具有S型市场影响函数的最优执行问题

出租人→ ∞, 由于主导收敛定理，我们有e[u（^CT，^XT，^ST）]=J（T，c，x，s）。因此，（^xt）是J（T，c，x，s）的优化器。根据（4.2）和（B.17），我们可以看到^xt=0或^xt>(R)x。定理3的证明。固定任意（xt）t∈ A.∞T（x）和n∈ N、 设xnt=（1- 1/n）xt。用（Ct，Xt，St）t（resp.，（Cnt，Xnt，Snt））表示与（Xt）t（resp.，（Xnt）t）相关的受控过程。请注意，（A.1）–（A.2）表示≤t型≤T（Snt）m]<∞ 对于每个m>0，以及（Cnt、Xnt、Snt）∈D，t∈ [0，T]保持a.s.取任何R>0并设置τR=inf{T≥ 0 ; Snt公司≥ R}∧（T-1/R）+。根据伊藤公式的标准论证，我们得到了atE[v（T- τR，CnτR，XnτR，SnτR）]- v（T、c、x、s）≤EZτR-电视+supy≥0Lyv（T- t、 Cnt、Xnt、Snt）dt.结合这个假设（iii），我们得到了- τR，CnτR，XnτR，SnτR）]≤ v（T、c、x、s）。这里，基于假设（i）–（ii）和切比雪夫不等式，我们看到τRT，R→ ∞a、 s.andE【u（CnT、XnT、SnT）】≤ v（T、c、x、s）。（B.22）由于（xt）本质上是有界的，利用[18]中的定理2.5.9，我们得到[sup0≤t型≤T |对数Snt-日志St |]-→ 0，n→ ∞. 那么，我们有≤t型≤T | Snt-St |]-→ 0和thusE[| CnT-CT |]-→ 0 .此外，我们看到- XT |]-→ 因此，让n→ ∞ 在（B.22）和[14]中的应用引理B.2中，我们得到了atE[u（CT，XT，ST）]≤ v（T、c、x、s）。因为（xt）t∈ A.∞T（x）是任意的，我们推导出T hatJ（T，c，x，s）=J∞（T、c、x、s）≤ v（T、c、x、s）。这和假设（iv）得出的结论是：j（T，c，x，s）=E[u（^CT，^XT，^ST）]=v（T，c，x，s）。定理6和7通过使用定理3的简单计算得到。定理8的证明。

[12]中的定理5.2告诉我们，（5.8）与优化问题c+sup（xt）t等价∈在（x）ZT^Stxtdt，其中d^St=-^St（￠u+^g（xt））dt，^S=S，^g（x）=γαx+αlog（αβx+1）。此外，我们看到^g′（x）≥ααβ（αβx- 3） 4（αβx+1），因此，^g（x）是严格凸的（例如参见[22]中的推论1.3.10）。因此，我们可以应用定理7来完成证明。最佳执行速度^ν满足G^G′（^ν）=u，其中G^G′（x）=x^G′（x）- ^g（x）=γαx+α1.-1+αβx- 对数（αβx+1）. 参考文献[1]Alfonsi，A.、Fruth，A.和Schied，A.：《带一般形状函数的极限顺序书中的最优执行策略》，Quant。财务10（2010）143–157。[2] Almgren，R.F.和Chriss，N.：《投资组合交易的最佳执行》，《风险杂志》，18（2000）57–62。[3] An\'e，T.和Geman，H.：《订单流量、交易时钟和资产回报的正常性》，金融杂志，55（2000），第5期，2259-228 4。[4] Bertsimas，D.和Lo，A.W.：《执行成本的最优控制》，J.Fin anc。做记号1(1998) 1–50.[5] Da Lio，F.，Ley，O.：数据超线性增长条件下的凸Hamilton–Jacobi方程。应用程序。数学Optim公司。63（2011），第3309–339号。[6] Fleming，W.H.和Soner，H.M.：《受控马尔可夫过程和粘度解》，Springer，New Yor k，1992年。[7] Gatheral，J.和Schied，A.：《几何布朗运动下的最优贸易执行》，Almgren和Chriss fra mework，Int.J.Theor。应用程序。财务14（2011），第3353–368号。[8] Gathereal，J.和Schied，A.：《订单执行的市场影响和algor it hms动态模型》，《系统风险手册》，Fouque，J.P.和Langsam，J.编辑，剑桥剑桥大学出版社，2013，579–602。[9] Geman，H.《随机时钟和金融市场，数学金融方面》，Yor，M.编辑，Springer，New York，2008，37–52。[10] 古恩特（Gu’eant，O）：永久性的市场影响可能不会是非线性的，预印本（20 14）。[11] Ishitani，K。

和Kato，T.：具有不确定市场影响的最优执行问题的数学公式，常见。斯托赫。肛门。9（2015），第3号，第13–129条。[12] I*****ani，K.和Kato，T.：《具有不确定市场影响的最优执行问题的理论和数值分析》，Com MON。斯托赫。肛门。9（2015年2月），第3号，343–366。[13] Karatzas，I.和Shreve，S.E.：布朗运动和Stoc-hastic微积分第二。ed i tion，Springer，纽约州，1991年。[14] 加藤：一个具有市场影响的最优执行问题，金融斯托赫。18（2014），第3695–732号。[15] Kato，T.：《市场影响函数的非线性：基于实证和模拟的凸/凹市场影响函数研究和最优执行模型推导》，Trans。日本。Soc。工业应用。数学24（2014），第3203–237号（日语）。[16] Kato，T.：VWAP执行是一种最佳策略，JSIAM Lett。7 (2015) 33–36.[17] Kato，T.《依赖于卷的Almgren–Chriss模型中的最佳执行问题》，预印本（2017年）。[18] 《受控扩散过程》，柏林斯普林格，1980年。[19] Madhavan，A.：VWAP Strategies，Trading 1（2002）3 2–39。[20] Mazur，S.《批量时间中的市场影响和时机风险建模》，算法金融2（2013），第号。2, 11 3–126.[21]Nagai，H.：随机微分方程，Kyoritsu Shuppan，东京，1999年。[22]Niculescu，C.和Persson，L.-E.：《凸函数及其应用》，Springer，纽约，2006年。【23】Obizhaeva，A.和Wang，J.：《最优贸易策略和供需动态》，J.Financ。做记号16（2013），第1、1-32号。【24】Ro,su，I.：限额订单簿的动态模型，修订版。财务部。螺柱。22（2009），第1 14601–4641号。[25]Veraat，E.D.和Winkel，M.：《时间变化》，量化金融百科全书，编辑：Cont，R.，Wiley，Chichester，2010，1812-1816。