具有S型市场影响函数的最优执行问题

如果具有多项式增长的连续函数w是（5.1）–（5.2）的粘度解，则w=w。在本节结束之前，我们假设μ>0，以关注预期证券价格随时间下降的情况。5.1混合幂函数在这里，我们考虑g由g（x）=βx|π（0）给出的情况≤ x个≤ 对于某些x，αxπ+γ（x>x）（5.3）≥ 0，α>0和0<Иπ<1<π。因为g是连续可微分的，所以β和γ必须满足β=ππα′xπ-~π, γ =π~π- 1.α′xπ。图1显示了当π=0.5和π=2时g的形式。图1：MI函数g（x）的形式o定义了一个s（5.3），其中|π=0.5，π=2。水平轴与x相对应。垂直轴与g（x）相对应。下一个结果是[14]中定理5.4的纯粹扩展。定理6。Setx公司*,1=ΔπB1.- 经验值-ππ - 1（￠u+γ）T;π+ 1, 2,x个*,2=νπT，其中Δπ=α1/ππ~u + γπ - 1.π-1π, νπ=~u + γ(π - 1)α1/π和b（z；a，b）=Zzdxxa-1（1- x） b类-1是不完整的Beta函数。（i） 如果x≥ x个*,1，我们有j（T，c，x，s）=c+sδπ1.- 经验值-ππ - 1（￠u+γ）Tπ-1π，其优化器为giv en by^xt=νπ1.- 经验值-ππ - 1（￠u+γ）（T- t）-1/π.（ii）如果x≤ x个*,2，我们有j（T，c，x，s）=c+s·1- e-ΔπxΔπ，其优化器是由^xt=νπ[0，x/νπ]（t）给出的。与[14]中的定理5.4类似，最优策略的形式根据初始份额x发生了巨大的变化，当x*,2<x<x*,1、此外，当x≤ x个*,最优策略是TWAP策略，即以恒定速度νπ出售。TWAP策略是Almgren-Chrismodel的策略，这是风险中性交易者的最佳执行标准模型[2,7,16,17]。定理6（ii）也是下一小节结果的推论。此外，νπ>γ(π - 1)α1/π=π - ~π~π(π - 1)1/π′x>’x；因此，我们可以验证^xt∈ {0}∪（(R)x，∞) 在定理6（i）（ii）的两种情况下。

这与定理2.5.2对于S小额执行的TWAP策略是一致的。接下来，我们考虑初始股份的数量xof很小的情况。这里，我们不限制没有[A1]–[A4]的g的形式。在陈述结果之前，我们准备以下建议。提案1。Se t Gh（x）=xh（x）- g（x）。然后，有一个唯一的νh∈ （(R)x，∞) 使GH（νh）=u。定理7。如果x≤ νhT，我们有j（T，c，x，s）=c+s·1- e-h（νh）xh（νh），（5.4）及其优化器由^xt=νh[0，x/νh]（t）给出。（5.5）该定理暗示了g广义形状MI函数的TWAP策略的最优性的稳健性。当xis很小时，最佳的执行策略是以νh（＞x）的速度出售证券，直到剩余股份为零为止。备注3。（i） 如文献[14]中定理4.2和5.1所述，当g（x）=αx（α>0）作为线性函数给出时，我们有j（T，c，x，s）=c+s·1- e-αxα，（5.6），对应的近似最优执行策略是具有初始时间的准块清算；也就是说，^xδt=（x/δ）1[0，δ]（t）带δ→ 该策略通常对应于（5.5）取极限νh→ ∞. 注意h（x）≡ α ; 因此（5.4）与（5.6）一致。（ii）让我们考虑一个极端情况，其中g（x）=^g（x- \'x）1[\'x，∞)（x） （5.7）对于某些增凸函数^g∈ C（[0，∞); [0, ∞)) ^g（0）=^g′（0）=0和^g′时(∞) = ∞. g（x）的形式如图2所示，其中^g（x）设置为x。在这种情况下，我们可以通过低于或等于“x”的销售速度来完全避免MI成本。因此，最佳执行策略似乎是“xt=”x[0，x/“”x]（t）一目了然。按照该策略，我们得到了预期收益C：=sZx/(R)xe-ut'xdt=sι（￠u/'x；x），其中ι（y；x）=（1- e-xy）/y。然而，定理7暗示该策略不是最优的；最佳执行速度νh严格大于'x。

我们比较了经验收益^C：=J（T，0，x，s）=sι（h（νh）；x） 由o pt imal策略获得，（^xt）t，由（^xt）t获得~C。让我们表示^G（x）=x^G′（x）- ^g（x）。然后，我们看到^G（νh- (R)x）>^G（0）=0，因此￠u=Gh（νh）=^G（νh- \'x）+\'xh（νh）>\'xh（νh）。这意味着h（νh）<u/(R)x。因为ι（·；x）在减少，所以我们有C>(R)C。这是因为以较低的速度销售会增加执行时间和计时成本。贸易商应以最佳速度νh销售，并接受MI成本。图2：MI函数g（x）的形式，定义为（5.7），其中^g（x）=x。水平轴对应于x。垂直轴对应于g（x）。5.3推广I*****ani和Kato[12]之前的结果，作为定理7的应用，我们提供了[12]第5.2节研究的具有不确定MI的最优执行问题的解析解。我们考虑优化问题sup（xt）t∈在（x）EZTStxtdt, （5.8）其中（St）由SDE给出：dSt=St(-udt+σdBt- g（xt）dLt），S=S。这里，（Lt）是L'evy过程，它独立于（Bt）并由伽马分布p（Lt）给出其分布- γt∈ dz）=Γ（αt）βαtzαt-1e级-z/β（0，∞)（z） dz，其中α、β、γ>0满足αβ≤ 8γ和Γ（z）=z∞tz公司-1e级-tdt是Gamma函数。此外，我们假设g（x）=αxis g是一个具有α的二次函数≥ 0）在[12]的第5.2节中，我们没有发现（5.8）的最优策略的明确形式，即使xis很小。然而，数值实验表明，具有小xis的最优策略是TWAP策略。在这里，我们从数学上证明了这个猜想是正确的。定理8。设^ν为γα^ν+α的解1.-1 + αβ^ν- 对数（αβ^ν+1）= ~u.如果x≤ （5.8）的最优策略由TWAP策略xt=ν1[0，x/ν]（T）给出。

（5.9）6结论性意见在本文中，我们研究了S形MI函数作为[15]的一个推论的最优执行问题。我们证明了我们的值函数是相应HJB方程的粘度解。这是[14]中的扩展结果。此外我们提供了验证定理，以表明最佳执行速度不在该范围内（0，’x）。这意味着交易者不应盲目地降低执行速度以降低MI成本。在Black-Scholes市场模型中，我们发现，当持有的证券数量较少时，最佳执行策略是WAP策略。MI函数g不需要具体形式，因此此结果是稳健的，并表明了WAP策略在实际中的最佳性冰除TWAP策略外，成交量加权平均价格（VWAP）策略在阅读实践中得到广泛应用【19】。Gatheral和Schied指出，我们应该将时间参数t视为体积时间，而不是s物理时间。交易量时间意味着一个随机时钟，由市场交易量过程来衡量[3,9,20,25]。如果我们在体积时间线上考虑模型，我们可能会以与定理7类似的方式发现VWAP策略的最优性。然而，我们不能忽视市场交易量的随机性。我们未来的任务之一是在体积时间线上构建一个具有S形MI函数的最优执行模型。此外，为了应用定理2，我们要求值函数J是光滑的，而通常很难显示光滑性。此外，SDE（4.3）的可解性尚不明确。需要进一步研究。补充论证提出了以下命题，这些命题将我们先前研究的结果与当前模型联系起来。提案2。设t>0，设（c，x，s）∈ D

对于每个（xr）r≤t型∈ 在（x）处，有一个uniq ueprocess，（Cr，Xr，Sr）r≤t、 满足（2.2）和（C，X，S）=（C，X，S）。SDEs解的比较定理f（例如参见[13]中的命题5.2.18）告诉我们0≤ Sr公司≤ Zr（s）a.s.，（a.1），其中（Zr（s））在（3.6）中定义。此外，[14]中的引理B.1告诉我们≤r≤坦桑尼亚先令（s）m]<∞ （A.2）对于每个t，s和m>0。根据n（A.1）–（A.2），我们发现我们的价值函数J（t、c、x、s）定义明确。提案3。J（t，c，x，s）=J∞（t、c、x、s）。在[15]中，我们展示了J的一些性质∞（t、c、x、s）。命题3意味着这些结果也适用于J（t，c，x，s）。B命题1的证明。首先，[A3]表示GH（\'x）=\'xh（\'x）-Z'xh（x）dx≤ \'\'xh（\'x）\'- \'xh（\'x）=0。（B.1）[A3]也告诉我们GH（x）- Gh（y）≥ （h（x）- 对于每个x>y>x，h（y））y>0（B.2）。因此，GH在（(R)x）上严格增加，∞). 此外，让x→ ∞ 在（B.2）中，我们看到了thatlimx→∞Gh（x）=∞, （B.3）由于条件【A4】。因为GH在[(R)x上是连续的，∞) 并且|u为正，（B.1）–（B.3）立即给出断言。为了证明命题2，我们准备了一个引理。引理1。让（Дt）t为（Ft）t渐进可测量过程，以便|Дt |≤ 对于某个正常数K。Th en，有一个CK，T>0，它只依赖于K和T，所以sup0≤t型≤特克斯普Zt^1rdBr≤ CK，T.证明。Punt=expZt^1rdBr-ZtИrdr- 伊藤公式立即暗示（Nt）是一个从0开始的连续局部鞅，Dhnit=（Nt+1）νtdt。取任意R>0并确定τR=inf{t≥ 0 ; hNit公司≥ R}∧ T和mRt=E【hNit∧τR](≤ R<∞). 然后，我们观察到≤ 地铁≤ 2KEZt公司∧τR（Nr+1）dr≤ 2KT+2KZTMRRRDR。我们应用Gronwall不等式来获得MRT≤ 2KT+4KTe2KT=：C′K，T。切比雪夫不等式意味着τRT，R→ ∞ a、 s.，和henceE【hNiT】=limR→∞地铁≤C′K，tb的单调收敛定理。

现在我们到达atEsup0≤t型≤特克斯普Zt^1rdBr≤ eKT/2（2E【hNiT】1/2+1）≤ 埃克特/2qC′K，T+1. 命题2的证明。它有助于证明过程（Sr）r的存在性和唯一性≤t每个给定值（xr）r∈ 在（x）和s>0时。第1步。对于每个n∈ N、 定义τN=infr≥ 0 ;Zrg（xv）dv≥ n∧ 并置xnr=xr[0，τn]（r）。然后，我们可以通过标准参数：dYnr=b（Ynr）dr+σ（Ynr）dBr来证明下面的SDE有一个唯一的解决方案（Ynr）rto- g（xnr）dr，Yn=log s。伊藤公式表明，过程Snr：=经验（Ynr）满足DSNR=^b（Snr）dr+^σ（Snr）dBr- Snrg（xnr）dr，Sn=s。我们看到τn≤ τ和Snr=Smr，r∈ [0，τn]a.s.对于每个n<m。因此，我们可以定义∞r=limn→∞每个r的SNR∈ [0 , τ) ∩ [0，t]a.s.，其中τ=limn→∞τn.接下来，我们证明了limr→τS∞r=0 a.s.{τ≤ t} 。对于每个δ>0，我们看到0≤ S∞τ-δ=limn→∞Snτ-δ≤ {τ上的sDtGδ≤ t} ，其中dt=lim infn→∞sup0≤r≤特克斯普Zrb（Ynv）dv+Zrσ（Ynv）dBv,Gδ=exp-Zτ-δg（xr）dr.因为b和σ有界，引理1意味着e[Dt]<∞, 因此Dt<∞ a、 此外，根据τ的定义，它认为Gδ{τ≤t}-→ 0, δ → 因此，我们有limδ→0秒∞τ-δ=0 a.s.{τ≤ t} 。因此，我们可以定义Sr：=S∞r∧τ作为[0，t]上的连续过程，它认为s+Zr^σ（Sv）dBv+Zr（^b（Sv）- Svg（xv））dv=s+Zr∧τ^σ（S∞v） dBv+Zr∧τ（^b（S∞五）- S∞vg（xv））dv=limn→∞信噪比∧τn=Sr，r≤ t、 因此，（Sr）rsatis fies（2.2）。第2步。接下来，我们展示（2.2）的解的唯一性。假设（▄Sr）rsatis fies（2.2）a和▄S=S。我们看到∧τn=对数Sr∧τnandYr∧τn=对数Sr∧τnsatisfy（2.3）。因为b和σ是Lipschitz连续的，所以我们有e[sup0≤r≤t |年∧τn-年∧τn |]=0。这意味着SR∧τn=~Sr∧τn，r≤ 那么，我们有Sr∧τn=~Sr∧τn，r≤ t、 a.s.出租n→ ∞, 我们到达Sr∧τ=~Sr∧τ、 r≤ t a.s.基于（2.2），对于{τ上的每一个较大的t ha nτa.s，Sr=~Sr=0≤ t} ，所以我们得出结论，（Sr）ris等于（~Sr）ra。s命题3的证明。

因为J（t，c，x，s）≥ J∞（t，c，x，s）很清楚，我们可以证明相反的不等式。修复任何（xr）r∈ 在（x）处，用（Cr，Xr，Sr）r表示≤tits控制过程。取任意K>0并设置xKr=xr∧K、 然后，（xKr）r∈ A.∞t（x）保持不变。设（CKr，XKr，SKr）为（XKr）r的受控过程。然后，我们得到了XKt≥ Xt。此外，【13】中的命题5.2.18意味着SKr≥ Sr，r≤ 因此，它认为CKT=c+ZtxKrSKrdr≥ c+ZtxKrSrdr a.s.，单调收敛定理告诉我们lim infK→∞CKt公司≥ Cta。s、 因为你∈ C、 我们有u（Ct、Xt、St）≤ 林因夫→∞u（CKt、XKt、SKt）。然后，我们应用Fatou引理来了解e[u（Ct，Xt，St）]≤ lim信息→∞E【u（CKt、XKt、SKt）】≤ J∞（t、c、x、s）。因为（xr）r∈ At（x）是任意的，我们完成了证明。为了证明定理1，我们定义F:D×R×S-→ R∪ {-∞} byF（z，p，∑）=-^σ（s）∑ss-^b（s）ps+H（s，p），H（s，p）=infy≥0f（y；s，p），f（y；s，p）=spsg（y）- （spc- px）y，其中S R Ris是三维实对称矩阵集，我们表示z=cxs, p=pcpxps, Σ =∑cc∑cx∑cs∑xc∑xx∑xs∑sc∑sx∑ss.注意，（3.2）等同于tJ+F（z，DJ，DJ）=0。（B.4）此外，putU=n（z，p，∑）∈D×R×S；F（z，p，∑）>-∞o、 R=~D×（R×（0，∞)) ×S。请注意，ps≥ 每个（z，p，∑）保持0∈ U此外，我们有R U引理2。对于每个（z，p，∑）∈ R、 我们有h（s，p）=f（h-1（H（s，p）∨ h（x））；s、 p）∧ 0=f（Ξ（s，p）；s、 p），（B.5），其中H（s，p）和Ξ（s，p）由（4.1）–（4.2）给出。特别地，F在R证明上是连续的。首先，我们注意到H（s，p）=sps'H（H（s，p）），其中'H（'y）=infy≥0'f（y；'y），'f（y；'y）=g（y）- (R)年。我们看到，\'H（\'y）=\'f（H-1年∨ h（(R)x））；是）∧ 0。（B.6）确实，如果≤ h（(R)x），我们观察到y'f（y；'y）=h（y）- 是的≥ h（y）- h（(R)x）≥ 0，y≥ 0by[A3]。因此，我们得到“H（\'y）=”f（0；\'y）=0。此外，[A3]还表示“f（h-1（h（(R)x））；y）=f（\'x；\'y）=Z'xh（y′）dy'- “y”x≥ （h（(R)x）- \'y）\'x≥ 0;因此，（B.6）成立。

相反，如果y>h（\'x），我们可以看到f（·；\'y）在h达到最小值-1（(R)y）或0。当'f（h-1年；y）<0，则认为H（\'y）=f（H-1年；是）。当'f（h-1年；是）≥ 0，我认为H（\'y）=0。在这两种情况下，我们看到（B.6）实际上都成立。（B.6）表示（B.5）的初始质量。（B.5）的第二个等式是通过使用[A3]的简单计算得到的。最后一个断言是通过^b、^σ、h、h和h（s，p）的连续性得到的。下面的命题是通过一个标准论点得出的（详见[6、18、21]）。提案4。J是（3.2）的粘度上解。提案5。假设（3.1）。那么，J是（3.2）的粘度次分辨率。证据固定每个（t、z）∈ （0，T）×D.让v∈ C1,2（（0，T）×D）是一个测试函数，使得J-V在（t，z）处获得局部最大值0。然后，我们可以找到一个r>0，使得j（t′，z′）<v（t′，z′）（B.7）对每个（t′，z′）保持f∈\'Br（（t，z））\\{（t，z）}，其中\'Br（（t，z））={（t′，z′）∈ （0，T）×D；| T′- t |+| z′- z|≤ r} 。对于每个L>0，定义FL（z，p，∑）=-^σ（s）∑ss-^b（s）ps+inf0≤y≤ Lf（y；s，p），JL（t，c，x，s）=sup（xr）r∈ALt（x）E[u（Ct，Xt，St）]，ALt（x）={（xr）r∈ At（x）|xr |≤ 五十} 。这里，（Cr，Xr，Sr）ris表示为（2.2）和（C，X，S）=（C，X，S）。注意JL（t，c，x，s）J（t，c，x，s），L→ ∞. 通过与[14]中命题B.18相同的论证，我们可以看到JLis的aviscosity解决方案tJL+FL（z，D JL，DJL）=0。（B.8）因为JL- v连续，JL- v在集合Br（（t，z））上达到最大值；即有a（tL，zL）∈\'Br（（t，z）），最大\'Br（t，z）=JL（tL，zL）- v（tL，zL）。我们证明了（tL，zL）-→ （t，z），L→ ∞. （B.9）因为{（tL，zL）}是一个有界序列，我们看到对于每个递增序列，（Ln）n （0，∞) , 有一个子序列，（Lnk）k，使得（tLnk，zLnk）收敛到一个点，（t*, z*) ∈\'Br（t，z）。

Dini定理暗示JL-→ J、 L→ ∞ 在任何紧集上是一致收敛的；因此，我们看到j（t*, z*) - v（t*, z*) = 利姆→∞（JLnk（tLnk，zLnk）- v（（tLnk，zLnk））=0。结合（B.7），我们得出结论（t*, z*) 必须与（t，z）重合。因此，（B.9）是正确的。接下来，我们定义▄v∈ C1,2（（0，T）××D）乘以v（T′，z′）=v（T′，z′）+JL（tL，zL）- v（tL，zL）。然后，我们看到JL- v在（tL，zL）处达到局部最大值0。此外，由于JL是（B.8）的aviscosity解决方案，它认为tv（tL，zL）+FL（zL，Dv（tL，zL），Dv（tL，zL））=tv（tL，zL）+FL（zL，Dv（tL，zL），Dv（tL，zL））≤ 0。（B.10）注意（zL，Dv（tL，zL），Dv（tL，zL））∈ R代表足够大的L。实际上，（3.1）意味着(/s） v（t，z）>0，收敛性（tL，zL）-→ （t，z）和D v导线的连续性(/s） 对于足够大的L，v（tL，zL）>0。此外，再次使用引理2和Dini的Theorem，我们看到FL收敛到F a s L→ ∞ 在R中的任何紧集上一致。因此，取L→ ∞ 在（B.10）中，我们到达tv（t，z）+F（z，D v（t，z），Dv（t，z））≤ 0。这就完成了证明。定理1的证明。断言（i）是命题4-5的结果。断言（ii）是通过与[14]中命题B.21–B.23相同的论证得出的。我们注意到[14]的命题B.22只要求g在[x]上的凸性，∞) 对于足够大的x。我们准备了下面的引理来证明定理2。引理3。假设J∈ C1,1,1,2（（0，T）]×D）。它认为cJ（t，c，0，s）=U′（c），（B.11）xJ（t、c、0、s）≥ 苏′（c），（B.12）sJ（t，c，0，s）=xJ（t，c，x，0）=0，（B.13）tJ（t，c，0，s）=tJ（t，c，x，0）=0（B.14），对于每个t>0和（c，x，s）∈ D、 证明。

（B.11）、（B.13）和（B.14）从J（t，c，0，s）=J（t，c，x，0）=U（c）中获得。显示（B.12），对于每个固定t>0和每个x∈ （0，t），设置xr=√x1[0，√x] （r）并让（Cr，Xr，Sr）rbe与（Xr）r关联的受控过程∈ 在（x）处。然后，我们看到x（J（t，c，x，s）- J（t，c，0，s））≥xE[U（Ct）- U（c）]=EZU′（c+kxAx）dkAx, （B.15）其中Ax=√xZ公司√xSrdr。根据[11]中的Doob不等式，（3.18）和（A.1）–（A.2），我们得到了- s |]-→ 0，x→ 特别是Ax在概率上收敛到s。此外，通过（A.1）–（A.2）和U的凹度，我们得到了[sup0≤x个≤税款]<∞,E[支持0≤k≤1,0≤x个≤t（U′（c+kxAx））]≤ （U′（c））。因此，我们可以将支配收敛定理应用于getEZU′（c+kxAx）dkAx-→ sU′（c），x→ 0、（B.16）（B.15）–（B.16）将我们引向（B.12）。定理2的证明。定义^xt=Ξ（St，DJ（T- t、 Ct，Xt，St）1[0，’τ）（t）。（B.17）因为∧τ≥ 0，它认为（^xt）t∈ 在（x）处。然后，命题2暗示有一个受控过程（^Ct，^Xt，^St）与（^Xt）t相关。我们看到，^Ct=Ct∧(R)τ，^Xt=Xt∧\'τ和^St∧？τ=St∧τ.Put^τR=inf{t≥ 0 ;^St≥ R}∧ （T- 1/R）+对于每个R>0。注意，（A.1）–（A.2）和切比雪夫不等式意味着^τRT，R→ ∞. 伊藤公式给出了[J（T- ^τR，^C^τR，^X^τR，^S^τR）]- J（T，c，x，s）=EZ^τR-tJ+L^xtJ（T- t、 ^Ct，^Xt，^St）dt. （B.18）基于定理1（i）、引理2和J的光滑性，我们得到-tJ+L^xtJ（T- t、 ^Ct、^Xt、^St）=-tJ+supy≥0LyJ（T- t、 Ct，Xt，St）=0，t<τ。（B.19）关于{t≥ 无论是^Xt=0还是^St=0，τ}都成立。如果^Xt=0，我们有-tJ+supy≥0LyJ（T- t、 ^Ct，0，^St）=supy≥0^StU′（^Ct）-xJ（T- t、 ^Ct，0，^St）y= 0 =-tJ+L^xtJ（T- t、 ^Ct，0，^St），t≥ 引理3中的τ（B.20）。如果^St=0，引理3也意味着-tJ+supy≥0LyJ（T- t、 ^Ct，^Xt，0）=0=-tJ+L^xtJ（T- t、 ^Ct，^Xt，0），t≥ ？τ。（B.21）结合（B.18）–（B.21），我们到达- ^τR，^C^τR，^X^τR，^S^τR）]=J（T，C，X，S）。