型的高斯方法，《计量经济学杂志》，4（2），210–224。函数的符号和词汇表stationsymbol descriptionxtrisked security log price at time t，建模为OUBtBrownian motionc交易成本参数c∈ <+ut截至时间t的单位时间收益u长期收益tκ时投资者的财富，η，σOU参数：平均反转速度，平稳平均值，扩散参数θOU动态的特征时间，θ：=1/κ，σOU动态的稳态标准差，∑：=σ/√2κ^κ，^η，^σ通过分配给风险证券的财富的最大可能性分数估计OU参数，它为leveragef建模*最佳杠杆u（D）上（下）交易区间L止损SL，u&D止损，∑unitsp+（p-) 从D到U（L）q+（q）的转移概率-) 从D到U（L）r无风险利率的“公平”转移概率τ交易长度{φi}i=1，。。。，3交易长度τ+（τ）的前三个矩-) 式（5）中定义的交易长度，在正（负）情景中，对于以Dτp（D U）开始的过程，从通道（L，U）的首次退出时间对于以Dv+财富增长开始的过程，在正情景中，v+：=eU-D-c- 1Dν（x）圆柱抛物函数，ν∈ <+, x个∈ <双参数S（ν，x，y）圆柱抛物函数，ν∈ <+, x、 y型∈ <缩写描述I Confidence IntervalFET First Exit Timept First Passation TimeIS In SampleOS Out SampleOU Ornstein Uhlenbeck processp。d、 f.概率密度函数w。r、 t.关于函数的集合，基本函数是（Abramowitz和Stegun 1964）Erf（x）：=√πZxdt e-三（x）：=√πZxdt et=-i Erf（ix）Erfc（x）：=√πZ∞xdt e公司-t=1- Erf（x）Er fid（x，y）：=√√πZxydt et/2=电流互感器x个√- Er fi公司y√.类似于Nobile等人。

（1985），我们引入了偶数函数{ψi}i=1,2和奇数函数{Дi}i=1,2，以分解通过递归方程（14）Д（x）：=Zxdt et定义的函数{χi}i=1,2=√πEr fi（x）=∞Xn=0x2n+1n！（2n+1）ψ（x）：=2Zxdt etZtdu e-u型=√πZxdt etErf（t）=∞Xn=0nx2n+2（2n+1）！！（n+1）Д（x）：=2zxdtztdue-乌祖德特=∞Xn=0x2n+3（n+1）！（2n+3）nXk=02k+1ψ（x）：=4ZxdtetZtdue-uZudtetZtdue-u型=∞Xn=0nx2n+4（2n+3）！！（n+2）nXk=0k+1。我们也写了他们的麦克劳林系列。附录是我们证明论文主要结果的附录。证明命题1让我们定义N+t（N-t） 在时间间隔[0，t]内，从D开始的过程在L（U）之前到达U（L）的次数。让我们考虑一下，如果价格动态持续，投资者在时间t的自我融资策略中的财富wt等于t之前最后一次交易后的投资组合价值wt=W（1+f（eU-D-c- 1） ）N+t（1+f（eL-D-c- 1） ）N-t=Weutt。然后，对于该过程的特定实现，我们有ut=N+tα++N-tα-t、 （22）带α+：=ln（1+fv+）α-:= ln（1+fv-) .我们还可以将时间t重写为交易长度之和，得到：ut=N+tα++N-tα-PN+ti=1τ+i+PN-ti=1τ-i=N+tN+t+N-tα++N-tN+t+N-tα-N+tN+t+N-tPN+ti=1τ+iN+t+N-tN+t+N-tPN-ti=1τ-在里面-t、 长期回报u定义为t→ ∞ 之前表达的；对于大数定律，通过观察N+tN+t+N，证明了该命题-助教。s--→ p+，N-tN+t+N-助教。s--→ p-,PN+ti=1τ+iN+ta。s--→ E[τ+]，PN-ti=1τ-在里面-助教。s--→ E[τ-] 证明命题2我们计算ut的期望值和方差，由方程（22）给出。让我们观察n+t=Ntνt，其中nti是一个普通的更新过程，νt在时间间隔t内到达L之前的OU过程的频率；间隔时间（在我们的案例中为交易时间）由P描述。d、 f.（参见Cox and Miller 1965，p.353）f（τ）=p+f+（τ）+p-f-（τ） 式中，f+（τ）（f-（τ） ）是p.d.f。

积极（消极）情景下的间隔时间。给定，频率νt服从二项分布。对于一个在两次到达时间的前三个时刻都很有限的普通更新过程，以下关系成立（参见Cox和Miller 1965，第345页）E【Nt】=φt+φ- φ2φ+Ot型V【Nt】=φφt++5φ4φ-2φ3φ+ o（1），其中{φi}i=1，。。。，3是到达间隔时间的前三个时刻，即φ：=e[τ]，φ：=V[τ]，φ：=e[（τ-φ)].我们可以将（22）重写为ut=（α+- α-) N+t+α-Nt并使用条件期望，我们得到[ut]=t(α+- α-) EE[N+t | Nt]+ α-E[新台币]=αtE【Nt】=u+αφ- φ2φt+Ot型其中α：=p+α++（1-p+α-u=α/φ是长期回报。使用总方差定律（如Weiss 2006），我们得到v[ut]=tEV[（α+- α-) N+t+α-Nt | Nt]+ V[E[ut | Nt]]==t型E(α+- α-)V[N+t | Nt]+ V[αNt]==t型(α+- α-)p+（1-p+E[Nt]+αV[Nt]==t型(α+- α-)p+（1-p+）φ+αφφ+t型(α+- α-)p+（1-p+）φ- φ2φ+ α+5φ4φ-2φ3φ+ ot型.如果只有到达间隔时间的前两个时刻是有限的，那么我们只能得到上述展开式中的前导项（1/t），从而证明了这一命题。出于实际目的，将τ的前两个矩与正负情景中相应的量联系起来可能会很有用。经过简单的计算，得到（φ=p+φ++（1-p+）φ-φ=p+（1-p+（φ+- φ-)+ p+（φ+）+（1-p+（φ-)χ（z）的证明引理2Straightforward。

对于χ（z），应χ（z）=4ZxdtetZt-∞由于-uZudtetZt-∞由于-u型=√πД（z）+ψ（z）+4ZxdtetZ-∞由于-uZudtetZt-∞由于-uwhich在观察到最后三个积分可以明确计算后给出所需结果Yi：=Z-∞由于-uZudtetZt-∞由于-u=-√πln 2。事实上，定义G（u）：=-Z∞udt e公司-t=-√πErfc（u）f（u）：=Zudterefc（t）可写入的数量I=-Z∞由于-乌祖德特兹∞tdue-u=-√πZ∞由于-uZudtetErfc（t）=-√πZ∞挖掘（u）f（u）=√πZ∞挖掘（u）f（u）=-√πZ∞duErfc（u）EU，其中我们已按部分进行集成，并在（Ng和Geller 1969，第14页）中认可了表格积分（4.7.6）证明命题3可以从FETτ+e的拉普拉斯变换（Borodin and Salminen 1996，p.548 eq.3.0.5b）e[e]开始证明该命题-sτ+e | Xτ+e=U]=e[e-sτ+e；Xτ+e=U]P[Xτ+e=U]=：L+e[λ| U]=P+S（λ，d，L）S（λ，U，L），λ：=Sθ和S（λ，X，y）具有两个参数的抛物柱面函数（参见示例。

Borodinand Salminen 1996，p.647）S（λ，x，y）=Γ（λ）πe（x+y）/4[D-λ(-x） D-λ（y）- D-λ（x）D-λ(-y） ]λ∈ <+和x，y∈ <.拉普拉斯变换变为l+e[λ| U]=p+e（d+l）/4[d-λ(-d） d-λ（l）-D-λ（d）d-λ(-l） [e（u+l）/4[D-λ(-u） D-λ（l）-D-λ（u）D-λ(-l） 】。使用方程（13）L+e[λ| U]=p+p∞k=0λkχkd√P∞i=0λiχi-l√-P∞k=0λkχk-d√P∞i=0λiχil√P∞k=0λkχku√P∞i=0λiχi-l√-P∞k=0λkχk-u√P∞i=0λiχil√.τ+eis的期望值与LaplacetransformE[τ+e]=-θλL+e[λ| U]λ=0=θ[ξ（U，L）-ξ（D，L）]与ξ（U，L）：=χu√- χ-u√-χl√- χ-l√χu√- χ-u√-χl√- χ-l√+χu√χ-l√- χ-u√χl√.在奇偶函数中使用{χi}i=1,2的分解，经过简单的计算，我们得到了预期的FET，证明了这个命题附录B简要回顾了我们用于估计参数及其统计准确性的统计技术。最大似然估计（MLE）让我们考虑η不等于零的OU过程（1），因为通常时间序列的平稳平均值与零不同。为了估计三个参数κ、η、σ，我们考虑最大似然估计（参见Yu和Phillips 2001）。Xti的条件密度=xiat time tigiven Xti-1=xi-1is:f（xi | xi-1.κ, η, σ) =√2πexp-（xi）- xi-1e级-κt型- η(1 -e-κt） ）2, （23）其中t=ti- ti公司-1 and=σ1-e-2κt2κ。我们最大化似然或等效对数似然：ln L（κ，η，σ|{xi}i=0，…，N）=-Nln（2π）-Nln+NXi=1（xi- xi-1e级-κt型- η(1 -e-κt） ）。极大似然估计量由（κ，η，σ）=arg maxκ，η，σln L（κ，η，σ）给出。bootstrap为了检查参数的重要性，可以使用bootstrap技术（参见Efronand Tibshirani 1986）。对应如下步骤：1。通过极大似然估计N值时间序列的{κ，η，σ}值；2.

用参数{κ，η，σ}M次（样本）模拟OU过程，每个样本有N个值；3、在i=1，…，的每个ithsample上，通过MLE估计一组新的参数{κi，ηi，σi}，M4、根据三个参数的经验分布，确定每个参数的置信区间。在本文中，我们考虑M=10个样本。