具有S型市场影响函数的最优执行问题

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英文标题：
《An Optimal Execution Problem with S-shaped Market Impact Functions》
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作者：
Takashi Kato
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  In this study, we extend the optimal execution problem with convex market impact function studied in Kato (2014) to the case where the market impact function is S-shaped, that is, concave on $[0, \\bar {x}_0]$ and convex on $[\\bar {x}_0, \\infty )$ for some $\\bar {x}_0 \\geq 0$. We study the corresponding Hamilton-Jacobi-Bellman equation and show that the optimal execution speed under the S-shaped market impact is equal to zero or larger than $\\bar {x}_0$. Moreover, we provide some examples of the Black-Scholes model. We show that the optimal strategy for a risk-neutral trader with small shares is the time-weighted average price strategy whenever the market impact function is S-shaped.
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中文摘要：
在本研究中，我们将Kato（2014）研究的凸市场影响函数的最优执行问题扩展到市场影响函数为S形的情况，即，对于某些$\\bar{x}u 0\\geq 0$，在$[0，bar{x}u 0]$上凹，在$[\\bar{x}u 0，infty）$上凸。我们研究了相应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，并证明了在S形市场冲击下的最优执行速度等于零或大于$\\bar{x}_0$. 此外，我们还提供了Black-Scholes模型的一些例子。我们证明了当市场影响函数为S形时，风险中性的小股交易者的最优策略是时间加权平均价格策略。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Mathematical Finance        数学金融学
分类描述：Mathematical and analytical methods of finance, including stochastic, probabilistic and functional analysis, algebraic, geometric and other methods
金融的数学和分析方法，包括随机、概率和泛函分析、代数、几何和其他方法
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> An_Optimal_Execution_Problem_with_S-shaped_Market_Impact_Functions.pdf (276.98 KB)

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关键词：Quantitative Mathematical mathematica QUANTITATIV agent-based

具有S型市场影响函数的最优执行问题*Takashi Kato+第一版：2017年6月28日本版：2017年10月2日摘要在本研究中，我们将Kato[14]中研究的凸市场影响函数的最优执行问题扩展到市场影响函数为S形的情况，即[0，\'x]上凹，[\'x]上凸，∞) 对于某些“x”≥ 0.我们研究了相应的Hamilton–Jacobi–Bellman方程，并表明S形市场冲击下的最优执行速度等于零或大于'x。此外，我们还提供了Black–Scholes模型的一些示例。我们证明，当市场影响函数为S形时，风险中性的小股交易者的最优策略是时间加权平均价格策略。关键词：最优执行问题、市场影响、Hamilton–Jacobi–Bellman方程、时间加权平均价格（TWAP）1简介作为一种随机控制问题，最优执行问题在数学金融领域得到了广泛的研究。有各种关于最优执行的研究，如[1、2、4、7、23]和其中的参考文献，Gatheral和Schied[8]调查了几种最优执行的动态模型。要研究这类问题，我们不能忽视市场影响（MI），这是一个市场流动性问题。在这里，我们考虑一种情况，即单个交易员持有一种证券的多股，并试图出售（清算）该证券，直到一段时间。慷慨的销售订单导致供需缺口，导致证券价格下降。这种影响被称为MI，交易员应降低清算速度以避免MI成本。然而，降低清算速度也会增加时间成本，这是由证券价格随时间的随机波动造成的。

交易者应该通过考虑MI成本和时间成本来优化执行策略。因此，MIfunction g（x）在研究最优执行问题中起着重要作用。这里，g（x）意味着通过卖出x股（或卖出率）来降低证券价格。*即将出版的《随机分析通讯》+数学金融实验室协会（AMFiL），2–10号，千代田小町，东京102-0083，日本，电子邮箱：takashi。kato@mathfi-lab.com g的最简单设置是线性函数。例如，在[2，4，23]中，最优执行问题主要用线性MI函数来处理，并导出最优执行策略。然而，有一些关于无n线性g的优化问题的研究[1,10–12,14,15]。特别地，当g是严格凸的时，我们在[14]中导出了作为离散时间优化问题极限的最优执行问题的数学上充分的连续时间模型。目前尚不清楚g的自然形式是什么。最近，有人提出，S形函数适用于g。也就是说，g（x）在[0，\'x]上应该是凹的，在[\'x]上应该是凸的，∞) 对于某些“x”≥ 许多交易者直觉地认为MI函数是S形的[15]。此外，在【24】中，我们发现了驼峰形极限指令簿的经验预测，该预测对应于S形MI函数。因此，我们之前的研究【14】应该扩展到包括S形MI函数g。我们在【15】中已经部分解决了这个问题，但在这个阶段仍然存在许多数学和金融问题。事实上，当我们考虑S形g的最优执行问题时，根据直觉，最优执行速度不应达到范围（0，(R)x）。然而，我们尚未从数学上证明这一发现。

此外，我们还没有充分讨论与优化问题对应的Hamilton–Jacobi–Bellman（HJB）方程。在本文中，我们解决了这些问题，作为我们之前研究的延续[1 5]。我们将之前的结果完全推广到S形g的情况，并研究了上述问题。此外，我们发现，在Black-Scholes市场模型中，风险中性交易者的最佳执行策略是时间加权平均价格（TWAP）策略，即以恒定速度出售。这与文献[14]中的定理5.4（ii）的结果相同，当g是水函数时；然而，没有必要假设g的显式形式。我们证明了当g是S形时，这个结果是正确的。这个结果推广了文献[14]中的定理5.4（ii），并在文献[12]的第5.2节中提供了具有不确定模型的最优执行问题的解析解。本文的其余部分如下。在第2节中，我们在前面工作的基础上介绍了一个优化问题的数学模型，并回顾了前面的结果。在第3节中，我们将我们的值函数描述为相应Jb方程的粘度解。在适当的条件下，我们证明了HJB方程粘性解的唯一性。为了研究最优策略的性能，我们引入了平均定理，并证明了最优执行策略不考虑（0，’x）在第4节中。在第5节中，我们给出了一些示例。特别是，我们在具有一般形状MI函数的Black-Scholes模型中证明了TWAP策略作为最优策略的稳健性。我们总结了我们的论点，并在第6节中介绍了未来的任务。A节给出了补充论点，以确保我们现有模型A和以前模型[15]之间的一致性.

所有请购单见第B.2节模型设置(Ohm, F、 （英尺）0≤t型≤T、 P）为随机基，设（Bt）0≤t型≤T为一维布朗运动（T＞0）。设置D=R×[0，∞)用C表示非递减、非负和连续的f函数集，其多项式增长定义在D上∈ C、 我们定义函数，J（·；u）：[0，T]×D-→ R、 asJ（t，c，x，s；u）=sup（xr）R∈在（x）E[u（Ct，Xt，St）]，（2.1），其中（Cr）r，（Xr）r和（Sr）稀有随机过程由dcr=xrSrdr，dXr=-xrdr，dSr=^b（Sr）dr+^σ（Sr）dBr- Srg（xr）dr，（2.2）和（C，X，S）=（C，X，S），At（X）是非负（Fr）r-渐进可测量过程的集合，（xr）0≤r≤t、 令人满意的ZTXRDR≤ 我们把At（x）的一个元素称为可接受策略。此处，^b和^σ定义为^b（s）=b（对数s）+σ（对数s）s、 ^σ（s）=σ（log s）s，s>0且^b（0）=^σ（0）=0，其中b，σ：R-→ R是Bounded和Lipschitz连续函数。g级∈ C（[0，∞)) ∩ C（（0，∞)) 是一个g（0）=0的非负函数。函数J表示具有MI函数的最优执行问题的值函数，在[14]中，当g是凸的，在[15]中，当g是S形的，即当h：=g′满足以下条件时，导出了离散时间值函数的极限。[A1]h（x）≥ 0，x>0。[A2]极限→0xh（x）=0。[A3]有一个“x”≥ 0使得h在（0，\'x）上严格递减，在[\'x]上严格递增，∞).【A4】小时(∞) = 林克斯→0h（x）=∞.条件[A3]表示g在[0，\'x]上是凹的，在[\'x]上是凸的，∞). 在本文中，我们总是假设[A1]–[A4]。我们简要介绍了我们的模型的财务含义（更多详情请参见[11,12,14]）。我们假设有一个交易者拥有一个证券的许多股票，其价格在初始时间为。

交易者试图在时间范围内的市场上出售证券，但出售行为通过MI的影响影响证券价格（表示为术语-g（xr）dr in（2.3））。sr是时间r的证券价格，Cr（resp，Xr）描述了时间r持有的现金量（resp，证券份额）。交易员的目的是通过控制执行策略（Xr）r，最大化终端预期效用J（t，c，x，s；u）=E[u（CT，XT，ST）]∈ 在（x）处。这里，xrimplies时间r的清算速度；换句话说，thetrader在最短的时间间隔内销售xrdr数量【r，r+dr】。为了解决这个问题，我们为每个t、c、x和s引入函数J（t、c、x、s；u）的值，以应用动态编程方法。备注1。（i） 对数冰过程Yr=对数满足随机微分方程（SDE），dYr=b（Yr）dr+σ（Yr）dBr- g（xr）dr，（2.3）每当Sr>0，r≥ 0.（ii）在随机控制理论中，（xr）r∈ At（x）称为控制过程，（2.2）中定义的（Cr、Xr、Sr）是其控制过程。然而，在我们的案例中，每个（Xr）ris的（Cr，Xr，Sr）Rf的存在性和唯一性并不明显，因为（Yr）Rma可能因该术语而发生分歧-g（xr）dr.我们可以通过在yr发散到-∞ （详见A节）。（iii）在[11,14,15]中，我们需要一个额外的假设，使得每个可容许策略都是本质有界的；也就是说，我们考虑优化问题j∞（t，c，x，s；u）=sup（xr）r∈A.∞t（x）E[u（Ct，Xt，St）]（2.4）而不是（2.1），其中∞t（x）=（xr）r∈ At（x）；esssupr，ωxr（ω）<∞.这种情况发生在将离散时间模型的极限值转换为连续时间模型的过程中；然而，这是一个数学技术条件，与融资有关，是不自然的。

我们可以证明J与J重合∞, 因此，我们对这个问题并不过分关注（另见A节）。在[15]中，我们证明了J（·；u）在[0，T]×D和J（r，·；u）上是连续的∈ 每个r的C≥ 0和u∈ C、 此外，对于每个（C，x，s），J满足动态规划原理J（t+r，C，x，s；u）=J（t，C，x，s；J（r，·；u））∈ D、 u型∈ C和t，r≥ 带t+r的0≤ T利用这些结果，我们在下一节中将J描述为相应HJBE方程的粘度解。从现在起，我们将∈ C并表示J（t，C，x，s；u）=J（t，C，x，s）以表示简洁。3主要结果I：粘度特性我们的第一个主要结果如下。定理1。（i） 我们假设lim infε→0ε（J（t，c，x，s+ε）- J（t，c，x，s））>0，（t，c，x，s）∈ （0，T）×D，（3.1），其中D=intD=R×（0，∞). 那么，J是（0，T）×D上以下HJBequation的粘度解：tJ公司- 苏比≥0LyJ=0，（3.2），其中=（^b（s）- sg（y））s+σ（s）s+ysc-x个.（ii）我们假设（3.1），^b和^σ是Lipschitz连续的，并且lim infx→∞h（x）/x>0。然后，我们看到了（3.2）粘度解在以下意义上的唯一性。If a连续函数v:[0，T]×D-→ 多项式增长的R是（3.2）的粘度解，满足边界条件，v（0，c，x，s）=u（c，x，s），（3.3）v（t，c，0，s）=E[u（c，0，Zt（s））]，（3.4）v（t，c，x，0）=u（c，x，0），（3.5），则J=v，其中（Zr（s））是s的唯一解：dZr（s）=b（Zr（s））dr+σ（Zr dBr，Z（s）=s.（3.6）备注2。（i） 定理1的断言与[14]中定理3.3和3.6的断言相同。因此，当g是凸的，即当'x=0时，已经得到了定理1。如【14】的备注3.7所述，我们的HJB方程（3.2）不满足标准假设，无法将标准参数应用于粘度表征，例如【5、6、18、21】。

我们通过[14]中定理3.3的证明来证明定理1（i）。在[14]中定理3.6的证明中，我们主要不使用g的凸性，因此定理1（ii）的获得方式与命题b的证明类似。21–B.23英寸【14】。（ii）以下条件是数学金融中效用函数的标准自然条件：[B]u（c，x，s）=u（c）对于某些凹函数u∈ C（R）。在[B]中，边界条件（3.3）–（3.5）简化为v（0，c，x，s）=v（t，c，0，s）=v（t，c，x，0）=U（c）。（iii）一般不容易检查（3.1）。当g是凸的时，（3.1）的自然和简单条件在[14]中被引入为[C1]满足[B]。此外，它认为U′（c）≥ δ、 c类∈ R、 对于某些δ>0。[C2]b和σ是可微分的，它们的导数是Lipschitz连续且一致有界的。在我们的案例中，通过与[14]中命题3.5相同的证明，我们还验证了（3.1）在[C1]–[C2]下成立。4主要结果II：【15】中的版本Ar Guments理论7.4为我们提供了一个典型的例子，其中最优执行策略的值为零或大于'x。这一结果与财务直觉一致，这种在g的凹部（即（0，'x））范围内的速度组合会导致超流量交易成本。在本节中，我们提出了一个验证定理，以证明最佳执行速度在{0}内∪ （(R)x，∞) 一般来说首先，我们引入符号来说明我们的第二个主要结果。条件【A3】和【A4】表明存在一个反函数h-1： [高（(R)x），∞) -→ [(R)x，∞), 然后我们定义h（s，p）=spc- pxsps{sps>0}，（4.1）Ξ（s，p）=h-1（H（s，p））1∧（s，p）（4.2）表示s≥ 0和p=（pc，px，ps）\'∈ R、 其中∧={（s，p）∈ （0，∞) ×R；ps>0，H（s，p）>H（(R)x），g（H-1（H（s，p））<H（s，p）H-1（H（s，p））}，A′表示A的转置。

此外，对于每个连续可微函数，v:[0，T]×D-→ R、 我们定义了bv（t、c、x、s）=sΞ（s，Dv（T-t、 c、x、s））-Ξ（s，D v（T- t、 c，x，s））^b（s）- sg（Ξ（s，D v（T- t、 c、x、s）））,其中D=cx，s′.现在，我们介绍第二个主要结果。定理2。我们假设（3.1）和[B]，J∈ C1,1,1,2（（0，T）×D），以及给定的（c，x，s）∈D，有一个连续的过程，（Ct、Xt、St）t，可以满足CtXtSt公司=\'bJ（t、Ct、Xt、St）dt+^σ（St）dBt，t∈ [0，\'τ]（4.3）和（C，X，S）=（C，X，S），其中\'τ=inf{t≥ 0 ; （Ct、Xt、St）∈ D}∧ T、 然后，有一个优化器，（^xt）tto J（T，c，x，s），这样^xt∈ {0} ∪ （(R)x，∞), t型∈ [0，T]a.s.当执行大量安全时，降低执行速度以降低执行成本非常重要。然而，定理2告诉我们，当MI函数为S形（尤其是[0，\'x]上的凹形）时，不希望将执行速度降低到阈值\'x以上。在这种情况下，最佳执行策略是在执行速度大于\'xo的情况下出售或停止出售。如果我们验证值函数J的光滑性，我们可以应用定理2。即使我们找到（3.2）的经典（子）解，它不一定满足边界条件（3.3）–（3.5），我们也可以构造J（T，c，x，s）的最优策略。我们介绍了以下验证定理。定理3。

Let（c，x，s）∈D和let v∈ C（[0，T]×D）∩C1,1,1,2（（0，T）××D）是满足以下条件的函数。（i） K，m>0，使得| v（t，c，x，s）|≤ K（1+cm+xm+sm），t∈ [0，T]，（c，x，s）∈ D、 （ii）v（0，c，x，s）≥ u（c，x，s）对每个（c，x，s）保持不变∈ D、 （三）电视- 苏比≥0Lyv≥ （0，T）××D.（iv）有一个（^xt）T∈ 在（x）处，使e[u（CT，XT，ST）]≥ v（T，c，x，s），其中（^Ct，^Xt，^St）由（2.2）给出，其中（^c，^x，^s）=（c，x，s）。然后，我们有J（T，c，x，s）=E[u（^CT，^XT，^ST）]=v（T，c，x，s），并且（^XT）是它的优化器。在下一节中，我们将介绍一些例子，在这些例子中，我们使用定理3.5示例推导出最优执行策略。类似于[14]中的第5节，我们将介绍一些证券价格过程作为Black-Scholes模型给出的例子。我们假设b（·）≡ u和σ（·）≡ σ是常数，效用函数设置为uRN（c，x，s）=c；也就是说，交易者是风险中性的。通过使用与[14]中命题5.2的证明相同的论点，我们得到了以下定理。定理4。我们有J（t，c，x，s）=c+sW（t，x），其中w（t，x）=sup（xr）r∈阿斯塔特（x）ZTEP-ur-Zrg（xv）dvxrdr，Astatt（x）={（xr）r∈ At（x）；（xr）ris determini s tic}，|u=-u -σ。定理1和4将我们引向定理5。W是偏微分方程的粘度解tW+～uW+infy≥0W g（y）-1.-xW公司y= 0（5.1），边界条件W（t，0）=W（0，x）=0。（5.2）此外，如果lim infx→∞h（x）/x>0时，（5.1）–（5.2）的粘度溶液在以下意义上是唯一的。